張子璠，李 強，陳曉潔，吳宇星

(北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044)

車軸是軌道車輛承載的關鍵部位，直接起到軌道與構架載荷的傳遞作用[1]。隨著車輛運行速度的不斷加快，車軸與軌道之間產(chǎn)生的相互作用力呈指數(shù)型增長，因此實現(xiàn)車軸受力的精確測量進而編制高置信度的車軸載荷譜是車軸結構可靠性設計的基礎。但在實際線路測試中，車軸應變信號會受到外界因素的干擾從而產(chǎn)生噪聲，因此需要在保證信號能真實反映車軸受力狀態(tài)的前提下，盡可能排除噪聲對其干擾[2]。

工程信號處理方法得到了大力發(fā)展，例如小波變換、希爾伯特黃變換和雙樹復小波變換[3]，這些方法基于不同的中心頻率和帶寬分解信號。然而，車軸應變信號及其干擾信號可能擁有相似的中心頻率及重疊的帶寬，因此上述辦法不適用于車軸應變信號噪聲的去除。

為此，Stark等人[4]提出了形態(tài)分量分析(Morphological Component Analysis, MCA)方法。在MCA方法中，Stark采用了迭代軟閾值算法(Iterative Soft Thresholding Algorithm, ISTA)獲得最優(yōu)解，但ISTA缺點在于只有線性收斂速度，效率低。因此，學者們相繼提出了不同的改進算法。Bioucas-Dias等人[5]提出了二階段軟閾值算法(Two-Step Iterative Shrinkage/Thresholding Algorithm，TwIST)，并證明了TwIST擁有比ISTA更快的收斂速度。Beck等人[6]提出了快速迭代軟閾值算法(Fast Iterative Soft Thresholding Algorithm, FISTA)，該算法不但保持了ISTA的簡潔性，并且擁有高階全局收斂速度，數(shù)值模擬結果也充分證明了算法在降噪效果上的優(yōu)越性。Goldstein等人[7]在FISTA的基礎上提出了快速自適應收縮閾值算法(Fast Adaptive Shrinkage Thresholding Algorithm, FASTA)，該算法在FISTA的基礎上引進了自適應步長策略，大幅度提高了計算效率，仿真證明了FASTA在目前的改進算法中具有最快的收斂速度。

上述算法在迭代過程中采用了軟閾值降噪法對信號進行降噪處理，但是軟閾值降噪法的結果偏差較大，去除噪聲的同時會削弱源信號，效果不理想。針對軟閾值降噪法的缺點，不同的改進降噪法相繼被提出。Blumensath等人[8]提出了硬閾值降噪法，但由于收縮函數(shù)在零點的不連續(xù)性從而會使結果產(chǎn)生較大的方差。Bobin等人[9]提出最大—平均機制改善了降噪效果，并證明了硬閾值比軟閾值擁有更好的降噪水平。Gao等人[10]針對以上2種降噪方法的缺陷，提出了新的半軟閾值降噪法，結果表明半軟閾值法降噪效果更優(yōu)越，但是由于該方法中需要估計2個閾值，方法復雜度也大大提升。隨后，Chartrand等人[11]證明了閾值算子可以統(tǒng)一為p-偽范數(shù)閾值算子，其中p(0

本文基于FASTA和p-指數(shù)閾值降噪法在計算效率和降噪效果上的優(yōu)勢，將2種算法相結合并應用到MCA方法中，分析采用該方法對車軸應變信號降噪的原理，并通過仿真和實測驗證其可行性和有效性。

1 基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法

在求解稀疏系數(shù)的過程中，MCA方法的基本思想是，根據(jù)稀疏約束正則化的原則，求解形如式(1)的最優(yōu)化問題，以得到每個成分si的最稀疏表示。

min:‖φiαi-si‖2+λ‖αi‖1

(1)

式中：λ為正則化參數(shù)，用來調節(jié)每個分量的稀疏程度；‖·‖2為向量的2范數(shù)；‖·‖1為向量的1范數(shù)。

(2)

其中，

η=λτk

2 車軸應變信號降噪原理

當列車以恒定速度160 km·h-1行駛時，車軸應變信號的中心頻率為16 Hz，同時有微弱的高次諧波，故可認為該信號為單一頻率的類正余弦波形。當信號受到外部干擾時，會出現(xiàn)明顯尖峰狀脈沖干擾，通過頻譜分析可知，干擾頻率與源信號中心頻率并無重合，故傳統(tǒng)意義上的濾波可以去除干擾，但由于車軸應變信號存在高次諧波，將對源信號造成一定損傷，使得后期進行載荷譜編制時會出現(xiàn)偏差。

由于車軸應變信號由以轉頻及其諧波為主要成分的周期成分以及干擾成分組成。這2種成分在形態(tài)表現(xiàn)上存在顯著差異，因此，可根據(jù)周期成分與干擾成分之間的差異性，利用MCA方法實現(xiàn)車軸應變信號噪聲即干擾成分的去除。基于MCA的車軸應變信號干擾成分去除步驟如下。

(1)對于信號中的周期成分，構建局部離散余弦變換(Local Discrete Cosine Transform， LDCT)字典用于其稀疏表示，對于信號中的干擾成分，構建8階消失矩Symlet小波字典用于其稀疏表示；閾值更新準則選取線性遞減；綜合考慮計算效率和結果精度，迭代次數(shù)取100；閾值最小值根據(jù)信號中噪聲的標準差確定，而標準差可以由中值絕對偏差策略獲得，即

(3)

(2)利用基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法對車軸應變信號進行分析，得到周期成分和干擾成分的稀疏系數(shù)并進行重構，即可實現(xiàn)車軸應變信號噪聲的去除。

基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法用于車軸應變信號處理的流程如圖1所示。

圖1 基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法用于車軸應變信號處理流程圖

3 仿真驗證

首先，驗證FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法在計算效率上的優(yōu)越性。隨機生成(1 000×1)維、稀疏度為10的向量，使用100×1 000型隨機矩陣進行壓縮得到(100×1)維觀測向量，分別使用ISTA，F(xiàn)ISTA，F(xiàn)ASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法進行源信號重構。仿真中記錄每個算法的計算時間，用以衡量算法復雜度，運行時間見表1。由表1可知：FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法在收斂速度上明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的ISTA，運行時間減少約61.5%，由于采用了自適應步長的選擇策略，F(xiàn)ASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的收斂速度也顯示出比FISTA更快的優(yōu)勢，運行時間比后者減少約46.4%。目標函數(shù)的收斂情況對比如圖2所示。由圖2可見：采用ISTA在第50次迭代時得到的目標值采用FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法在第10步迭代就能得到，收斂速度提高近5倍，F(xiàn)ISTA在第20步得到的目標值改進算法在第10次迭代得到，收斂速度提高近1倍；仿真證明了FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法在計算效率上有極大優(yōu)勢。

表1 算法計算時間對比

圖2 算法收斂速度對比

其次，驗證基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法對車軸應變信號中干擾成分的去除效果。給出由脈沖信號以及頻率為30.5 Hz的正弦信號x(t)=sin(2π×30.5×t)(t為采樣時刻)組成的2路復合仿真信號作為源信號輸入，分別用來模擬車軸應變信號中的干擾成分和周期成分。工程上通常使用α穩(wěn)定分布描述脈沖信號，α∈(0,2]，α越小，脈沖性質越顯著，仿真中設α=1.2。采樣頻率為1 000 Hz，峰值信噪比為20 dB，采樣時間為2.048 s。仿真得到車軸應變信號的周期成分和干擾成分后，隨機生成1個2×1型混合矩陣將仿真信號進行合成得到混合信號，構成車軸應變信號的源信號如圖3所示。

使用基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法對混合信號進行處理，根據(jù)信號中周期成分和干擾成分的形態(tài)特點，稀疏字典選擇局部離散余弦變換字典和8階消失矩Symmlet小波字典，分別用來匹配混合信號中的周期成分和干擾成分，分離后的車軸應變重構信號如圖4所示。通過對比源信號周期成分與重構信號周期成分的時域波形可知，重構信號與源信號幅值大小一致，未發(fā)生變形，證明了算法可以有效將周期成分同干擾成分分離，并且重構周期成分已基本不含噪聲，提高了信噪比。

圖3 車軸應變源信號

最后，驗證基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法的魯棒性。好的信號處理方法需要盡量不受噪聲的影響。選取最小均方誤差作為衡量車軸應變的源信號與重構信號之間重構質量的評價指標。最小均方誤差值越小，表明信號重構的質量越高。信噪比為5～30 dB時基于不同算法的MCA方法最小均方誤差值隨信噪比的變化情況如圖5所示。由圖5可見，基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法的最小均方誤差受信噪比影響較小，且明顯低于基于ISTA的MCA方法，表明前者在信號重構質量方面相較于后者具有更好的魯棒性。

圖4 車軸應變重構信號

圖5 重構信號的最小均方誤差

4 實例驗證

為了驗證基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法用于去除車軸應變信號中脈沖干擾的有效性，選取某型動車組線路實測數(shù)據(jù)進行測試。

試驗中，在車軸的7個關鍵斷面處安裝應變片，組橋用于測量垂向力。車軸貼片截面位置的選取如圖6所示。

在圖6所示的每個關鍵截面上，每相隔90°布置2個應變傳感器，方向為軸向，共計8個，以A截面為例，其貼片位置如圖7(a)所示。其中，對向的2組傳感器組成1個惠斯通全橋，因此每個截面有2個全橋j1和j2(j=A，B，C，D，E，F(xiàn)，G)。由于在恒定載荷作用下，1個全橋的輸出電壓為輪對轉角的周期函數(shù)，同一截面不同全橋輸出電壓Uj1和Uj2僅在相位上相差90°，為保證每個截面輸出電壓為一穩(wěn)定值，不隨時間變化。截面綜合輸出電壓Uj為

(4)

圖6 車軸貼片截面(單位：mm)

圖7 車軸截面貼片位置及組橋方案示意圖

其中，

式中：L為電阻式應變片的轉換系數(shù)；UE為電橋輸入電壓；θ為輪對轉角；a和b為對每個截面4個傳感器采集到的應變做傅里葉級數(shù)展開得到的傅里葉系數(shù)；φ為傅里葉級數(shù)展開的初相位。

得到截面輸出電壓后，即可根據(jù)電壓—應變轉換系數(shù)得到相應截面的綜合應變。

由于車輛電氣設備對車軸應變信號采集設備造成電磁干擾，車軸應變信號中普遍長時間存在脈沖干擾，因此如不能有效去除脈沖干擾，將會對車軸載荷譜的編制造成較大誤差。

假設列車行駛速度為v(km·h-1)，車輪滾動圓直徑為D(m)，則車輪旋轉1周的時間T=3.6πD/v，旋轉頻率f=v/3.6πD。不同速度對應的前7次奇次輸出頻率見表2。由上述理論分析可知，對于時速160 km·h-1列車車軸信號而言，幾乎不存在1倍頻以外的高次諧波。實測車軸信號應變信號時域波形如圖8所示。為方便示意，從實測的受干擾信號中截取3 000個采樣點，得到其頻譜圖如圖9所示。由圖8可見，車軸應變信號受到了嚴重脈沖干擾。由圖9可見，車軸應變信號頻譜中出現(xiàn)了大量1倍頻之外的噪聲頻率。

表2 速度及輸出倍頻

圖8 實測車軸應變信號時域波形

圖9 實測車軸應變信號頻譜圖

對車軸實測應變信號進行16.5 Hz的低通濾波，結果如圖10所示。由圖10可見，源信號出現(xiàn)脈沖干擾的時刻，低通濾波后重構信號波形出現(xiàn)較大畸變，源信號未出現(xiàn)脈沖干擾的時刻，重構信號存在均值漂移的情況，證實了傳統(tǒng)的濾波方式無法有效去除脈沖干擾。

采用基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法對源信號進行脈沖降噪處理，根據(jù)上文分析，車軸應變信號周期成分成正弦波形式，構建局部離散余弦變換字典進行匹配，此外由于小波基對信號脈沖有著較好的匹配能力，構建8階消失矩Symlet小波字典對干擾成分進行稀疏表示。重構信號周期成分和干擾成分如圖11所示。由圖11可見，重構的周期成分在源信號出現(xiàn)脈沖干擾的時刻，波形并未出現(xiàn)畸變，且均值與源信號一致，沒有出現(xiàn)漂移的現(xiàn)象，證明了基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法能夠在不損傷車軸應變信號周期成分的前提下，有效地去除脈沖干擾。

圖10 低通濾波信號波形圖

圖11 MCA方法得到的車軸應變重構信號波形

為進一步說明基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法在去除車軸應變信號中脈沖干擾效果上的優(yōu)越性，選取基于ISTA的MCA方法以及目前工程上常用的自適應中值濾波算法進行降噪效果對比，結果如圖12所示。由圖12可見，重構信號波形差異不明顯，表明3種方法均可以有效去除信號中的脈沖干擾。

圖12 3種方法降噪信號波形圖

選取圖12所示位置源信號中存在脈沖干擾的時刻進行局部放大，放大波形如圖13所示。由圖13可見，3種方法中基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法與基于ISTA的MCA方法并未在出現(xiàn)干擾的時刻發(fā)生波形畸變，而自適應中值濾波效果較差，仍存在一定程度的變形；但3種方法在未出現(xiàn)干擾的時刻均較好地保留了源信號形貌。

圖13 脈沖干擾時刻波形局部放大圖

列車勻速行駛時，車軸各截面的綜合應變近似不變，因此可將不同方法得到的處理信號結果其均值與標準差作為重構質量的評判標準。此外，也可采用同一截面、同一時間的源信號與重構信號間的相關系數(shù)作為重構質量評判標準。相關系數(shù)為

(5)

將處理后的重構信號和同一截面另一通道的源信號依據(jù)式(4)進行計算求得截面綜合應變，并與通過源信號(同一路況、同一車速下測得)計算得到的截面綜合應變的對比結果見表3。由表3可知，由FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法處理后得到的綜合應變均值和標準差更接近源信號計算結果，誤差相比自適應中值濾波和基于ISTA的MCA方法分別降低77.4%和55.5%，相關系數(shù)則分別提高13.5%和4.4%，證明了方法用于去除脈沖干擾的可行性和有效性。

表3 重構質量評判標準

5 結 語

針對基于ISTA的MCA方法收斂速度慢降噪效果差的缺點，將FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法引入到MCA方法中，根據(jù)車軸應變信號與干擾信號的形態(tài)特點，分別構建局部離散余弦變換字典和小波基字典進行成分的稀疏表示，從而達到去除軌道車輛車軸應變信號中脈沖干擾的目的。仿真車軸應變信號處理結果表明，基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法實現(xiàn)了混疊信號中不同形態(tài)分量的分離，在收斂速度上要優(yōu)于基于ISTA的MCA方法，并且有更好的魯棒性。實測車軸應變信號處理結果表明，基于FASTA結合p-指數(shù)閾值降噪法的MCA方法能有效分離車軸應變信號中的脈沖干擾成分，并且重構信號與源信號的相關系數(shù)高于基于ISTA的MCA方法以及自適應中值濾波方法，提供了車軸應變信號處理的一種有效方法。