陳力斯 胡中文 姜海嬌

(1 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)南京天文光學(xué)技術(shù)研究所 南京 210042)

(2 中國(guó)科學(xué)院天文光學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南京天文光學(xué)技術(shù)研究所)南京 210042)

(3 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

1 引言

空間天文光學(xué)觀測(cè)是天文觀測(cè)技術(shù)的重要發(fā)展方向之一.我國(guó)在載人航天重大科學(xué)工程項(xiàng)目的支持下,正在開展大規(guī)模多波段成像和無(wú)縫光譜巡天的研制任務(wù).無(wú)縫光譜巡天依托空間站平臺(tái)開展從紫外波段到近紅外波段低分辨率無(wú)縫光譜觀測(cè),是空間站光學(xué)巡天任務(wù)中的兩大功能之一.該巡天任務(wù)的開展對(duì)研究宇宙的起源與演化、探索紫外及早期宇宙的研究等有極為重要的科學(xué)意義.

無(wú)縫光譜巡天極限星等在一定程度上受無(wú)縫光譜效率和無(wú)縫光譜光柵衍射效率制約,光柵衍射效率的數(shù)值模擬方法可分為標(biāo)量波理論和矢量波理論兩大類.標(biāo)量衍射模型缺乏足夠的精度.矢量波理論本質(zhì)上是嚴(yán)格求解麥克斯韋方程,經(jīng)常采用積分法與微分法.其中積分法以有限元法[1]和邊界元法[2]為代表,微分法以嚴(yán)格耦合波分析(RCWA)方法為主,同時(shí)還包括坐標(biāo)變換法[3]、有限差分法[4]、基于快速傅里葉分解(FFF)的微分算法[5]等.在光柵衍射效率的優(yōu)化方面,基于標(biāo)量衍射理論的研究者采用的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法包括各種梯度算法、投影算法、模擬退火算法等.基于矢量波理論的研究者優(yōu)化算法采用遺傳算法、模擬退火法、差分進(jìn)化算法和梯度下降法等[6?15].

本文針對(duì)我國(guó)空間站無(wú)縫光譜巡天任務(wù)優(yōu)化衍射光柵的效率,基于RCWA理論,綜合模式搜索法和差分進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上,對(duì)空間無(wú)縫光譜3個(gè)波段紫外、可見光和近紅外光柵進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì).具體的優(yōu)化過(guò)程是首先根據(jù)光譜儀zemax文件確定各個(gè)光柵工作的入射角以及離面角,然后依據(jù)上述工作條件優(yōu)化光柵槽型得到最優(yōu)衍射效率.優(yōu)化結(jié)果表明,無(wú)縫光譜儀中工作在不同波段、不同入射角和不同離面角的多塊光柵通過(guò)合理控制槽型,所有光柵在閃耀波長(zhǎng)處的理論平均衍射效率可以達(dá)到0.83.

2 無(wú)縫光譜儀器光柵及光柵衍射效率的仿真

2.1 無(wú)縫光譜儀器光柵配置

無(wú)縫光譜儀器的核心色散元件是工作在焦面附近的光柵組件,它由工作在不同波段的24塊光柵拼接而成.在光學(xué)設(shè)計(jì)中,各塊光柵單獨(dú)優(yōu)化設(shè)計(jì)達(dá)到系統(tǒng)各項(xiàng)指標(biāo),每塊光柵工作的入射角、離面角以及工作級(jí)次均不相同.前端望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)采用離軸三反結(jié)構(gòu)、主鏡口徑2 m、焦比F14,24塊光柵工作在3個(gè)不同波段GI、GU、GV,波長(zhǎng)范圍覆蓋255–1000 nm.其中GI波段對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)范圍是620–1000 nm,GU波段對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)范圍是255–420 nm,GV波段對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)范圍是400–650 nm,所有的光柵均為透射式平面刻劃光柵,光柵尺寸110 mm×50 mm,工作波段的光柵刻線密度GI為150 g/mm,GV為235 g/mm,GU為333 g/mm.24塊光柵在系統(tǒng)中的整體布局如圖1所示.

圖1 光柵組件整體布局Fig.1 The layout of grating components

2.2 光柵衍射效率仿真的嚴(yán)格耦合波分析

從電磁學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,求解光柵問(wèn)題本質(zhì)上是解決邊界值問(wèn)題.嚴(yán)格耦合波分析方法也叫傅立葉模態(tài)方法,傅立葉模態(tài)方法只是解決這個(gè)邊界值問(wèn)題的其中一種方法,它的簡(jiǎn)潔性使它成為最常用的衍射光柵建模方法[16].該方法的特點(diǎn)是將電場(chǎng)和磁場(chǎng)擴(kuò)展為Floquet-Fourier系列同時(shí)將介質(zhì)的介電常數(shù)用傅里葉級(jí)數(shù)展開,最終轉(zhuǎn)化為求解麥克斯韋方程對(duì)應(yīng)的矩陣特征值問(wèn)題.首先將包含光柵的3維物理空間分為3個(gè)區(qū)域:頂部含有入射平面波的半無(wú)限區(qū)域I,入射及反射電磁場(chǎng)在該區(qū)域;中間區(qū)域也稱為光柵區(qū)域或周期區(qū)域G,在該區(qū)域介質(zhì)邊界或折射率存在周期性變化;底部半無(wú)限區(qū)域II,透射的電磁場(chǎng)在該區(qū)域,如圖2所示[17].入射/反射區(qū)域I和透射區(qū)域II的折射率分別為nI和nII.光柵的周期為Λ,占空比為f,其線高為d,槽寬w=fΛ.在光柵區(qū)域中建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系,圖中θ為入射光的入射角,入射波波矢kI所在的鉛垂面與xoz平面夾角為?,電場(chǎng)矢量E與kI所在鉛垂面的夾角為Ψ,入射光在自由空間中的波長(zhǎng)記為λ0.

圖2 錐形衍射示意圖Fig.2 Schematic diagram of the conical diffraction

應(yīng)用RCWA求解光柵問(wèn)題時(shí),首先將光柵區(qū)域的相對(duì)介電常數(shù)展開成Fourier級(jí)數(shù)的形式,εg為相對(duì)介電常數(shù)Fourier展開時(shí)的第g級(jí)分量.入射場(chǎng)可以用Ψ、θ、?、nI、λ0表示出來(lái).

區(qū)域I的電場(chǎng)矢量為入射電場(chǎng)與各級(jí)反射波電場(chǎng)的和,區(qū)域II的電場(chǎng)矢量為各級(jí)透射波電場(chǎng)的和.i級(jí)反射波的復(fù)振幅矢量用Ri表示,i級(jí)透射波的復(fù)振幅矢量用Ti表示.Ri和Ti均為待定.表達(dá)式中的各個(gè)波矢分量由弗洛蓋定理求得.

對(duì)于光柵區(qū)域的電場(chǎng)矢量Eg和磁場(chǎng)矢量Hg,可用Fourier級(jí)數(shù)展開為空間諧波的疊加.電場(chǎng)矢量磁場(chǎng)矢其中、分別為x、y、z方向的單位矢量,ε0為真空中的介電常數(shù),μ0為真空中的磁導(dǎo)率,j為虛數(shù)單位.根據(jù)弗洛蓋定理,第i級(jí)波矢在x方向的分量kx,i=k0[nIsinθcos??在y方向的分量ky=k0nIsinθsin?,其中k0=為入射光束在真空中的波數(shù).Sx,i(z)、Sy,i(z)和Sz,i(z)分別是i級(jí)衍射諧波的電場(chǎng)復(fù)振幅矢量Si(z)在x、y、z方向上的分量.同理,Ux,i(z)、Uy,i(z)和Uz,i(z)分別是第i級(jí)衍射諧波磁場(chǎng)復(fù)振幅矢量Ui(z)在x、y、z方向上的分量.記Sx= (···,Sx,?2,Sx,?1,Sx,0,Sx,1,Sx,2,···)和=同理,記、分別為Sx,i、Ux,i各個(gè)不同級(jí)次的x方向分量對(duì)z求2階偏導(dǎo)排列成的矩陣.化簡(jiǎn)可得到矩陣形式[17]:

其中Ky為一對(duì)角元為常數(shù)的N維對(duì)角陣,其對(duì)角元為波矢分量ky,H為一個(gè)N維Toeplitz矩陣,其矩陣元素為光柵介電系數(shù)的各級(jí)傅里葉分量.Kx是依次以為對(duì)角元構(gòu)成的對(duì)角矩陣,同理Ky是依次以ky,?N,ky,?N+1,···ky,0,···,ky,N?1,ky,N為對(duì)角元構(gòu)成的對(duì)角矩陣.此時(shí),麥克斯韋方程組的求解化為求解微分方程(1)式,可以求得Sx、Ux的通解,用求得的Sx、Ux求Sy、Uy.

到這里,光柵區(qū)域中電場(chǎng)矢量和磁場(chǎng)矢量都已求出,有一些常數(shù)需要通過(guò)求解邊界條件求得.根據(jù)入射媒質(zhì)和光柵的邊界z= 0處邊界條件方程和光柵和基底的邊界z=d處的邊界條件方程以及在入射媒質(zhì)和基底區(qū)域中利用電場(chǎng)矢量與光波矢量的正交條件[17]可以求得第i級(jí)的Ri和Ti.

第i級(jí)反射光的衍射效率DEri和第i級(jí)透射光的衍射效率DEti為:

其中kI、kII分別為區(qū)域I、II的波數(shù),kI,zi和kII,zi的表達(dá)式可以統(tǒng)一表示為:

其中,l=I,II,這里l是一個(gè)記號(hào).l= I時(shí)對(duì)應(yīng)的nl為nI,對(duì)應(yīng)的是入射/反射區(qū)域I的折射率.Re是取實(shí)部運(yùn)算.Rix、Riy和Riz分別是Ri在x、y、z方向上的分量.同理,Tix、Tiy和Tiz分別是Ti在x、y、z方向上的分量.

對(duì)于無(wú)縫光譜儀實(shí)際的應(yīng)用,很多時(shí)候矩形槽型的光柵不能得到最優(yōu)衍射效率.非矩形槽型的光柵衍射效率計(jì)算需要采用階梯近似,將該槽型劃分成多層矩形槽型并配合傳輸矩陣方法實(shí)現(xiàn),我們用Matlab編寫了計(jì)算任意槽型光柵衍射效率的程序.

3 無(wú)縫光譜儀中光柵衍射效率的優(yōu)化

對(duì)于單光柵,若待優(yōu)化參數(shù)只有1個(gè),直接采用枚舉法搜索最優(yōu)參數(shù)時(shí)需要接近半小時(shí),搜索時(shí)間隨最優(yōu)參數(shù)的個(gè)數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng).對(duì)于無(wú)縫光譜儀中的24塊光柵,優(yōu)化程序運(yùn)行的時(shí)間很長(zhǎng),為了提高運(yùn)算速度,本文采用模式搜索法和差分進(jìn)化算法結(jié)合的方法進(jìn)行光柵優(yōu)化.

3.1 光柵衍射效率優(yōu)化的模式搜索法和差分進(jìn)化算法

光柵的優(yōu)化問(wèn)題本質(zhì)上都可以歸結(jié)為關(guān)于待反演參數(shù)的某種目標(biāo)函數(shù)的全局極值問(wèn)題[18].常用的全局優(yōu)化方法有遺傳算法、模擬退火法、禁忌搜索法等.本文采用模式搜索法和差分進(jìn)化算法對(duì)光柵槽形進(jìn)行優(yōu)化.模式搜索法[19]是Hooke和Jeeves于1961年提出的,這種方法的基本思想是通過(guò)迭代力圖使產(chǎn)生的序列沿“山谷”走,從而接近極小點(diǎn).差分進(jìn)化算法和標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)化算法的計(jì)算步驟幾乎一樣,不同的是差分進(jìn)化算法首先執(zhí)行變異過(guò)程:在當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇3個(gè)個(gè)體,選里面的2個(gè)個(gè)體構(gòu)造差分向量加到第3個(gè)個(gè)體之上.實(shí)現(xiàn)上述變異過(guò)程后,執(zhí)行交叉操作和選擇操作,較好的個(gè)體進(jìn)入下一代繼續(xù)迭代,直到滿足算法的終止條件.模式搜索法能快速地收斂到局部最優(yōu)值,本文中經(jīng)過(guò)模式搜索法得到差分進(jìn)化算法的初始種群.利用差分進(jìn)化算法全局擇優(yōu)的特點(diǎn),有效避免局部最優(yōu)值,提升了運(yùn)算效率.該方法相比較于單純依靠隨機(jī)方法產(chǎn)生的初始種群具有更大的適應(yīng)性.算法流程圖如圖3所示.

圖3 優(yōu)化算法流程圖Fig.3 Flow chart of the optimization algorithm

3.2 無(wú)縫光譜儀中光柵衍射效率優(yōu)化的算法流程

首先,我們要確定光柵的待優(yōu)化參數(shù)并對(duì)光柵建模.不同槽型光柵待優(yōu)化的參數(shù)不同,可以將光柵參數(shù)表示成p= [p1,p2,···,pM],M是待優(yōu)化的參數(shù)個(gè)數(shù).對(duì)于矩形光柵如圖4 (a),待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為P1= [Λ,d,w].對(duì)于鋸齒型(Sawtooth)光柵如圖4 (b),其頂角為直角,有2個(gè)幾何參量:光柵周期Λ,左底角la,待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為P2= [Λ,la].對(duì)于三角形光柵如圖4 (c),三角形光柵有3個(gè)幾何參量:光柵周期Λ、左底角la、右底角ra,待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為P3=[Λ,la,ra].

對(duì)于無(wú)縫光譜儀中的光柵,在光學(xué)設(shè)計(jì)中考慮到光譜儀的光譜效率等,刻線密度已經(jīng)確定,因此對(duì)于矩形光柵,待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為Q1= [d,w].對(duì)于三角形光柵,待優(yōu)化的參數(shù)可以表示為Q2=[la,ra].對(duì)于鋸齒型光柵待優(yōu)化的參數(shù)為la.光柵基底與光柵區(qū)選取同樣的材料:熔融石英.對(duì)于單塊光柵優(yōu)化時(shí),假設(shè)工作入射角為3.8?,離面角為10?,工作在+1級(jí).

其次,對(duì)光柵待優(yōu)化參數(shù)賦初始值并確定目標(biāo)函數(shù).在我們的程序中初始值是采用Matlab隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生的.對(duì)目標(biāo)函數(shù)的選取,我們一方面要求在閃耀波長(zhǎng)處衍射效率盡量大,另一方面,要求在該波段兩端的邊緣波長(zhǎng)的衍射效率能大于0.6.記q為待優(yōu)化參數(shù),光柵面形優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可以表示為:

其中λ1、λm分別為兩端的波長(zhǎng),λb為閃耀波長(zhǎng).

然后,調(diào)用嚴(yán)格耦合波分析算法和模式搜索法,獲得局部最優(yōu)值.

最后,將得到的局部最優(yōu)值作為差分進(jìn)化算法的初始種群,調(diào)用嚴(yán)格耦合波分析算法和差分進(jìn)化算法,求得最優(yōu)解.

圖4 不同光柵槽型圖Fig.4 Different grating grooves

3.3 光譜儀中多光柵衍射效率的優(yōu)化

該光譜儀中色散元件部分由24塊光柵拼接而成,每塊光柵工作的入射角、離面角以及工作級(jí)次均不相同.對(duì)于光譜儀中的24塊光柵的衍射效率同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化,首先建立光路中光柵的幾何模型,計(jì)算各個(gè)光柵工作的入射角和離面角.對(duì)于不同的光柵,優(yōu)化光柵參數(shù),得到最優(yōu)衍射效率.算法流程如下:(1)根據(jù)無(wú)縫光譜儀zemax文件,建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)光路的幾何模型求得每個(gè)光柵工作的入射角和離面角;(2)根據(jù)待優(yōu)化參數(shù),第1步計(jì)算出來(lái)的光柵工作參數(shù)以及采用基于RCWA的衍射效率程序,采用模式搜索法和差分進(jìn)化算法結(jié)合的方法優(yōu)化衍射效率.

4 仿真結(jié)果

4.1 單光柵衍射效率優(yōu)化結(jié)果以及優(yōu)化算法驗(yàn)證

對(duì)于無(wú)縫光譜儀近紅外波段的一塊光柵,其對(duì)應(yīng)的工作參數(shù)為:入射角3.8?、波長(zhǎng)255–420 nm、刻線密度333 g/mm、閃耀波長(zhǎng)337.5 nm、未加增透膜,選擇鋸齒型槽型光柵,優(yōu)化左底角獲得工作在+1級(jí)次上衍射效率.通過(guò)優(yōu)化光柵參數(shù),可以得到:左底角為12.5?時(shí)在保證邊緣波長(zhǎng)衍射效率均大于0.6的情況下,+1級(jí)衍射效率最大.圖5是衍射效率曲線.

圖5 單光柵最優(yōu)化衍射效率曲線Fig.5 The optimal diffraction efficiency curve for a single grating

圖6是通過(guò)窮舉法得到的衍射效率與左底角的關(guān)系,驗(yàn)證了優(yōu)化程序的正確性.可以看到盡管在左底角為12.5?時(shí)閃耀波長(zhǎng)+1級(jí)衍射效率不是最大,但是保證了邊緣波長(zhǎng)處衍射效率大于0.6,這在工程上具有重要意義.

圖6 通過(guò)窮舉法得到的衍射效率與左底角的關(guān)系Fig.6 The relationship between diffraction efficiency and the left bottom angle obtained by enumeration

分別對(duì)光柵的槽型設(shè)置為矩形和正弦形最優(yōu)衍射效率曲線如圖7所示.可以看到在我們應(yīng)用背景下,矩形槽型和正弦形槽型最大衍射效率小于0.4,鋸齒型槽型光柵最優(yōu)衍射效率大于0.4.因此在無(wú)縫光譜儀光譜儀中,衍射光柵的類型選擇鋸齒型槽型光柵.

圖7 矩形槽型和正弦形槽型最優(yōu)衍射效率Fig.7 The optimal diffraction efficiency for the rectangular and sinusoidal grooves

4.2 多光柵衍射效率優(yōu)化結(jié)果

本文對(duì)24塊光柵槽型同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化,由于不同的光柵工作的入射角、離面角以及光柵本身刻線密度工作級(jí)次均不相同,但是考慮到在工程實(shí)際中,工作在同一波段內(nèi)的光柵的槽型參數(shù)盡量相同,所以需要對(duì)所有光柵同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化,獲得最優(yōu)衍射效率.

首先求得光譜儀中每個(gè)光柵工作的入射角和離面角,如表1所示.根據(jù)上面求得的每個(gè)光柵工作的入射角和離面角,可以對(duì)多個(gè)光柵同時(shí)優(yōu)化.在進(jìn)行多光柵優(yōu)化的過(guò)程中,我們一方面考慮工作波段邊緣波長(zhǎng)處衍射效率能盡量大,并且同一波段內(nèi)工作的8塊光柵的槽型參數(shù)盡量相同,另一方面需要獲得在閃耀波長(zhǎng)處最大衍射效率.最優(yōu)化槽型參數(shù)結(jié)果如下:當(dāng)光柵工作在+1級(jí)時(shí),較小的角度對(duì)應(yīng)的直角邊作為工作面,當(dāng)光柵工作在–1級(jí)時(shí),較大的角度對(duì)應(yīng)的直角邊作為工作面,優(yōu)化結(jié)果如表2.對(duì)于多光柵,GI波段光柵槽型左右底角分別為15?和75?,GU波段光柵槽型左右底角分別為13.5?和76.5?,GV波段光柵槽型左右底角分別為15.5?和74.5?,對(duì)應(yīng)的中心波長(zhǎng)在各自工作級(jí)次上平均衍射效率可以達(dá)到0.83.

表1 光譜儀中不同光柵的入射角和離面角Table 1 The incident and azimuth angles of different gratings in the spectrometer

表2 光譜儀中不同光柵最終衍射效率Table 2 The final diffraction efficiency of different gratings in the spectrometer

5 結(jié)論

本文基于嚴(yán)格耦合波分析,采用模式搜索法和差分進(jìn)化算法結(jié)合的優(yōu)化算法對(duì)光柵槽形進(jìn)行優(yōu)化,得到了衍射效率高且滿足工程需要的光柵槽形,達(dá)到了預(yù)期的目的,滿足了光譜儀研制的需要.模式搜索法和差分進(jìn)化算法結(jié)合的優(yōu)化方法通過(guò)模式搜索法得到初始種群,利用差分進(jìn)化算法全局擇優(yōu)的特點(diǎn),有效避免局部最優(yōu)值,提升了運(yùn)算效率,對(duì)其他研究中實(shí)際光柵的優(yōu)化制作有一定的指導(dǎo)作用.