張 玉

(巢湖學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥，238024)

概率極限理論最初研究時(shí)往往要限定隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的，但實(shí)際應(yīng)用中獨(dú)立的條件太苛刻，無(wú)法滿足現(xiàn)實(shí)的需要，進(jìn)而概率論極限研究的學(xué)者們提出相依序列、混合序列的概念。最初研究的相依序列是負(fù)相協(xié)(negative association，NA)隨機(jī)變量，后來(lái)學(xué)者們又提出負(fù)超可加相依（negatively superadditive dependent，NSD）隨機(jī)變量、負(fù)象限相依（negatively orthant dependent，NOD）隨機(jī)變量、正相協(xié)（positive association，PA）隨機(jī)變量、推廣的負(fù)象限相依(extended negatively dependent，END)隨機(jī)變量，相依序列在金融數(shù)學(xué)、保險(xiǎn)、可靠性理論中應(yīng)用廣泛。其中END隨機(jī)變量包含獨(dú)立隨機(jī)變量、NOD隨機(jī)變量、NA隨機(jī)變量，本文主要討論END隨機(jī)變量陣列的收斂性質(zhì)。

1 相關(guān)定義

隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}稱為是END的，如果任意有限個(gè)隨機(jī)變量是END的；隨機(jī)變量陣列{Xni,i≥1,n≥1}稱為是END的，如果隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是END的。

完全收斂性是由Robbins和許寶祿[1]提出的。后來(lái)很多概率極限研究者對(duì)其進(jìn)行了研究，邱德華等[2]利用END隨機(jī)變量序列的Rademacher-Menshov型矩不等式獲得了移動(dòng)平均過(guò)程部分和最大值的完全收斂性。郭明樂(lè)等[3]研究了行為NA隨機(jī)變量陣列加權(quán)和的完全收斂性的充分條件。邱德華[4]研究了NOD隨機(jī)變量陣列加權(quán)乘積和的完全收斂性。鄭璐璐等[5]研究了NSD隨機(jī)變量加權(quán)和完全收斂性。白志東等[6]研究了獨(dú)立和的完全收斂性。kuczmaszewska[7]研究了NA隨機(jī)變量陣列的完全收斂性。吳群英等[8]研究了φ-混合序列的完全收斂性和強(qiáng)收斂性。楊善朝[9]研究了PA序列部分和的完全收斂性。邵啟滿[10]研究了ρ-混合序列的完全收斂性。Wang和Hu[11]研究了一類隨機(jī)變量序列完全矩收斂性和完全收斂性的等價(jià)關(guān)系。本文借助END隨機(jī)變量的截尾技術(shù),利用Rosenthal型最大值不等式研究END隨機(jī)變量序列較弱條件下的完全收斂性。這和[3]相比條件較弱，不需要過(guò)多的收斂條件，和[5]相比，是將利用隨機(jī)變量的尾截技術(shù)證明混合序列完全收斂性的方法推廣到相依隨機(jī)變量序列。

2 引理

首先給出本文證明用到的引理：

引理1[2]如果隨機(jī)變量(X1,X2,……,Xn)是END的，且g1,g2,……,gn都是非降函數(shù)，則(g1(X1)),g2(X2),……,gn(Xn)也是END變量。

3 主要結(jié)果

本文的主要結(jié)果如下：

證明根據(jù)(3)、(5)式，可得到：

記

根據(jù)集合之間的運(yùn)算關(guān)系易知，對(duì)任意的ε＞0

所以

又由(6)式可得

根據(jù)引理1，引理2，Markov不等式，Cr不等式，(6)，(7)式得

根據(jù)定理1很容易得出推論結(jié)論。

證明此定理的證明和定理1的證明有相同之處，可以根據(jù)定理1的證明過(guò)程得出Ii＜∞。

下面只證明不同之處。

根據(jù)引理1，引理2，Markov不等式，Cr不等式，(6)，(7)以及(13)式得：

根據(jù)定理2很容易得出推論結(jié)論。

4 小結(jié)

文章通過(guò)對(duì)END隨機(jī)變量陣列的收斂性質(zhì)進(jìn)行研究，采用Rosenthal型最大值不等式、隨機(jī)變量尾截技術(shù)獲得了較弱條件下END隨機(jī)變量的完全收斂性，擴(kuò)展了相依序列的收斂性質(zhì)，這給統(tǒng)計(jì)學(xué)中參數(shù)回歸模型、非參數(shù)回歸模型等的研究提供有利的理論依據(jù)，具有一定的實(shí)際意義。