陳時(shí) 張迪 王成會(huì) 張引紅

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院, 陜西省超聲學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710119)

1 引 言

聲波在含氣泡液體中的傳播是聲空化領(lǐng)域的重要問(wèn)題, 是很多聲波應(yīng)用的理論基礎(chǔ), 如聲化學(xué)、超聲處理和超聲成像等. 對(duì)這類問(wèn)題的研究有助于深刻理解空化器件內(nèi)聲場(chǎng)的分布情況, 為超聲處理方法的大型化和工業(yè)化[1?4]提供解決的思路.

在含氣泡液體中聲波的一個(gè)重要特點(diǎn)是會(huì)出現(xiàn)共振傳播現(xiàn)象, 即在氣泡的共振頻率附近聲衰減和聲速會(huì)顯著地增大[5,6]. 這是一個(gè)普遍的現(xiàn)象, 是很多應(yīng)用(或者潛在運(yùn)用)的基礎(chǔ), 但是目前對(duì)它的認(rèn)識(shí)并不全面. 關(guān)于含氣泡液體中聲波的傳播問(wèn)題, 很多文獻(xiàn)忽略了共振傳播現(xiàn)象, 如文獻(xiàn)[7–10];文獻(xiàn)[6, 11–18]雖然考慮了共振傳播現(xiàn)象, 但是假設(shè)液體中所有氣泡的靜態(tài)半徑(沒(méi)有波動(dòng)時(shí)氣泡的半徑)是相同的, 即液體中只包含單一種類的氣泡, 因此遺漏了共振傳播方面很多重要的信息; 文獻(xiàn)[5]雖然涉及含混合氣泡液體中聲波的共振傳播, 但是只是簡(jiǎn)單的介紹, 并沒(méi)有給出系統(tǒng)深入的分析, 因此很多重要的知識(shí)并沒(méi)有被揭示.

近年來(lái)張鵬利等[19]、苗博雅和安宇[20]、王德鑫和那仁滿都拉[21]對(duì)雙氣泡(不同靜態(tài)半徑)系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了調(diào)查, 揭示了一些有價(jià)值的信息,但是這些文獻(xiàn)并未考慮聲波的傳播問(wèn)題(氣泡振動(dòng)和聲波傳播是兩類不同的問(wèn)題). 顯然在包含混合氣泡(液體中存在多種不同靜態(tài)半徑的氣泡)的液體中, 不同靜態(tài)半徑氣泡間的相互作用會(huì)對(duì)聲傳播產(chǎn)生重要的影響, 并完善聲波共振傳播的知識(shí).

本文運(yùn)用有效介質(zhì)理論系統(tǒng)地研究了含混合氣泡液體中聲波的共振傳播性質(zhì). 研究結(jié)果顯示在這些系統(tǒng)中存在聲波共振傳播的抑制效應(yīng), 即和含單一種類氣泡的系統(tǒng)相比, 在含混合氣泡的系統(tǒng)中聲波的共振衰減和共振聲速會(huì)明顯地變小. 本文系統(tǒng)地研究了這種抑制效應(yīng)的本質(zhì)和主要特點(diǎn), 此外還考慮了空化率和黏性等對(duì)抑制效應(yīng)的影響, 研究結(jié)果是對(duì)含氣泡液體中聲波共振傳播知識(shí)的必要補(bǔ)充.

2 含混合氣泡液體中聲波的有效介質(zhì)理論

在含混合氣泡的液體中, 聲波的波動(dòng)方程可以表示為[6]

本文只討論聲波的線性傳播, 所有的一階小量都包含一個(gè)和時(shí)間有關(guān)的因子, 即, 其中i是單位虛數(shù),是聲波的角頻率. 這里, 所有的零階量都是和時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù). 如果考慮氣泡和液體之間的熱交換[6,22], 在小振幅聲波驅(qū)動(dòng)近似下,可以表示為

若要把氣泡的振動(dòng)方程(6)線性化, 則需將方程(2)中的和方程(4)的的展開式代入方程(6), 且只保留到一階小量. 因?yàn)橛嘘P(guān)的項(xiàng). 最后可以得到[6]

其中

由方程(5)和(10)可得

把方程(11)代入方程(1), 可得波動(dòng)方程的最終形式

3 數(shù)值計(jì)算例子與討論

本節(jié)用數(shù)值計(jì)算例子來(lái)顯示含混合氣泡液體中線性聲波的傳播特性. 在所有的計(jì)算中, 如果文中或者圖中沒(méi)有特別標(biāo)明, 那么用到的參數(shù)是：一種氣泡的靜態(tài)半徑是, 第二種氣泡的靜態(tài)半徑是. 如果文中或者圖中對(duì)某個(gè)參數(shù)有特別標(biāo)明, 那么該參數(shù)就替換為標(biāo)明的數(shù)據(jù).

圖1 含兩種混合氣泡的液體中聲波的衰減譜Fig. 1. Attenuation spectrums of acoustic waves in liquids with two kinds of bubbles.

與只存在一種氣泡的情況相比(在空化率相同的條件下), 存在兩種混合氣泡時(shí)衰減峰的峰值會(huì)明顯變小. 當(dāng)時(shí)(只存在小氣泡),的峰值是(對(duì)應(yīng)圖1的第二個(gè)衰減峰);此時(shí)衰減峰的帶寬是, 它是大于或等于峰值的一半所對(duì)應(yīng)的角頻率間隔. 當(dāng)時(shí)(只存在大氣泡),的峰值是, 衰減峰的帶寬是; 當(dāng)時(shí)(液體中存在混合的小氣泡和大氣泡), 衰減譜的第二個(gè)峰的峰值是, 它小于, 此時(shí)第一個(gè)峰的峰值也小于; 當(dāng)時(shí), 衰減譜的第一個(gè)峰的峰值是, 它小于, 此時(shí)第二個(gè)峰的峰值也小于. 這是一個(gè)普遍的現(xiàn)象, 稱為混合氣泡對(duì)聲波共振衰減的抑制效應(yīng). 眾所周知, 氣泡的共振會(huì)導(dǎo)致聲衰減的極大增加, 氣泡振動(dòng)越強(qiáng)聲衰減也會(huì)越大[6]. 在含混合氣泡的液體中, 聲波共振衰減抑制的根源是氣泡振動(dòng)被抑制了.

圖2顯示了在含兩種混合氣泡的液體中, 聲波衰減譜的相對(duì)峰值和相對(duì)帶寬與(或者)的關(guān)系. 圖2(a)對(duì)應(yīng)著衰減譜中的第二個(gè)峰(它由小氣泡的共振引起), 其相對(duì)峰值是衰減峰峰值除以, 相對(duì)帶寬是帶寬除以. 圖2(b)對(duì)應(yīng)著第一個(gè)峰(它由大氣泡的共振引起), 其相對(duì)峰值是衰減峰峰值除以, 相對(duì)帶寬是帶寬除以.

圖2 含兩種混合氣泡的液體中聲波衰減譜的相對(duì)峰值和相對(duì)帶寬與 (或者 )的關(guān)系Fig. 2. Relationships between ( )and relative peak val?ues or bandwidths of attenuation spectrums of acoustic waves in liquids with two kinds of bubbles.

從圖2還可以看出, 混合氣泡對(duì)小氣泡的共振特征量(如氣泡共振引起的聲衰減系數(shù)和聲速等)的抑制效果要比對(duì)大氣泡的大得多. 對(duì)第二個(gè)衰減峰而言(圖2(a)), 當(dāng)小氣泡的百分比由1減少到0.95時(shí), 其相對(duì)峰值由1減少到0.61, 相對(duì)峰值的抑制率是7.8(某物理量的抑制率定義為物理量的減少量除以氣泡百分比的減少量, 抑制率越大抑制效果越大); 相對(duì)帶寬由1減少到0.688, 抑制率是6.24. 對(duì)第一個(gè)衰減峰而言(圖2(b)), 當(dāng)大氣泡的百分比由1減少到0.20時(shí), 相對(duì)峰值由1減少到0.917, 抑制率是0.104; 相對(duì)帶寬由1減少到0.847, 抑制率是0.19. 小氣泡共振衰減的相對(duì)峰值和相對(duì)帶寬的抑制率分別是大氣泡的75倍和32.84倍.

圖3顯示了在含兩種混合氣泡的液體中聲波的聲速譜. 粗實(shí)線對(duì)應(yīng)著, 即只存在大氣泡的情況. 點(diǎn)劃線對(duì)應(yīng)著, 即只存在小氣泡的情況. 與只存在一種氣泡的情況相比, 存在混合氣泡時(shí)聲速的峰值要明顯減小, 稱它為混合氣泡對(duì)共振聲速的抑制效應(yīng). 眾所周知?dú)馀莸墓舱駮?huì)導(dǎo)致聲速的增加, 共振振動(dòng)越強(qiáng)聲速增加越大[6], 共振聲速抑制意味著氣泡振動(dòng)被抑制了. 共振聲速或者聲衰減抑制效應(yīng)的本質(zhì)都是氣泡振動(dòng)的抑制, 以后把它們統(tǒng)稱為聲波共振傳播的抑制效應(yīng). 從圖3還可以看出混合氣泡對(duì)小氣泡的共振聲速的抑制效果要遠(yuǎn)比對(duì)大氣泡的大. 如在聲速譜的第二個(gè)峰(由小氣泡共振引起)處,由1.00變成0.95, 共振聲速峰值由變成, 其抑制率是. 在第一個(gè)峰處(由大氣泡共振引起),由1.00變成0.80, 共振聲速峰值由泡的21.36倍.

圖3 在含兩種混合氣泡的液體中, 不同 (或者 )對(duì)應(yīng)的聲波的聲速譜 圖中 分別是0, 0.20, 0.40, 0.60, 0.80,0.90, 0.95, 1.00, 或 者 分 別 是 0, 0.05, 0.10, 0.20, 0.40,0.60, 0.80, 1.00. 左邊的箭頭表示 增加的方向, 右邊的箭頭表示 增加的方向Fig. 3. Speed spectrums for different (or ) in liquids with two kinds of bubbles. Here is 0, 0.20, 0.40, 0.60,0.80, 0.90, 0.95 and 1.00, respectively. is 0, 0.05, 0.10,0.20, 0.40, 0.60, 0.80 and 1.00, respectively. The white ar?row indicates the direction of increase of , the gray ar?row indicates the direction of increase of .

圖4 在含兩種混合氣泡的液體中, 不同時(shí)聲波的相對(duì) 衰 減 譜 圖 中 , 分 別 是 , , 和, 箭頭表示該角頻率區(qū)域 增加的方向Fig. 4. Attenuation spectrums for different in liquids with two kinds of bubbles. Here, , is ,, and , respectively. The arrow indicates the direction of increase of .

由圖4可見, 在相對(duì)衰減譜的兩個(gè)峰之間的(角頻率)區(qū)域內(nèi),隨的增加而增加, 但是它們會(huì)逐漸趨于一個(gè)特定的曲線(如圖中的實(shí)線). 當(dāng)再繼續(xù)增加時(shí), 該區(qū)域的曲線和圖中的實(shí)線區(qū)別很小, 無(wú)法在圖中顯示出來(lái). 當(dāng)增加時(shí)(單位體積內(nèi)氣泡的數(shù)量增多), 氣泡間的平均距離減少, 氣泡間的相互作用力變大, 相對(duì)衰減譜中兩個(gè)峰的帶寬變大[6], 以至于在兩個(gè)峰之間的區(qū)域內(nèi)聲波的相對(duì)衰減增強(qiáng). 但是這種增強(qiáng)效應(yīng)具有飽和性, 即當(dāng)增加到一定值時(shí), 聲波的相對(duì)衰減會(huì)趨于穩(wěn)定.

圖6顯示了在含兩種混合氣泡的液體中黏度不同時(shí)聲波的衰減譜. 由圖可見： 1)在兩個(gè)衰減峰處, 衰減系數(shù)的峰值隨黏度的增加反而減小. 在這兩個(gè)區(qū)域內(nèi), 聲衰減主要由氣泡的共振引起, 而黏性對(duì)氣泡的共振起抑制作用(即黏度越大共振越弱), 因此衰減系數(shù)的峰值隨黏度的增加反而減少;2)在兩個(gè)衰減峰之間的區(qū)域內(nèi), 衰減系數(shù)隨黏度的增加而增加. 這說(shuō)明在這個(gè)區(qū)域內(nèi)聲衰減主要是由液體的黏性引起, 而不是由氣泡的共振引起.

圖5 在含兩種混合氣泡的液體中, 不同時(shí)聲波的聲速譜 圖中 , 分別是 , , 和 ,箭頭表示該角頻率區(qū)域 增加的方向Fig. 5. Speed spectrums for different in liquids with two kinds of bubbles. Here, , is , ,and , respectively. The arrow indicates the dir?ection of increase of .

圖6 在兩種混合氣泡的液體中黏度不同時(shí)聲波的衰減譜Fig. 6. Attenuation spectrums for different viscosity in li?quids with two kinds of bubbles.

圖7 顯示了在含多種混合氣泡的液體中聲波的衰減譜. 由圖可見： 1)在含多種混合氣泡的液體中聲波共振傳播的抑制效應(yīng)依然存在, 且混合氣泡的種類越多, 聲波共振傳播的抑制效應(yīng)越明顯, 即當(dāng)越大時(shí), 衰減系數(shù)的峰值變得越小; 2)當(dāng)比較小時(shí), 衰減譜上存在多個(gè)衰減峰(一般是個(gè)峰), 當(dāng)增加到一定值時(shí), 衰減譜變成一條光滑的曲線(如時(shí), 圖7中的粗實(shí)線). 再繼續(xù)增加, 衰減譜曲線的變化很小, 無(wú)法在圖上顯示出來(lái). 這說(shuō)明對(duì)而言, 聲波共振傳播的抑制效應(yīng)存在飽和現(xiàn)象. 當(dāng)很大時(shí), 抑制效果會(huì)趨于穩(wěn)定, 而不是持續(xù)增加.

圖7 在含多種混合氣泡的液體中氣泡的種類數(shù)不同時(shí)聲波的衰減譜. 圖中 ,Fig. 7. Attenuation spectrums for different . Here,.

圖8 氣泡滿足不同分布時(shí)聲波的衰減譜 細(xì)實(shí)線是參考曲線, 它對(duì)應(yīng)著存在兩種混合氣泡的情況; 對(duì)其他曲線而言, 各個(gè)氣泡的靜態(tài)半徑分別是R = 20 + 40(j – 1)/Fig. 8. Attenuation spectrums for different distribution functions of bubble number. The thin solid line indicates the systems with two kinds of bubbles. Here, R =

圖8 顯示了氣泡數(shù)滿足不同分布時(shí)聲波的衰減譜. 點(diǎn)線對(duì)應(yīng)的分布是(其中泡數(shù)偏向小氣泡的分布, 衰減譜的帶寬是這是一個(gè)均勻的分布, 衰減譜的帶寬是是一個(gè)氣泡數(shù)偏向大氣泡的分布, 衰減譜的帶寬是. 可以得出如下的結(jié)論： 氣泡數(shù)分布越偏向大氣泡, 共振衰減峰的帶寬就越小, 反之則越大.

這里試著解釋上面的結(jié)論, 前面已知小氣泡共振特征量的抑制效果遠(yuǎn)比大氣泡的大. 當(dāng)氣泡數(shù)分布偏向大氣泡時(shí), 小氣泡的數(shù)量就比較少, 小氣泡對(duì)應(yīng)的高頻共振衰減被極大地抑制了, 因此衰減譜的帶寬比較小. 當(dāng)氣泡數(shù)分布偏向小氣泡時(shí), 小氣泡的數(shù)量比較大, 小氣泡對(duì)應(yīng)的高頻共振衰減的抑制效果較小; 雖然大氣泡的數(shù)量較小, 但是大氣泡的特征量的抑制效果本來(lái)就弱, 因此大氣泡對(duì)應(yīng)的低頻共振衰減的抑制效果也較小. 結(jié)果是衰減峰帶寬比較大.

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用有效介質(zhì)理論研究了含混合氣泡液體中聲波的共振傳播特性, 得出的主要結(jié)論概括如下.

1)在含混合氣泡的液體中存在聲波共振傳播的抑制效應(yīng). 這是一個(gè)普遍的現(xiàn)象, 具體的表述是：和含單一種類氣泡的液體相比, 在含混合氣泡的液體中, 聲波的共振衰減系數(shù)和聲速都會(huì)明顯地變小. 這種抑制效應(yīng)的本質(zhì)是液體中氣泡的共振振動(dòng)被抑制了.

2)在含混合氣泡的液體中, 聲波共振傳播的抑制效應(yīng)的主要特征有： 小氣泡共振特征量的抑制效果遠(yuǎn)比大氣泡的大; 當(dāng)氣泡數(shù)分布越偏向大氣泡時(shí), 衰減峰的帶寬越小, 反之則越大; 抑制效果隨的增加而增加, 但是存在飽和效應(yīng), 即當(dāng)很大時(shí)聲波共振傳播的抑制效果趨于穩(wěn)定.

3)在含混合氣泡的液體中, 各種因素對(duì)聲衰減譜和聲速譜的主要影響有： 在聲衰減譜的衰減峰處黏性對(duì)聲衰減起抑制作用, 而在衰減峰之間的區(qū)域內(nèi)黏性對(duì)聲衰減起促進(jìn)作用; 在衰減峰處空化率對(duì)聲波的共振衰減和聲速的影響是不同的, 前者隨空化率的增加而單調(diào)增加, 后者卻是先增加而后減少; 在衰減峰之間的區(qū)域內(nèi)相對(duì)衰減隨空化率的增加而增加, 但是這種增加具有飽和性, 即空化率達(dá)到較大值時(shí), 相對(duì)衰減趨于穩(wěn)定; 在衰減峰之間的區(qū)域內(nèi)聲速隨空化率的增加而減少.