鄭素華 曾 鈺 韓曉艷

（青島工學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，山東 青島 266399）

大學(xué)數(shù)學(xué)是理工類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，是每一個(gè)理工科學(xué)生必須學(xué)習(xí)的內(nèi)容。大學(xué)數(shù)學(xué)包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論語數(shù)理統(tǒng)計(jì)三門課，對(duì)后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)非常重要。但在實(shí)際教學(xué)中，常常有同學(xué)感到疑惑，大學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)以后的哪些專業(yè)課到底有什么幫助。由于大學(xué)數(shù)學(xué)老師都是數(shù)學(xué)專業(yè)出身，往往并不是十分熟悉這些聯(lián)系。本文通過三門課中的三個(gè)例子對(duì)這個(gè)問題加以討論，希望對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)有所幫助。

一、微分方程在信號(hào)與系統(tǒng)中的應(yīng)用舉例

我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中專門有一章講的是微分方程，其中線性方程是其中的重點(diǎn)，同濟(jì)大學(xué)版本用了四節(jié)的內(nèi)容介紹了一階線性微分方、線性方程解得結(jié)構(gòu)、高階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分的解法。在學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)這門專業(yè)課中，我們知道線性時(shí)不變系統(tǒng)是最常見的最有用的一類系統(tǒng)，描述這類系統(tǒng)輸入-輸出特性的是常系數(shù)線性微分方程。從微分方程出發(fā)，在時(shí)間域中研究輸入信號(hào)通過系統(tǒng)后響應(yīng)的變化規(guī)律，是研究系統(tǒng)時(shí)域特性的重要方法即時(shí)域分析法。

例1設(shè)有二階系統(tǒng)的微分方程為y"（t）+5y'（t）+6y（t）=f'（t）求輸入信號(hào)f（t）=9e-t·ε（t）的零狀態(tài)響應(yīng)。

解：由系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的特征方程λ2+5λ+6=0

得特征根λ1=-2，λ2=-3；將f'（t）代入原方程，有

從而，F(xiàn)（t）=3ε（t）-3e-tε（t）x2（t）=(e-2t-e-3t)ε（t）故零狀態(tài)響應(yīng)

另外，分析工程上常用的周期和非周期信號(hào)的一些基本特性以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳輸問題時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)（對(duì)周期信號(hào)）和傅里葉積分（對(duì)非周期信號(hào)）是最基本的分析工具。當(dāng)然，在各門專業(yè)課中常見的積分、微分表示的問題也非常多，限于篇幅，僅以此例說明高等數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)各專業(yè)課的基礎(chǔ)。

二、矩陣運(yùn)算在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用舉例

矩陣在計(jì)算機(jī)專業(yè)課中的應(yīng)用隨處可見，本文舉一個(gè)矩陣運(yùn)算在圖形的幾何運(yùn)算中的例子。在某種意義上來說，圖像的幾何運(yùn)算是與點(diǎn)運(yùn)算相對(duì)立的。圖像幾何算法中國的圖像平移、圖像鏡像、圖像縮放和圖像旋轉(zhuǎn)都是通過矩陣的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的。

1、圖像平移

圖像平移就是使圖像沿水平方向或豎直方向平移。具體算法為：如果把坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）平移到點(diǎn)（x0，y0）處，則變換公式為：

其中（x，y）是原圖像坐標(biāo)，（x'，y'）是變換后的圖像坐標(biāo)，圖像中的各像素點(diǎn)移動(dòng)了距離。此過程可用矩陣的運(yùn)算表示為：

2、圖像鏡像

鏡像是一個(gè)物體相對(duì)于一個(gè)鏡面的復(fù)制品。分為水平鏡像和垂直鏡像兩種。水平鏡像用矩陣形式表示為：

垂直鏡像用矩陣形式表示為：

其中W和H分別表示為圖像的寬和高。

3、圖像縮放

圖像的縮小和放大的定義是，將圖像中的點(diǎn)（x，y）經(jīng)縮小和放大后其位置變?yōu)椋▁'，y'），則兩者之間的關(guān)系是：x'=ax，y'=by

a和b分別是x方向和y方向的放大率。a和b比1大時(shí)放大，比1小時(shí)縮小。當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的鏡像；當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的鏡像。此過程用矩陣表示為：

5、圖像旋轉(zhuǎn)

如果平面的所有點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ0，則它的變換公式為：

逆變換公式為：x'=x cosθ+y sinθ，y'=-x sinθ+y cosθ

用矩陣表示為：

另外，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的學(xué)科，它已形成了一種新型的圖像處理方法和理論，并成為計(jì)算機(jī)數(shù)字圖像處理的一個(gè)主要研究領(lǐng)域。

三、貝葉斯公式在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用舉例——貝葉斯分類器

20世紀(jì)90年代以來的一些理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，很多情況下多層感知器的輸出可以看作是對(duì)貝葉斯后驗(yàn)概率的估計(jì)。設(shè)所有訓(xùn)練樣本的集合是X，其中屬于ω1類和ω2類的樣本的集合分別是X1和X，則訓(xùn)練的均方誤差為：

把樣本x看作隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為p（x），設(shè)兩類的先驗(yàn)概率分別是 p（ω1）和 p（ω2），p（x|ωi），i=1，2 是兩類樣本的類條件概率密度，p（ωi|x），i=1，2 是樣本 x 屬于 ωi的后驗(yàn)概率。設(shè)訓(xùn)練樣本無窮大，且它們的分布反映真實(shí)的概率分布，則上面誤差就成為：

利用貝葉斯公式

上式可轉(zhuǎn)化為

這說明：當(dāng)訓(xùn)練樣本為無窮多時(shí)，以使均方誤差最小為目標(biāo)訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出在統(tǒng)計(jì)意義上是對(duì)樣本后驗(yàn)概率的最小均方誤差估計(jì)。

結(jié)語

由以上討論，我們知道大學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)在計(jì)算機(jī)各專業(yè)課中的應(yīng)用是非常廣泛的.本文僅討論了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中各一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，當(dāng)然大學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)課的基礎(chǔ)作用不僅于此。比如，鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則在深度學(xué)習(xí)的作用等，可以繼續(xù)加以討論。

另外，我們還可以討論大學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)建筑類專業(yè)課和機(jī)械類專業(yè)課的重要基礎(chǔ)作用。從而，可以在教學(xué)中加以運(yùn)用，正面回答同學(xué)們“學(xué)這些有什么用”的問題，進(jìn)而提高課堂教學(xué)效果。