易壯鵬, 李小超， 曾有藝

(1.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院， 湖南 長沙 410114； 2.長沙理工大學(xué) 水利工程學(xué)院)

懸浮隧道，又稱“阿基米德”橋，是一種新型的跨越深海峽、長水道的潛在交通結(jié)構(gòu)物，2018年被中國科協(xié)列入60個重大科技工程技術(shù)難題之一。懸浮隧道的優(yōu)勢在于對所處位置環(huán)境破壞小、受惡劣天氣海洋環(huán)境影響小、單位長度造價低，自從其概念提出后就引起了國內(nèi)外研究者的廣泛興趣。懸浮隧道管體懸浮于水下20～30 m深的位置，一般通過水下拉索或水面浮體固定限制其管體的過大位移，采用拉索分別錨固海床和隧道管體底部的張力腿懸浮隧道是一種典型的結(jié)構(gòu)形式，海流作用下這類結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)及混沌行為引起了研究者的廣泛關(guān)注。

懸浮隧道作為一種新型結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的合理設(shè)置至關(guān)重要。秦銀剛等以混沌運動為控制條件對懸浮隧道的支撐間距進行了專門的研究，發(fā)現(xiàn)流速和漩渦發(fā)放頻率影響最明顯；Long等對懸浮隧道動力響應(yīng)中的浮重比、支撐索剛度和隧道長度等關(guān)鍵參數(shù)進行了分析；Jiang等對懸浮隧道中結(jié)構(gòu)參數(shù)的風(fēng)險敏感性進行了分析。對于懸浮隧道，理想的移動荷載或車輛荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)問題越來越受到重視，項貽強等、董滿生等和Jiang等分別采用理論或數(shù)值分析的手段研究了動荷載下的動力響應(yīng)；Lin等則進一步考慮了流-車-隧道耦合作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。此外，懸浮隧道由于處于海洋環(huán)境，各種極端荷載必須面對，在這一方面，Xiang等對懸浮隧道支撐索斷裂情況下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)和結(jié)構(gòu)行為進行了分析;羅剛等對水下爆炸時產(chǎn)生的非接觸沖擊作用下懸浮隧道的動力響應(yīng)進行了研究，分析了相關(guān)參數(shù)的影響；Wu等對洋流和地震同時作用下懸浮隧道支撐拉索的強迫振動、參數(shù)振動開展了研究；Dong等設(shè)計了一種懸浮隧道極端情況下的逃生裝置并進行了相關(guān)的參數(shù)研究。支撐索是懸浮隧道的重要組成部分，其動力安全是結(jié)構(gòu)安全的重要保證，因此支撐索懸浮隧道在所處洋流、車輛、地震等環(huán)境下的橫向動力特性、參數(shù)振動、地震響應(yīng)和疲勞可靠度等引起了廣泛的關(guān)注，這些研究均表明支撐拉索對隧道管體的力學(xué)性能有重要影響，二者之間存在動力耦合，從整體上對結(jié)構(gòu)進行力學(xué)建模并開展研究十分必要。

以張力腿懸浮隧道為對象，將整體結(jié)構(gòu)離散為索、管體節(jié)段構(gòu)件，采用Morison方程考慮流體附著于結(jié)構(gòu)的慣性、阻尼效應(yīng)，通過Hamilton原理建立各構(gòu)件方程，再組合得到整體動力學(xué)模型。通過構(gòu)件的邊界條件和匹配條件得到可獲取結(jié)構(gòu)頻率、模態(tài)的特征方程。采用該文方法研究算例懸浮隧道的頻率、模態(tài)特征，并用有限元法進行對比驗證。

1 基本方程的建立

引入基本假定：① 考慮錨索在面內(nèi)豎直布置，這是由于張力腿型懸浮隧道中每一對錨索的幾何特性和材料參數(shù)在橫向是對稱的，錨索橫向力自相平衡，洋流橫向拽力與其相比較小，豎向荷載下的位移以面內(nèi)為主；② 管體為Euler-Bernoulli梁；③ 管體的縱向變形可以忽略；④ 不考慮索的縱向慣性、彎曲、扭轉(zhuǎn)和剪切剛度。

如圖1所示，張力腿型懸浮隧道管體考慮為n根索在面內(nèi)豎向支撐，建模時將整個結(jié)構(gòu)視為n+1段管體和n根索組合。索和管體分別用局部坐標系oci-xciyci和整體坐標系oa-xaya描述，uci,vci和ua,va分別為每根索和管體節(jié)段的變形。di[i=0～(n+1)]為索與管體連接點及端點的水平坐標，la=dn+1-d0為隧道的總長度，lci為索長。

圖1 支撐式懸浮隧道的力學(xué)模型

結(jié)構(gòu)體系的Hamilton變分具有如下形式：

(1)

其中系統(tǒng)的動能T、勢能V和外力功δW為：

(2)

(3)

(4)

上述式中：上標點和撇分別為在定義區(qū)間內(nèi)對時間t和水平坐標xci或xa求導(dǎo)數(shù)；di上標中正負號為左右截面；mci,ma為索、管體的單位質(zhì)量；Hi為索的初張力；Ni為管體初始軸向壓力；Eci、Aci為索的彈性模量、截面面積；Ea、Aa、Ia為管體的彈性模量、截面積和慣性矩；ccv、ccu為索阻尼系數(shù)；cau為管體阻尼系數(shù)；fiL、fiD、fbD為洋流作用于結(jié)構(gòu)的升力和拖拽力；fp為作用于管體上速度sp的移動荷載；εci為每根索的應(yīng)變，其表達式為：

(5)

采用Morison考慮結(jié)構(gòu)的升力和拖拽力：

(6)

(7)

式中：ρw為流體密度；D為直徑；s0為波速；CL為升力系數(shù)；CD為拽力系數(shù)；Cm為附加質(zhì)量系數(shù)；w為柱體相對水體的位移；ωs為旋渦釋放頻率。

將式(7)代入式(1)中可得系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

(8)

每根索的固定端、連接端與管體兩端的邊界條件分別為：

uci(0,t)=vci(0,t)=0

(9)

vci(lci,t)=0;uci(lci,t)=va(di,t)

(10)

(11)

索與管體之間的連接位置具有如下連接和匹配條件：

(12)

利用假定③和邊界條件式(9)、(10)可將應(yīng)變進行化簡，得到懸浮隧道管體和索的面內(nèi)耦合動力學(xué)方程：

(13)

引入如下的無量綱變量：

(14)

式中：ω0=1.0rad/s。

可以將式(13)中索和管體的動力學(xué)控制方程分別寫為如下的無量綱形式：

(15)

2 面內(nèi)振動特性

與式(15)對應(yīng)的線形無阻尼自由振動方程為：

(16)

(17)

(18)

管體節(jié)段的振動函數(shù)可以寫為如下的形式：

(19)

其中：

(20)

式中：Ai1～Ai4為系數(shù)。定義索的系數(shù)向量Ci={Ci1,Ci2}，管體節(jié)段的系數(shù)向量Ai={Ai1,Ai2,Ai3,Ai4}。此外，邊界條件的無量綱形式可以寫為：

(21)

(22)

與式(4)對應(yīng)的索、管體之間連接位置的無量綱匹配條件可以寫為：

(23)

將式(18)、(19)中的振動函數(shù)代入式(21)～(23)中，可以得到整體結(jié)構(gòu)的特征方程：

R·Ψ=0

(24)

式中：Ψ={C1,C2,…,Cn,A1,A2,…,An+1}T為6n+4階模態(tài)系數(shù)向量，R為6n+4階特征矩陣，令R的行列式等于零所得超越方程的特征根即為各階次頻率ωj，借助Mathematica軟件完成。對應(yīng)的特征向量Ψj為第j階振動模態(tài)。

3 算例及參數(shù)研究

參照文獻[16]中擬建懸浮隧道的參數(shù)進行算例分析，n=4，等間距布置的4根索從左至右編號為c1～c4，管體5個節(jié)段，編號為a1～a5。結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)見表1。對于結(jié)構(gòu)的解析解，采用文中式(24)的特征方程求解自振特性，同時將所得各階模態(tài)、頻率與有限元結(jié)果進行對比驗證，采用Ansys軟件建立對應(yīng)的有限元模型，其中管體、索、流體分別用Link1、Beam3和Fluid29單元模擬，在流體與結(jié)構(gòu)相鄰節(jié)點上考慮流固耦合作用。

表1 懸浮隧道結(jié)構(gòu)基本參數(shù)

表2為兩種方法計算的頻率。結(jié)果顯示兩種方法所得各階頻率接近、結(jié)果吻合良好，該文方法的解析模型模擬了各構(gòu)件的變形，各種類型的振動能同時考慮。多索支撐的管體結(jié)構(gòu)中索局部振動頻率十分接近，結(jié)構(gòu)各階次的頻率十分密集，構(gòu)件局部頻率、結(jié)構(gòu)整體頻率同時依次存在于頻率譜。將兩種方法所得模態(tài)先標準化，即令：

表2 懸浮隧道各階頻率表

為了進一步從數(shù)值上定量描述懸浮隧道中錨索-管體系統(tǒng)的模態(tài)形式，采用文獻[26]中的局部化參數(shù)定義各階模態(tài)中各構(gòu)件的參與程度：

(25)

其中k指代構(gòu)件，圖2為用百分數(shù)表示的振動模態(tài)中各個構(gòu)件的參與程度。在選定的幾何、物理參數(shù)條件下，在跨度范圍內(nèi)給出的前20階模態(tài)中，第7階和19階振動模態(tài)中，管體和索同時參與振動，結(jié)構(gòu)為整體振動；另一方面其余模態(tài)以索的局部振動為主，管體節(jié)段幾乎不參與振動。因此，索局部振動、結(jié)構(gòu)整體振動以及介于二者之間的混合模態(tài)均存在結(jié)構(gòu)中。圖2顯示各階次模態(tài)中索的局部模態(tài)占多數(shù)，管體、錨索耦合振動現(xiàn)象不明顯，其原因在于索為柔性結(jié)構(gòu)，模態(tài)十分密集，同時管體剛度遠大于拉索剛度。

圖2 各構(gòu)件占懸浮隧道各階模態(tài)百分比

4 結(jié)論

將懸浮隧道視為一系列索和管體節(jié)段構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，采用變分原理建立每個構(gòu)件的方程，組合得到全結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型。再將邊界條件、匹配條件代入索、管體構(gòu)件的模態(tài)方程中，得到了懸浮隧道整體結(jié)構(gòu)自振特性求解的特征方程。結(jié)論如下：

(1) 經(jīng)有限元法驗證，該方法可有效獲取并分析結(jié)構(gòu)各種振動形式的頻率和模態(tài)。

(2) 懸浮隧道由多段索和管體組成，各階次頻率十分密集，索局部振動、結(jié)構(gòu)整體振動對應(yīng)的頻率同時依次存在于頻率譜上。

該文方法可考慮構(gòu)件的局部振動和結(jié)構(gòu)的整體振動，為研究構(gòu)件之間的動力耦合提拱了一種思路。管體、錨索耦合振動區(qū)間的參數(shù)敏感性分析、外荷載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)、空間動力學(xué)模型、整體大幅振動機理等是下一步研究的重點。