王奮際 陳婷婷

一、微專題概述

在高三復習課的教學設計中，我們經(jīng)常會在重點內(nèi)容上開設微專題復習課。微專題復習課涉及的教學內(nèi)容一般不多，教師往往針對某一具體易錯點或重難點，從基本概念或基本方法入手，精選例題和習題，編制成能夠在一節(jié)課完成的專題（教學任務）。微專題以具體的教學內(nèi)容為載體，以構(gòu)建整體知識框架為指向，以提升學生數(shù)學學習能力為目的，幫助學生更好地彌補盲點、強化重點、突破難點、糾正易錯點。

所謂微專題，“微”是指選題切入口小，體現(xiàn)“小處著手，以小見大”；“?！奔瘁槍π詮?，專門針對某個具體問題，以解決學生的疑惑，提升學生能力，并能由此及彼到一類問題的解決。微專題的設計包括以下環(huán)節(jié)：發(fā)現(xiàn)問題、確定主題、精選問題、歸納總結(jié)和鞏固拓展。具體地說，當教師發(fā)現(xiàn)學生出現(xiàn)比較集中的問題，經(jīng)過梳理整合，確定編制主題，精選出與該主題相關的典型例題來進行教學。更為重要的是，通過對典型問題的分析，總結(jié)提煉出一般的規(guī)律方法，最后通過練習題進行鞏固拓展，進而提高解題能力和數(shù)學學習能力。微專題復習課具有操作靈活、指向性強，對提高學生能力有很好的實效，所以在高三的復習課中經(jīng)常出現(xiàn)。下以課例來具體闡述微專題復習教學。

二、課例教學設計分析

1.教材分析

教師在上課后，要能及時發(fā)現(xiàn)學生普遍存在的問題，這些問題即微專題。本課專題的確定源于最近幾次試卷的壓軸題，統(tǒng)計出學生平均得分都不超過3分。這時學生已進入一輪復習尾聲，他們雖然能處理基本的導數(shù)題，但對壓軸題的常用方法技巧還沒有系統(tǒng)的掌握。本課例設計類比圓錐曲線的“設而不求”法拓展到導數(shù)中，讓學生實現(xiàn)知識的遷移和解題方法的突破。重點理解如何說明導函數(shù)零點的情況，“設”完后如何做到“不求”。

2.教學目標

知識與技能：掌握導數(shù)解題中的“設而不求”法，并會計算和討論導函數(shù)零點難求或不可求的問題。

過程與方法：經(jīng)歷圓錐曲線中的“設而不求”法遷移到導數(shù)中，通過嘗試解題、總結(jié)解題中的共同難點、合作討論探究等過程，最終實現(xiàn)問題的解決。

情感、態(tài)度與價值觀：方法的舉一反三與類比遷移、解題中的總結(jié)與提煉，讓學生逐步提升總結(jié)歸納的能力，有助學生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

三、課堂實錄片段

課前發(fā)學案給學生重做了前段考試中兩道錯題：

例題1：若函數(shù)f（x）=ax-x2-lnx存在極值，若這些極值的和大于5+ln2，求實數(shù)a的范圍。

例題2：若函數(shù)p（x）=lnx+x-4，q（x）=xex+1設f（x）=p（x）-q（x），試證明f′（x）存在唯一零點x0∈（0，），并求出f（x）最大值。

1.運用類比，知識遷移

教師：談到“設而不求”，最常見于什么？

學生（眾）：圓錐曲線。（播放圓錐曲線的微課）

教師：導數(shù)解題中也能用這種方法。請看本節(jié)課的學習目標，（1）理解導數(shù)解題中何時用“設而不求”方法；（2）掌握導數(shù)中如何使用“設而不求”方法。

設計意圖：“數(shù)學是充滿聯(lián)系的，不要孤立的片段，應該教聯(lián)系的材料”。微課引入，形象生動，從熟悉的圓錐曲線遷移到導數(shù)中來。

2.錯題重做，總結(jié)升華

教師：請小組討論例1中自己遇到的難點。

學生1：解：f′（x）=（x>0），-2x2+ax-1=0中，當Δ≤0時，f（x）無極值，故必有Δ=a2-8>0；設兩根為x1

f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）-（x1+x2）2+2x1x2-lnx1x2，

f（x1）+f（x2）=+1+ln2>5+ln2，又x1+x2=>0，所以a>4。

教師：紅筆修改學生書寫過程；

追問1：x1，x2能否求出？（能，但難以計算。）

追問2：導函數(shù)零點一定是極值點么？

教師總結(jié)：這里將表達式f（x1）+f（x2）通過韋達定理轉(zhuǎn)化成只含a的表達式，這是化歸思想的體現(xiàn)，將多元化一元，復雜化簡單，未知化已知，韋達定理幫助我們實現(xiàn)了“設而不求”。

教師：請學生討論例2中自己遇到的難點。

學生2：解題過程（略）。

教師：同學們在例2的解答中遇到了哪些難點？

學生3：沒有意識到導函數(shù)雖然是個無法解的超越方程，但其解是一個定值，不妨設出來x0。

學生4：最后的轉(zhuǎn)化沒有想到兩邊同取對數(shù)，求出lnx0。

教師總結(jié)：此題利用整體代換思想，不求x0，直接求出和lnx0，將超越式化為有理式，將復雜問題簡單化。

設計意圖：“理解題目，擬定方案，執(zhí)行方案，回顧”是解題的四個步驟。老師幫助學生修訂其方案，并通過回顧找到共性，通過總結(jié)，學生從題海中跳出，精練、巧練，達到舉一反三的目的。例題的處理方法多樣和有效，怎么搭建“已知”到“未知”的橋梁，讓學生通過例題悟化到數(shù)學轉(zhuǎn)化和化歸的思想。

3.舉一反三，學以致用

通過一個練習題來運用“設而不求”方法：

練習：已知函數(shù)f（x）=ex-3lnx，求證：f（x）>6-3ln3。

學生：自主完成，小組交流結(jié)果。

教師：點評細節(jié)，規(guī)范書寫。

設計意圖：數(shù)學學習聽懂只是第一步，還要求能用規(guī)范的數(shù)學語言書寫，解題完畢還能將解題過程用自己的語言把不懂的同學講明白，這才算是真正的學會。每堂課不能求快，要讓學生盡可能吃透。

4.課堂小結(jié)，升華境界

教師：本節(jié)課研究導數(shù)解題中的“設而不求”方法，請同學們總結(jié)三個問題：這種方法何時使用？“設”什么？如何實現(xiàn)“不求”？

學生5：導函數(shù)的零點難求或不可求時要用。

學生（眾）：“設”導函數(shù)零點。

學生6：利用韋達定理、整體代換等方式避免求出零點。

教師：解題中以“化多元為一元、化超越為有理、化復雜為簡單”為指針，利用整體代換、轉(zhuǎn)化化歸的思想，類比圓錐曲線中的“設而不求”，實現(xiàn)導數(shù)題的突破。

設計意圖：讓學生體會數(shù)學解題的本質(zhì)規(guī)律，知道錯題是一筆寶貴的財富，只有多思考、多總結(jié)才能把數(shù)學學好。這節(jié)課來源于學生考試中的難題、錯題，圍繞學生的難點展開，利用學生已有知識進行遷移，探索、總結(jié)出更好的方法，讓學生從做題、講解、思考、總結(jié)中學到知識。

參考文獻：

[1]佛雷登塔爾.作為教育任務的數(shù)學[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2][美]G.波利亞.怎樣解題：數(shù)學思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.

編輯 劉瑞彬