馬宏帥，趙世海

（1.天津工業(yè)大學機械工程學院，天津 300387；2.天津市現(xiàn)代機電裝備技術(shù)重點實驗室，天津 300387）

放卷部分是連續(xù)軋染機的關(guān)鍵部分，放卷是織物在連續(xù)軋染上運行的第一步，其對張力控制的精度要求很高，如果放卷過程中張力出現(xiàn)波動，將會對后續(xù)加工的各個階段造成影響，以至于影響織物的加工質(zhì)量[1]。由于放卷過程中卷徑不斷變化，引起放卷輥轉(zhuǎn)動慣量的變化，導致織物受到的張力也不斷變化[2]。放卷系統(tǒng)是一個典型的時變性、非線性的耦合系統(tǒng)，因此，設(shè)計一個能夠解耦并且具有良好抗干擾性能的控制器至關(guān)重要。

隨著織物染整工藝的復雜化和多樣化，對連續(xù)軋染機的加工質(zhì)量要求越來越高，對放卷系統(tǒng)的張力控制器提出了更高的要求，常規(guī)PID控制器已經(jīng)無法滿足現(xiàn)代織物的加工要求。李革等[3]提出模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID 控制方法，應(yīng)用于帶材的卷繞張力控制系統(tǒng)，使張力控制系統(tǒng)有較好的自適應(yīng)性。李坤全等[4]提出自適應(yīng)模糊PID控制方法，應(yīng)用于瓦楞紙放卷張力控制系統(tǒng)，實現(xiàn)張力的穩(wěn)定控制。張永勝等[5]提出模糊理論，用于同步帶恒張力控制系統(tǒng)中，取得了較好的張力控制效果。但這些方法都要求建立精確的數(shù)學模型，對于復雜系統(tǒng)來說，影響因素多，建立精確數(shù)學模型比較困難。

本研究提出采用線性自抗控制方法[6-8]，不需要知道被控系統(tǒng)的精確模型和內(nèi)外部擾動規(guī)律，利用張力擴張狀態(tài)觀察器，對被控系統(tǒng)的內(nèi)外擾動進行估計并補償。該方法不僅具有自抗擾控制器的功能，而且克服了自抗擾控制算法參數(shù)難整定的問題[9-11]，便于應(yīng)用于實際工況中。

1 放卷系統(tǒng)數(shù)學建模

放卷系統(tǒng)由放卷輥和卷徑測量裝置組成，放卷輥由變頻器電機驅(qū)動，通過PLC 發(fā)送指令控制變頻，實現(xiàn)放卷輥的控制。放卷系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 放卷張力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖1中E為織物的彈性模量；A為織物的橫截面積；Ri第i個輥筒的半徑；ωi(t)為第i個軋輥的角速度；F1為織物初始張力，F(xiàn)2放卷張力；F3為牽引張力；Li（i=1、2）為各軋車間的距離。

在放卷過程中，織物受到的張力主要來源與放卷輥與牽引輥之間的相互作用，假設(shè)織物只發(fā)生彈性變形，根據(jù)胡克定律織物所受張力可以表示為：

式中：ω為織物在兩個輥之間的運行的時間。

假設(shè)織物與軋輥之間的運動為純滾動，根據(jù)牛頓運動定律，所有軋輥符合下列式子的運動規(guī)律，即：

式中：Ji為第i個滾筒的轉(zhuǎn)動慣量；Tei(t)為第i個電機的電磁轉(zhuǎn)矩；Fi-1(t)、Fi(t)為前、后單元間織物的張力；為織物與輥筒間的摩擦阻尼系數(shù)。

對（2）式F2(t)、F3(t)求二階導數(shù)，并將式代入，化簡可得：

式（3）為放卷張力系統(tǒng)的數(shù)學模型，從該模型可知，放卷單元和牽引單元都可以建立二階微分方程。由于放卷輥卷徑的時變性會引起張力的變化，而且放卷單元張力的變化會引起后續(xù)加工段織物張力的變化，該系統(tǒng)是時變性、非線性二階耦合系統(tǒng)。

2 模型解耦與線性自抗擾控制器設(shè)計

2.1 靜態(tài)解耦

根據(jù)放卷張力系統(tǒng)模型，Te1(t)、Te2(t)為系統(tǒng)的控制輸入；F2(t)、F3(t)為系統(tǒng)的輸出；可以得出系統(tǒng)的空間狀態(tài)模型為：

式中：f(t)為動態(tài)耦合矩陣，B(t)為靜態(tài)耦合矩陣，其表達式為：

引入虛擬控制量U(t)，令U(t)=B(t)Te(t)，代入式中，可得：

因|B(t)≠0|，所以Te(t)=B(t)-1U(t)，B(t)-1為靜態(tài)解耦矩陣，可以表示為：

在系統(tǒng)空間狀態(tài)方程中引入虛擬控制量U(t)后，使放卷系統(tǒng)的放卷單元和牽引單元成為單輸入、單輸出的一階系統(tǒng)，實現(xiàn)了系統(tǒng)的靜態(tài)解耦，只需對系統(tǒng)的動態(tài)擾動（包括未建模部分、參數(shù)變化擾動等）進行估計補償就可以實現(xiàn)放卷張力的系統(tǒng)的完全控制。

2.2 動態(tài)解耦

線性自抗擾控制器的核心部分為線性擴張狀態(tài)觀察器（LESO），能夠?qū)ο到y(tǒng)中動態(tài)耦合部分、由參數(shù)變化以及外界條件引起的擾動進行估計并進行補償。針對放卷張力系統(tǒng)的數(shù)學模型，設(shè)計線性擴張狀態(tài)觀察器（LESO），對該系統(tǒng)的狀態(tài)變量進行估計，即：

式中：ei為系統(tǒng)輸出Fi的估計誤差；z1i為Fi的估計值，z2i為F&i的估計值，z3i為f(t)的估計值；ω1i、ω2i、ω3i為增益系數(shù)；h為積分步長。通過調(diào)整ω1i、ω2i、ω3i增益參數(shù)，使得z1i、z2i、z3i分別無限接近Fi、F&i、f(t)。即設(shè)計動態(tài)誤差補償量為：

式中：U0i(t)為動態(tài)誤差反饋控制量。

將式（12）代入式（9）可得：

通過線性擴張狀態(tài)觀察器（LESO）中z3i對放卷張力系統(tǒng)中總擾動的估計，可以補償各單元中動態(tài)耦合的總擾動，能夠解決該系統(tǒng)中動態(tài)耦合的問題。在線性自抗擾控制器設(shè)計中，為了避免跟蹤誤差引起的張力波動，采用PD 控制對放卷張力系統(tǒng)的個單元進行控制。PD控制器為：

式中：F0i為各單元張力參考值；kpi、kdi為各單元控制器增益系數(shù)；ω為期望閉環(huán)的阻尼系數(shù)；為控制器的可調(diào)參數(shù)。

根據(jù)放卷張力系統(tǒng)各單元的數(shù)學模型，對模型進行靜態(tài)解耦和動態(tài)解耦，設(shè)計線性自抗擾控制器，將非線性、時變性的耦合二級系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單輸入、單輸出的線性系統(tǒng)。該系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 線性自抗擾控制結(jié)構(gòu)圖

3 仿真分析

針對放卷張力系統(tǒng)設(shè)計的線性自抗控制器，進行仿真實驗研究。在MATLAB/Simulink 中建立放卷系統(tǒng)的模型和線性自抗擾（LADRC）控制器模型[12]，對該控制器在解耦和抗干擾方面的控制效果進行驗證，并且與常規(guī)PID 控制器的控制效果進行對比分析。放卷張力系統(tǒng)模型參數(shù)如表1所示，控制器參數(shù)如表2所示。

表1 放卷張力系統(tǒng)模型參數(shù)表

表2 控制器參數(shù)表

3.1 解耦仿真對比

在連續(xù)軋染機實際工作過程中，對織物的加工是連續(xù)的，放卷單元是加工的一步。這個階段織物張力需要按照織物的加工工藝進行設(shè)定和調(diào)整，根據(jù)放卷張力系統(tǒng)模型的分析，該系統(tǒng)中放卷單元和牽引單元中織物張力具有耦合作用。

在1#軋車輥筒的角速度ω3=100 rad/min，放卷輥的半徑R1=0.3 m，分別調(diào)整放卷單元F2=22 N和牽引單元F3=20 N，穩(wěn)定運行4 s 后，將F2調(diào)整到27 N，保持2 s 后，恢復到22 N。在不同控制器下解耦曲線如圖3所示。

圖3 不同控制器的解耦仿真曲線

由圖3可以看出，在常規(guī)PID 控制器下，F(xiàn)2在4 s和6 s時的變化，會引起F3有0.85 N的波動，而在線性自抗擾控制器（LADRC）下，F(xiàn)2的變化，不會引起的波動；說明該控制器解決了放卷單元和牽引單元張力耦合問題，具有良好的解耦效果。

3.2 抑制參數(shù)擾動仿真對比

放卷系統(tǒng)在實際運行過程中，放卷輥的半徑不斷變化，會引起放卷張力的變化。在ω3=100 rad/min，放卷輥半徑分別為0.1、0.3、0.5 m時，兩種控制器對放卷張力F2的控制效果如圖4所示。在R=0.3 m，1#軋車電機的角速度分別為100、120、150 rad/min 時，兩種控制器對牽引張力F3的控制效果如圖5所示。

圖4 R變化，F(xiàn)2仿真曲線

圖5 ω3變化，F(xiàn)3仿真曲線

由圖4可以看出，當放卷輥的卷徑發(fā)生變化時，在常規(guī)PID 控制器控制下，放卷張力F2達到20 N 的時間延長，還產(chǎn)生5.6%超調(diào)，需要重新整定PID系數(shù)，才能保證系統(tǒng)穩(wěn)定；但在線性自抗擾控制器（LADRC）的控制下，F(xiàn)2不受卷徑變化的影響，能夠迅速穩(wěn)定達到20 N。由圖5可以看出，當1#軋車電機的角速度發(fā)生變化時，在常規(guī)PID 控制器控制下，牽引張力F3會產(chǎn)生15.8%的超調(diào)，使系統(tǒng)不穩(wěn)定，而在線性自抗擾控制器（LADRC）的控制下，F(xiàn)3不發(fā)生明顯變化；說明LADRC具有良好的抗內(nèi)部參數(shù)擾動效果。

3.3 抑制外部擾動仿真對比

在實際生產(chǎn)中，放卷會受到外界條件的影響，利用正弦擾動和方差為0.001的噪聲信號模擬未知干擾和外界干擾，兩種控制器對放卷張力的控制效果如圖6所示。由圖6可以看出，放卷系統(tǒng)在受到外界干擾和未知干擾的情況下，在常規(guī)PID 控制器控制下，放卷張力F2發(fā)生明顯的波動，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，而在線性自抗擾控制器（LADRC）的控制下，F(xiàn)2受外界擾動的影響很小，能夠保持系統(tǒng)穩(wěn)定運行。說明LADRC具有良好的擾動補償和抗干擾性。

圖6 外界擾動，F(xiàn)2仿真曲線

4 結(jié)論

針對連續(xù)軋染機放卷張力系統(tǒng)對張力穩(wěn)定性的要求，提出采用線性自抗擾控制器（LADRC）控制的方法，解決了因放卷張力與牽引張力的耦合以及參數(shù)擾動和外界干擾引起張力變化的問題，使放卷系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運行。通過與常規(guī)PID控制器對比仿真實驗，LADRC體現(xiàn)出對放卷模型參數(shù)變化和外界干擾的魯棒性和控制精度以及良好的解耦效果。該控制器參數(shù)調(diào)節(jié)少，調(diào)節(jié)方便，具有一定的實用價值。