江蘇省南京市金陵中學(xué)西善分校 (郵編：210041)

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(2018年山東泰安第24題)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(-4，0)、B(2，0)，交y軸于點(diǎn)C(0，6)，在y軸上有一點(diǎn)E(0，-2)，連接AE．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ADE面積的最大值；

(3)拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABC為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2 特點(diǎn)解讀

2.1 背景熟悉，層次清晰，考查真功

全國(guó)各地的中考試卷中，以二次函數(shù)圖象為背景的考題屢見(jiàn)不鮮，是中考的重點(diǎn)話題之一．本題以二次函數(shù)為背景，借助平面直角坐標(biāo)系和坐標(biāo)，將拋物線和幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了“以數(shù)解形、以形助數(shù)”的目的．不僅考查“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”的核心知識(shí)，同時(shí)也蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想，其計(jì)算部分的方法也為以后的解析幾何奠定了基礎(chǔ)．

本題已知與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A、B、C，求函數(shù)表達(dá)式．方法不唯一，可設(shè)一般式也可設(shè)交點(diǎn)式，是基于學(xué)生的理解考查基本功．問(wèn)題2中，拋物線內(nèi)嵌了一個(gè)三角形，另一個(gè)定點(diǎn)卻在y軸上，探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的三角形面積最值，整個(gè)配圖一條拋物線和一個(gè)三角形，問(wèn)題清晰明了，圖形也簡(jiǎn)潔清爽．本題的設(shè)置由易到難，梯度分明，不管是求表達(dá)式，還是探究面積最值，或是等腰三角形的分類(lèi)討論，都是數(shù)學(xué)中的基本問(wèn)題，每個(gè)層次學(xué)生均能有所收獲．在熟悉的背景下，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算、基本問(wèn)題解決等數(shù)學(xué)基本功．

2.2 注重理解，立足建模，解法多樣

筆者結(jié)合近幾年各地中考試題，發(fā)現(xiàn)與本題素材類(lèi)似的試題較多，二次函數(shù)的圖象綜合題或多或少都有“最值”的影子，仔細(xì)研究，不難發(fā)現(xiàn)此類(lèi)題有個(gè)共同的特點(diǎn)．題目入口很寬，思路靈活，既涵蓋了拋物線和三角形的綜合知識(shí)，又突出了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)和思維能力的考查．試題還立足于數(shù)學(xué)建模，不同視角下的建模就能生成不同的解法，有偏重于計(jì)算，有偏重于理解的，有偏重于轉(zhuǎn)化的，形式多樣，精彩萬(wàn)千，兼顧到了不同層次、不同思維、不同能力下各類(lèi)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，具有很高的信度和效度．

史寧中教授認(rèn)為，最基本的數(shù)學(xué)思想有三種，抽象、推理和模型．本題不管是哪種方法求面積最值，最終的核心都要回到建立模型上，用建模來(lái)統(tǒng)領(lǐng)所有解法具有很好的指導(dǎo)價(jià)值．因此，此類(lèi)題作為中考的優(yōu)質(zhì)素材，不僅實(shí)現(xiàn)了一題多解到多解歸一的升華，同時(shí)也提升了學(xué)生的思維空間．

3 解法賞析

本題3個(gè)小問(wèn)的解法均不唯一，限于篇幅，這里只探究第(2)問(wèn)的解法．

拋物線中動(dòng)點(diǎn)三角形面積最值問(wèn)題解決方法通常可分為兩大類(lèi)：一是運(yùn)用“代數(shù)解析”的方法，將面積建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)最值解決；二是運(yùn)用“構(gòu)圖分析”的方法，建立幾何模型，從運(yùn)動(dòng)的角度分析出最值位置，求出此位置的面積即可．

3.1 代數(shù)解析，建立函數(shù)模型

(1)思路：運(yùn)用填補(bǔ)，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形

圖2

評(píng)析當(dāng)三角形的三邊都不與x軸或y軸平行時(shí)，填補(bǔ)成規(guī)則圖形，這種面積的間接算法是求面積的常見(jiàn)思路．此思路下，還可以填補(bǔ)轉(zhuǎn)化為直角梯形等多種規(guī)則圖形，計(jì)算原理都是一樣．

(2)思路：借助平行，構(gòu)造相似，直接求高

圖3

評(píng)析底邊長(zhǎng)度已知的情況下，用直接求高來(lái)表示面積也未嘗不可．在平面直角坐標(biāo)系中，垂直線段的長(zhǎng)度基本都可通過(guò)構(gòu)造相似求解，這也是坐標(biāo)系中研究幾何圖形的常用方法之一．

(3)思路：借助平行，改變形狀，轉(zhuǎn)化面積

圖4

評(píng)析平行線可以利用同底等高在面積不變的前提下改變?nèi)切蔚男螤?，從而可以達(dá)到改“斜”歸“正”的目的，是“轉(zhuǎn)化思想”的一種體現(xiàn)．

(4)思路：運(yùn)用切割，左右整合，寬高求積

圖5

評(píng)析平面直角坐標(biāo)系中任意三角形按左右分割，再整合左右就能推出寬高公式，面積等于水平寬與鉛直高乘積的一半．在理解原理的情況下，此法能幫助學(xué)生更加便捷地計(jì)算面積，是筆者認(rèn)為值得推廣的方法之一．

3.2 構(gòu)圖分析，建立幾何模型

(1)思路：平移視角，相切位置，面積最大

圖6

評(píng)析借助平移，換個(gè)視角動(dòng)態(tài)分析，找“形”上的臨界位置，轉(zhuǎn)化為“數(shù)”上的關(guān)系解決．這種“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的思想，是數(shù)學(xué)思維和能力的更高體現(xiàn)．

圖7

(2)思路：分析規(guī)律，中點(diǎn)位置，面積最大

評(píng)析在理解面積為二次函數(shù)的前提下，通過(guò)圖象的對(duì)稱(chēng)性，推理出最值的位置．此法對(duì)于學(xué)生的觀察力和分析推理的能力要求很高，而且關(guān)于“中間位置為最值”的認(rèn)識(shí)，也可以用代數(shù)解析的方法證明這個(gè)結(jié)論，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)等于與拋物線兩交點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，面積最大．

4 教學(xué)導(dǎo)向

4.1 關(guān)注學(xué)生思維差異，從“一題一解”到“一題多解”

解題活動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)最基本的活動(dòng)形式，學(xué)會(huì)解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵. 筆者認(rèn)為解題教學(xué)不能以一解論之，因?yàn)閷W(xué)生的思維不同，有的偏重于代數(shù)的計(jì)算，有的偏重于圖形的分析，有的偏重于問(wèn)題的推理，而一道好題的解法應(yīng)當(dāng)會(huì)兼顧到各類(lèi)層次的學(xué)生，會(huì)關(guān)注到各種思維的差異，因此教師要讓每位學(xué)生都學(xué)有所獲，得到發(fā)展，就必須關(guān)注學(xué)生的差異，立足于學(xué)生的思維來(lái)教解題．

基于學(xué)生不同視角下對(duì)問(wèn)題的理解，不同想法就可以誕生出不同的解法，只要解法思路合理，可鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試. 這樣一來(lái)，一道“一題多解”的題，它的價(jià)值就能得以體現(xiàn)，它的立意也不再局限于“一道”，不但充分挖掘了知識(shí)方法間的聯(lián)系，而且還能從多解中提升學(xué)生的思維，激發(fā)數(shù)學(xué)的興趣．

4.2 提煉解題思想方法，從“一題多解”到“多解歸一”

研究一道中考好題，整理不同思維下的解法，實(shí)際上是一個(gè)學(xué)教解題的過(guò)程．學(xué)生的解法可以是單向，但教師的認(rèn)識(shí)必須是多維的．一題多解并不是為了炫技能，它恰恰反映的是教師對(duì)試題研究是否充分和對(duì)背后知識(shí)理解是否透徹，歸根到底考驗(yàn)的是教師解題教學(xué)的基本功．筆者認(rèn)為教師的解題教學(xué)必須先從研究試題開(kāi)始，因?yàn)橹挥写蜷_(kāi)思路，研究多種視角多種解法，教師才有可能站在更高的高度，比較解法之間的差異，關(guān)注解法之間的聯(lián)系，提煉出更好的解題思想來(lái)統(tǒng)領(lǐng)所有解法，即“多解歸一”．這樣教給學(xué)生的解法，才是完整的，是有高度的，是真正蘊(yùn)含“數(shù)學(xué)思想”的方法．

知識(shí)是永遠(yuǎn)學(xué)不完的，題目也是永遠(yuǎn)做不完的，題只是知識(shí)方法的一個(gè)載體，通過(guò)解題的過(guò)程，理解知識(shí)的原理，提煉方法的本質(zhì)，注重解法的策略，讓學(xué)生解題有“一題多解”的能力，也有“多解歸一”的認(rèn)識(shí)，這才是解題教學(xué)的目標(biāo).