湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué) (郵編：410009)

近日筆者在上一堂高三習(xí)題課時(shí)，講到一道2016年高考浙江卷的壓軸題，不料一波三折，“被迫”與學(xué)生一道對(duì)該題進(jìn)行了深度探究.

圖1

1 試題再現(xiàn)

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a、k表示)；

(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

筆者按照上述標(biāo)準(zhǔn)答案的解法講解了該題，指出關(guān)鍵是求出a2的取值范圍，并著重點(diǎn)評(píng)了“正難則反”的思維，本以為這樣就可以完美收官了，但學(xué)生們普遍表現(xiàn)出一種欲言又止，心有不甘的表情，一方面對(duì)“正難則反”的方法嘖嘖稱嘆，一方面對(duì)自己從正面解題的方法也覺(jué)得不無(wú)道理，一時(shí)間大家各抒己見(jiàn)，爭(zhēng)論不休.

2 華山論劍

圖2

該生是憑借幾何直觀構(gòu)造圖形，但立刻遭到其他同學(xué)反駁.

生2：我認(rèn)為在圓A變大時(shí)雖然點(diǎn)B不再是公共點(diǎn)，但可能在兩側(cè)產(chǎn)生新的公共點(diǎn)，所以這個(gè)橢圓并不滿足與圓至多3個(gè)公共點(diǎn)的要求.

師：生2的懷疑確實(shí)不無(wú)道理，畢竟感性認(rèn)識(shí)不具備理性的說(shuō)服力，可否從理性的角度來(lái)解析呢？

圖3

很明顯此刻同學(xué)們的興趣和疑惑更大了，一方面聯(lián)立方程利用數(shù)形結(jié)合解題是大家常用的方法，另一方面兩種結(jié)果竟然恰好相反，大家都把目光投向了教師，看來(lái)不搞個(gè)水落石出決不罷休了，于是筆者和同學(xué)們共同展開(kāi)了對(duì)本題的深度探究.

3 深度探究

師：同學(xué)們專注于計(jì)算恰好3個(gè)公共點(diǎn)的情況，然而本題是要尋找這樣一類橢圓，即無(wú)論圓A大小怎樣變化，都至多3個(gè)公共點(diǎn)，因此不應(yīng)局限在恰好3個(gè)公共點(diǎn)而止步不前，還要看在變化過(guò)程中是否出現(xiàn)4個(gè)公共點(diǎn).

(1)當(dāng)r2>f(-1)=4，即r>|AB|時(shí)，方程f(y)=r2無(wú)解，此時(shí)0個(gè)公共點(diǎn)；

(2)當(dāng)r2=f(-1)=4，即r=|AB|時(shí)，方程f(y)=r2有唯一解y1=-1，此時(shí)對(duì)應(yīng)1個(gè)

公共點(diǎn)(如圖4、5) .

圖4

(3)當(dāng)0=f(1)

圖6

圖8

此時(shí)對(duì)應(yīng)有4個(gè)公共點(diǎn)(如圖10、11)；

圖10

(4)當(dāng)r2=f(-1)=4，即r=|AB|時(shí)，方程f(y)=r2有兩個(gè)不同的解y1=-1，y2∈(-1,1)，此時(shí)對(duì)應(yīng)有3個(gè)公共點(diǎn)(如圖12、13)；

圖12

(5)當(dāng)0

圖14

綜上所述，當(dāng)12時(shí)，圓與橢圓至多會(huì)有4個(gè)公共點(diǎn).

4 塵埃落定

揭開(kāi)廬山真面目，學(xué)生的滿腹疑惑終于煙消云散，通過(guò)深度探究，訓(xùn)練了對(duì)函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合的思維，相信對(duì)提升學(xué)生包括邏輯推理等在內(nèi)的核心素養(yǎng)大有裨益.