杜文勝

鄭州大學 商學院，鄭州 450001

1 引言

粗糙集理論[1]是由波蘭學者Pawlak提出的一種能夠處理不精確、不確定和不完備信息的軟計算工具。該理論現(xiàn)已成功應用于人工智能、數(shù)據(jù)挖掘、模式識別與管理決策等領域[2-3]。需要指出的是，經(jīng)典的粗糙集理論以等價關系（不可區(qū)分關系）為基礎，然而，在現(xiàn)實世界中很多問題是基于優(yōu)勢關系的，如學生評教、教師職稱評定以及學校學科評估。為了解決這類問題，Greco等提出了優(yōu)勢粗糙集理論[4]，經(jīng)過近二十年的發(fā)展，現(xiàn)已發(fā)展成為粗糙集理論的一個重要分支[5]。

保加利亞學者Atanassov提出了直覺模糊集的概念[6]，它提供了元素屬于此模糊概念的隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三方面的信息，可同時表示肯定、否定和介于肯定與否定之間的猶豫性。由于其在處理模糊性和不確定性等方面的靈活性和實用性，有關該理論的研究受到了國內(nèi)外相關領域?qū)W者的極大關注，并被應用于醫(yī)療診斷、專家系統(tǒng)、近似推理、機器學習和市場預測等領域[7-8]。

近年來，將優(yōu)勢粗糙集理論與直覺模糊集理論相結合成為研究的一個熱點[9-11]，研究的主題是直覺模糊序信息系統(tǒng)的屬性約簡，其中包括一致直覺模糊序決策系統(tǒng)的相對約簡。針對不一致直覺模糊序決策系統(tǒng)，國內(nèi)學者提出了分布約簡和最大分布約簡，并證明了二者的等價性[12-13]。另外，與基于等價關系的不一致系統(tǒng)類似[14-15]，序決策系統(tǒng)還存在分配約簡[16]、部分一致約簡[17]以及其他形式的約簡[18-20]。徐偉華等將分配約簡引入到直覺模糊序決策系統(tǒng)[21]，并將部分一致約簡推廣到區(qū)間值模糊序決策系統(tǒng)的情形[22]，但對直覺模糊序決策系統(tǒng)目前尚未展開相關的討論。

本文提出直覺模糊序決策系統(tǒng)的部分一致約簡，得到了部分一致約簡的判定定理，然后構造部分一致辨識矩陣和辨識函數(shù)，建立了求解直覺模糊序決策系統(tǒng)所有的部分一致約簡的具體方法，并通過實例驗證該方法的有效性。同時，證明了下約簡和下近似約簡與部分一致約簡等價，從而進一步豐富了優(yōu)勢粗糙集理論。

2 直覺模糊序決策系統(tǒng)

傳統(tǒng)的模糊集[23]給出了論域中元素的隸屬度，而直覺模糊集不僅給出了隸屬度，而且還給出了非隸屬度。

定義1[6]論域U上的直覺模糊集是下列形式的對象：

其中，uA(x)為x屬于A的隸屬度，vA(x)為x的非隸屬度，并且滿足關系式0≤uA(x)+vA(x)≤1,?x∈U。

定義 2[24](格(L*,≤L*))為方便說明，記L*={(x1,x2)∈ [0,1]2|0≤x1+x2≤1}，L*上的序關系≤L*如下：

定義3稱四元組S=(U,C?x5rvfj5,V,f)是一個直覺模糊序決策系統(tǒng)，其中U為有限非空對象集；C為有限非空條件屬性集，d為決策屬性，且C?vv5t57h=?;V為屬性值值域；f為對象屬性值映射。即，U={x1,,Vc為條件屬性c的值域，其中每個元素均為直覺模糊元[25]，且它們之間的序關系由定義2確定。對象屬性值映射f:U×C→V,且 f(x,c)∈Vc,即 f(x,c)=(uc(x),vc(x)),?x∈U。決策屬性值映射f(x,d)∈{1,2,…,m},值域為有序?qū)嵵怠?/p>

若vc(x)=1-uc(x),?x∈U,?c∈C,則該系統(tǒng)退化為普通的模糊序決策系統(tǒng)。

定義4如果成立，稱x關于屬性c占優(yōu)y，并記為x?cy。稱x關于屬性集A占優(yōu)y，記為x?Ay，若x?cy,?c∈A。

注1由于≤L*是L*上的一個偏序關系，x?cy與y?cx可能同時不成立。

在直覺模糊序決策系統(tǒng)中可定義關于條件屬性集和決策屬性的優(yōu)勢關系，記：,。記為關于條件屬性集A占優(yōu)x的集合，則。另外,其中。

定義5[11]設S=(U,C?rvtbxdh,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，,則關于條件屬性集B的下近似為：

定義6[9]設S=(U,C?j5b5fht,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，若,則稱該系統(tǒng)為一致的，否則該系統(tǒng)為不一致的。

直觀地，直覺模糊序決策系統(tǒng)是不一致的，如果存在x,y∈U,有x?Cy,但是 f(x,d)

Table 1 Intuitionistic fuzzy ordered decision system表1 直覺模糊序決策系統(tǒng)

例1如表1所示，S=(U,C?5bhn5r5,V,f)是一個直覺模糊序決策系統(tǒng)，其中，U={x1,x2,…,x8},C={a1,a2,…,a5}。

3 部分一致約簡

設S=(U,C?95dnhnf,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，對x∈U,B?C，記：稱δB(x為)x關于條件屬性集B的部分一致函數(shù)。

例2計算表1給出的不一致直覺模糊序決策系統(tǒng)中各元素關于屬性集C的部分一致函數(shù)。

經(jīng)計算得：

因此：

命題1設S=(U,C?hbjtr5p,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)：

（1）若B?A?C,則對任意x∈U有δB(x)?δA(x)。

（3）直覺模糊系統(tǒng)為一致的充要條件是δC(x)=其中i=f(x,d)。

定義7設S=(U,C?jzxvdtn,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，若對任意x∈U有δB(x)=δC(x),則稱B為系統(tǒng)S的部分一致協(xié)調(diào)集。更進一步，若B的任何真子集均不為部分一致協(xié)調(diào)集，則稱B為系統(tǒng)S的部分一致約簡。

命題2設S=(U,C?vl555vx,V,f)是一致直覺模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致協(xié)調(diào)集?B為相對協(xié)調(diào)集。

證明若,則稱B為相對協(xié)調(diào)集[9]。B為相對協(xié)調(diào)集

推論1設S=(U,C?tlhdbpv,V,f)是一致直覺模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致約簡?B為相對約簡。

證明若B為部分一致約簡，則B為部分一致協(xié)調(diào)集，而B的任何真子集均不為部分一致協(xié)調(diào)集，由命題2得：B為相對協(xié)調(diào)集且B的任何真子集均不為相對協(xié)調(diào)集，因此B為相對約簡。反之亦然。

推論1表明部分一致約簡為相對約簡在不一致系統(tǒng)中的有效推廣。下面給出部分一致約簡的判定定理。

定理1設S=(U,C?pj5ljtx,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致協(xié)調(diào)集?對任意x,y∈U,當δC(y)? δC(x)時，有[x]≥B?[y]≥B。

證明“?”（反證法）若當時，有,進而由命題 1（2）得。由 B為部分一致協(xié)調(diào)集，于是有δB(x)=δC(x),?x∈U。綜上可得 δC(y)?δC(x),這與假設 δC(y)?δC(x)相矛盾，因此結論成立。

“?”若對任意 x,y∈U,當 δC(y)?δC(x)時，有成立 。因此當，可得

另一方面，由命題1（1）有δB(x)?δC(x)，綜上所述有δB(x)=δC(x)，即B為部分一致協(xié)調(diào)集。

定義8設S=(U,C?xtddnpv,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，記D*δ={(x,y)|δC(y) ? δC(x)}，定義：

稱Dδ(x,y為)對象x和y的部分一致辨識屬性集。矩陣Dδ={Dδ(x,y)|x,y∈U}為該系統(tǒng)的部分一致辨識矩陣。

例3計算表1給出的不一致直覺模糊序決策系統(tǒng)的部分一致辨識矩陣。

Table 2 Partially consistent discernibility matrix表2 部分一致辨識矩陣

由 例 2 知 D*δ={(x1,x2),(x1,x8),(x3,x1),(x3,x2),(x3,x7),(x3,x8),(x4,x1),(x4,x2),(x4,x7),(x4,x8),(x5,x1),(x5,x2),(x5,x7),(x5,x8),(x6,x1),(x6,x2),(x6,x7),(x6,x8),(x7,x2),(x7,x8)}。由此可計算此直覺模糊序決策系統(tǒng)的部分一致辨識矩陣，如表2所示（為簡化表達，辨識矩陣中?未列出）。

定理2設S=(U,C?5rppj5j,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，B?C,則B為部分一致協(xié)調(diào)集?對任意(x,y)∈D*δ,有B?Dδ(x,y)≠?。

證明“?”對任意(x,y)∈D*δ,即 δC(y)?δC(x),由 B 為部分一致協(xié)調(diào)集則 [x]≥B?[y]≥B。因此存在a∈B,使得(x,y)?R{a},≥即 a∈Dδ(x,y)。于是有B?Dδ(x,y)≠?成立。

“?”若對任意 (x,y)∈D*δ即 δC(y)?δC(x),有B?Dδ(x,y)≠?,則存在a∈B使得(x,y)?R{≥a},因此x? [y]≥a,且x?[y]≥B。另外，顯然 x∈[xa]≥B，從而[x]≥B?[y]≥B。由定理1知B為部分一致協(xié)調(diào)集。

老人旁若無人地專注于寫字，又何嘗不是“只記花開不記人”的境界呢？沒有功利性，才能無拘無束地追求精神的愉悅。有了追求，就有了精神寄托，用追求喂養(yǎng)精神，就能成為精神上明亮的人。

定義9設S=(U,C?ztf55bd,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，Dδ為S的部分一致辨識矩陣，記：

稱Fδ為該決策系統(tǒng)的部分一致辨識函數(shù)。

定理3設S=(U,C?b5tf5zd,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，F(xiàn)δ為該決策系統(tǒng)的部分一致辨識函數(shù)，F(xiàn)δ的最小析取范式為：

證明直接由定理2和最小析取范式的定義可得。

例4計算表1給出的不一致直覺模糊序決策系統(tǒng)所有的部分一致約簡。

可以計算得：

即此系統(tǒng)的部分一致約簡為{a2,a4}和{a4,a5}。

接下來將本文提出的部分一致約簡與其他形式的約簡進行比較。對象x關于條件屬性集B的（最大）分布函數(shù)為[12-13]：

根據(jù)計算得：

系統(tǒng)的（最大）分布約簡和分配約簡為各對象均保持與關于C的（最大）分布函數(shù)和分配函數(shù)相同的極小子集[12-13,21]?？梢则炞C{a2,a4}為系統(tǒng)的（最大）分布約簡，{a2,a3}和{a2,a4}為系統(tǒng)的分配約簡?？梢宰C明（最大）分布約簡為部分一致協(xié)調(diào)集。事實上，B為（最大）分布約簡，則根據(jù)定義7，顯然B為部分一致協(xié)調(diào)集。另外，可以驗證{a2,a3}不為部分一致約簡，而{a4,a5}也不為分配約簡，因此，部分一致約簡和分配約簡之間并無關聯(lián)。

4 部分一致約簡的等價定義

本章介紹與部分一致約簡等價的兩種約簡形式。

設S=(U,C?ppz5xrf,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，對B?C，記：

命題3設S=(U,C?vzzxr55,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)：

（1）對任意B?C，有1≤λB≤m。

定義10設S=(U,C?55pnhzb,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，對B?C，若λB=λC，則稱B為系統(tǒng)S的下協(xié)調(diào)集。更進一步，若B的任何真子集均不為下協(xié)調(diào)集，則稱B為系統(tǒng)S的下約簡。

定理4設S=(U,C?tlvrxpv,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致協(xié)調(diào)集?B為下協(xié)調(diào)集。

證明“?”設B為系統(tǒng)的部分一致協(xié)調(diào)集，即對任意x∈U有δB(x)=δC(x)。則對任意Di≥(i≤m):

“?”設B為下協(xié)調(diào)集，則λB=λC成立。即：

因此δB(x)=δC(x),B為系統(tǒng)的部分一致協(xié)調(diào)集。

推論2設S=(U,C?v55nhxp,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，則B為部分一致約簡?B為下約簡。

證明證明過程和推論1的證明類似。

在文獻[11]中，Xu等引入了下近似協(xié)調(diào)集和下近似約簡的概念，下面證明這兩個概念分別與下協(xié)調(diào)集和下約簡等價，進而與本文介紹的部分一致協(xié)調(diào)集和部分一致約簡分別等價。

定理5設S=(U,C?phdb55t,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，則B為下近似協(xié)調(diào)集?B為下協(xié)調(diào)集。

證明B為下近似協(xié)調(diào)集，即B為下協(xié)調(diào)集。

推論3設S=(U,C?vnxpzzr,V,f)是直覺模糊序決策系統(tǒng)，則B為下近似約簡?B為下約簡?B為部分一致約簡。

證明證明過程和推論1的證明類似。

例5驗證{a2,a4}和{a4,a5}為表1給出的不一致直覺模糊序決策系統(tǒng)所有的下約簡和下近似約簡。

可以計算得：

取B={a2,a4}或{a4,a5},則：

因此，{a2,a4}和{a4,a5}為系統(tǒng)的下協(xié)調(diào)集和下近似協(xié)調(diào)集。同時可以驗證任何真子集均不為下協(xié)調(diào)集或下近似協(xié)調(diào)集。

另外，可以驗證C的其他子集均不為下約簡或下近似約簡。因此，{a2,a4}和{a4,a5}為系統(tǒng)所有的下約簡和下近似約簡。

5 結束語

本文提出了基于優(yōu)勢關系的直覺模糊決策系統(tǒng)的部分一致約簡，證明了其在系統(tǒng)一致的情形下與相對約簡等價，給出了部分一致約簡的判定定理，提供了利用部分一致辨識矩陣和辨識函數(shù)求解系統(tǒng)所有的部分一致約簡的方法，進一步豐富了優(yōu)勢粗糙集理論的研究內(nèi)容。同時，討論了部分一致約簡與（最大）分布約簡以及分配約簡應滿足的條件間的強弱關系。具體地，（最大）分布約簡的條件較部分一致約簡的條件強，而部分一致約簡與分配約簡間無強弱關系。另外，給出了部分一致約簡的兩種等價形式：下約簡和下近似約簡。從其他角度闡釋部分一致約簡是決策系統(tǒng)的一種有意義的約簡。