湯中民，唐貴進，劉小花，崔子冠，劉 峰

(南京郵電大學(xué) 江蘇省圖像處理與圖像通信重點實驗室，江蘇 南京 210003)

0 引 言

隨著壓縮感知理論的完善和發(fā)展，稀疏表示和字典學(xué)習(xí)在不同領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，包括圖像去噪[1-2]、人臉識別[3]、圖像壓縮[4]等?；谧值鋵W(xué)習(xí)的方法已經(jīng)成功應(yīng)用在圖像去噪領(lǐng)域，這些方法主要是利用過完備字典[5]的冗余性對圖像進行稀疏表示，在保證圖像結(jié)構(gòu)性的同時達到去噪的目的。

在稀疏編碼階段使用的稀疏約束是任何字典學(xué)習(xí)算法的關(guān)鍵。但是K-SVD[6](K-singular value decomposition)算法的稀疏約束僅僅在稀疏編碼階段使用，卻沒有在字典更新階段使用。為了克服這一缺點，順序字典學(xué)習(xí)[7](sequential dictionary learning，SDL)和加權(quán)的順序字典學(xué)習(xí)[8]相繼提出。該方法在字典更新階段使用稀疏約束，更能夠有效地更新字典，因此提出使用加權(quán)的順序字典學(xué)習(xí)替代K-SVD算法。在字典原子優(yōu)化部分，考慮到在較高噪聲的影響下，更新后的字典中通常含有許多噪聲原子，然而直接閾值刪除[9]或者替代[10]檢測的噪聲原子依然存在不足。因而根據(jù)原始含噪圖像以及紋理圖像(由MCA[11-12]圖像分離得到)的復(fù)雜度，提出采用Bartlett檢驗法自適應(yīng)地判斷字典噪聲原子，進而刪除這些噪聲原子以達到優(yōu)化字典的目的。

1 基于K-SVD的圖像去噪算法

(1)

2 一種新的字典更新和字典原子優(yōu)化的圖像去噪算法

2.1 加權(quán)順序字典更新

K-SVD算法只是在稀疏編碼階段使用了稀疏約束，但是在字典更新階段卻沒有使用。而使用加權(quán)的順序字典更新來替代K-SVD字典更新，可以有效利用稀疏約束，得到更為近似表示原數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)字典。加權(quán)順序字典更新模型[8]為：

在稀疏編碼階段，采用凸松弛的方法，然后保持字典固定并通過l1范數(shù)最小化方法來求解:

?i∈[1,N]

(4)

(5)

(7)

2.2 自適應(yīng)字典原子優(yōu)化

在學(xué)習(xí)得到的字典中，有些字典原子幾乎就是噪聲，不包含有意義的內(nèi)容。特別是在強噪聲的情況下，字典中含有過多的噪聲原子往往會嚴重影響去噪后的圖像質(zhì)量。Lee等[15]提出利用圖像塊特征結(jié)構(gòu)性來描述原子特性。即在至少某一方向上，信號原子的相關(guān)性很強，而噪聲原子的隨機分布導(dǎo)致信號原子在各個方向上幾乎沒有相關(guān)性。文獻[10]中使用Bartlett檢驗法從四個方向(水平、垂直、主對角線以及次對角線)檢測原子的特征向量的方差vi是否相等或者至少有兩個方向的原子方差不等，來判斷原子是否為噪聲原子。但是圖像塊的結(jié)構(gòu)特征并不由上述四個方向的結(jié)構(gòu)向量表征，因此提出新增一個方向的結(jié)構(gòu)特征即螺旋形方向特征，并重新定義Bartlett檢驗統(tǒng)計量為：

(8)

為了檢測字典中的噪聲原子，需要對字典原子依次進行判斷。若原子的Bartlett檢驗統(tǒng)計量滿足T<χ2(ρ;4)，則認為該原子是噪聲原子。其中，χ2(ρ;4)表示自由度為4的chi-平方分布對應(yīng)ρ百分點的值。

不同的噪聲強度和原始圖像的圖像結(jié)構(gòu)復(fù)雜度直接會影響對噪聲原子檢測的判斷。因此考慮自適應(yīng)選取ρ值來檢測字典的噪聲原子。

在學(xué)習(xí)字典中，通過字典原子的TV活躍性測度，來分離出卡通原子和紋理原子?？ㄍㄔ酉鄬饣梢员硎緢D像的卡通部分；而紋理原子中包含有圖像塊的紋理部分以及絕大部分噪聲。因此，可以通過MCA分離出來的紋理圖像的復(fù)雜度(用圖像的方差來衡量)以及含噪圖像的復(fù)雜度這兩個變量，選取不同的ρ值來判斷噪聲原子。實驗中，在不同強度噪聲情況下測試了大量圖像的數(shù)據(jù)，并對ρ最優(yōu)擬合使得去噪效果達到最優(yōu)。其中，擬合函數(shù)為：

(9)

其中，η為含噪圖像復(fù)雜度；ζ為經(jīng)過字典學(xué)習(xí)后分離出來的紋理圖像復(fù)雜度。σ為噪聲強度，參數(shù)設(shè)定如下：

(10)

實驗中，使用K-SVD算法對噪聲強度為40的Lena含噪圖像進行處理，并且對比了硬閾值刪除以及根據(jù)擬合函數(shù)自適應(yīng)閾值刪除字典噪聲原子的紋理圖像和去噪圖像的質(zhì)量和效果，如圖1所示。

(a)原始去噪紋理圖像及對應(yīng)去噪圖像(PSNR=28.458)

(b)硬閾值刪除方法紋理圖像及對應(yīng)去噪圖像(PSNR=28.857)

(c)自適應(yīng)閾值刪除方法紋理圖像及對應(yīng)去噪圖像(PSNR=29.013) 圖1 對比效果

由圖1可知，圖像(a)中引入了過多噪聲，(b)中紋理的細節(jié)部分損失的比較嚴重，(c)則有效避免了上述兩個問題。對比去噪圖像PSNR可知，自適應(yīng)字典原子檢測在排除字典噪聲原子干擾上具備一定的優(yōu)勢。

2.3 算法描述

文中方法使用加權(quán)順序字典更新來代替經(jīng)典的K-SVD字典更新，并且在此基礎(chǔ)上使用自適應(yīng)閾值刪除噪聲原子優(yōu)化字典原子，使得字典D更能近似表示原始圖像。算法描述如下：

已知：訓(xùn)練數(shù)據(jù)Y∈m×N，初始化字典Dini，參數(shù)α和迭代次數(shù)J，令D=Dini

步驟1：加權(quán)順序字典更新

(1)通過誤差矩陣計算Q矩陣，并由式4得到稀疏系數(shù)矩陣A

(2)對于字典D的每一列k=1,2,…,K

以上步驟經(jīng)過J次迭代得到學(xué)習(xí)字典D和稀疏矩陣A

步驟2：自適應(yīng)字典原子優(yōu)化

(3)計算原含噪圖像的復(fù)雜度η和MCA分離后紋理圖像的復(fù)雜度ζ

(4)根據(jù)式9自適應(yīng)判斷字典噪聲原子并刪除，得到優(yōu)化字典D'

3 實驗結(jié)果與分析

實驗是在64位Windows7系統(tǒng)下利用MATLAB R2014a圖形仿真軟件進行的。為了驗證文中算法在圖像去噪性能上的有效性，選取5幅測試圖像，包括像素為512×512的Lena、Barbara、Countryside和像素為256×256的House、Monarch灰度圖像。并且對比了經(jīng)典的K-SVD算法、SDL算法[7]和ProDL算法[16]的性能。圖像中添加均值為0、標準差為σ的高斯白噪聲。初始化字典選取DCT字典，大小為64×256，即字典原子數(shù)目K=256。圖像塊選取的大小為8×8，并且為了保證文中算法和對比算法比較的合理性，算法的迭代次數(shù)全部設(shè)置為J=10。式5中用于更新稀疏系數(shù)的參數(shù)設(shè)置為α=8。圖像的客觀質(zhì)量評價標準為峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)和平均結(jié)構(gòu)相似度(mean structure similarity，MSSIM)。

表1給出了5幅圖像在不同噪聲強度下通過4種去噪方法的PSNR和MSSIM對比?？梢钥闯?，文中算法相對其他三種算法在PSNR和MSSIM上都具有很大的優(yōu)勢，特別是隨著噪聲強度的增加，算法的去噪效果更為突出。例如，Lena圖像在σ=40時，文中算法的PSNR相比其他算法提高了0.6～0.7 dB，MSSIM也有一定提高；在σ=80時，文中算法的PSNR相比其他算法提高了約1.1 dB。

圖2對比了House圖像在σ=40時四種算法的去噪效果。可以看出，文中算法相對于其他三種算法能夠去除大部分的噪聲，并且在一定程度上保證了圖像細節(jié)。

表1 去噪圖像的PSNR(dB)和MSSIM對比

圖2 四種算法的去噪結(jié)果(House含噪圖像的噪聲強度為40)

4 結(jié)束語

通過使用加權(quán)的順序字典更新替代原始K-SVD字典更新，在字典更新的過程中，充分利用稀疏約束，有效更新了學(xué)習(xí)字典。在字典原子優(yōu)化過程中，自適應(yīng)選取閾值去除字典噪聲原子，以最大化地減少較高強度噪聲對去噪結(jié)果的影響。實驗結(jié)果表明，與K-SVD算法、SDL算法以及ProDL算法相比，文中算法不僅在客觀評價標準上明顯提高，而且去噪后的圖像邊緣以及細節(jié)部分也有一定的優(yōu)勢。下一步，可以從優(yōu)化文中算法的時間復(fù)雜度方面展開研究。