董磊 盧振武 劉欣悅 李正煒

1) (中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033)

2) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

1 引 言

隨著通信和氣象等業(yè)務(wù)的不斷增加, 對(duì)空中平臺(tái)的需求也越來(lái)越多, 這就使得對(duì)包括人造衛(wèi)星在內(nèi)的空間目標(biāo)的探測(cè)和識(shí)別需求日益強(qiáng)烈. 空中衛(wèi)星的增多, 增加了彼此碰撞的概率, 同時(shí)加劇再次發(fā)射時(shí)的風(fēng)險(xiǎn). 為了實(shí)現(xiàn)對(duì)空中己發(fā)衛(wèi)星的實(shí)時(shí)監(jiān)控,并預(yù)防別國(guó)衛(wèi)星的非授權(quán)探測(cè), 需要能觀測(cè)其運(yùn)動(dòng)特性、姿態(tài)變化并能識(shí)別其形狀. 所以, 發(fā)展對(duì)深空暗弱目標(biāo)的探測(cè)技術(shù)成為當(dāng)前的迫切需要. 傅里葉望遠(yuǎn)鏡 (Fourier telescope, FT) 就是可對(duì)遠(yuǎn)距離暗弱小目標(biāo)高分辨率成像的新型技術(shù)之一[1?7].

FT是一種結(jié)合了激光主動(dòng)照明與光學(xué)合成孔徑的成像技術(shù), 它對(duì)大氣湍流的影響不敏感[8,9], 適用于通過(guò)大氣對(duì)遠(yuǎn)距離的暗弱目標(biāo)高分辨率成像.潛在的應(yīng)用包括對(duì)地球靜止及同步軌道目標(biāo)成像[10?12], 并可擴(kuò)展到對(duì)快速運(yùn)動(dòng)的低軌目標(biāo)成像[13?15]. FT成像基本原理與用于天文觀測(cè)的長(zhǎng)基線干涉儀類似, 都是通過(guò)測(cè)量目標(biāo)的傅里葉分量間接成像, 但FT能夠主動(dòng)改變基線配置, 因而無(wú)需依靠地球自轉(zhuǎn)就可以測(cè)量不同傅里葉分量. 測(cè)量過(guò)程中系統(tǒng)與目標(biāo)需保持相對(duì)靜止, 因此測(cè)量時(shí)間直接影響了傅里葉望遠(yuǎn)鏡的成像能力. 采用同時(shí)發(fā)射三光束的方案可使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單, 但是每次只能測(cè)量一個(gè)傅里葉分量, 需要很長(zhǎng)的測(cè)量時(shí)間. 采用同時(shí)發(fā)射多光束的方案雖然每次可測(cè)量多個(gè)傅里葉分量, 縮短了測(cè)量時(shí)間, 但由于干涉場(chǎng)復(fù)雜模式下信號(hào)提取困難, 使得同時(shí)發(fā)射光束數(shù)目受限(約為20多束), 故對(duì)成像時(shí)間的壓縮效果有限, 并且系統(tǒng)復(fù)雜度高, 對(duì)激光器功率要求很高.

近期提出的壓縮感知理論[16?20]表明, 對(duì)于稀疏或可壓縮信號(hào)可以利用隨機(jī)稀疏采樣實(shí)現(xiàn)精確重構(gòu). FT的成像目標(biāo)一般都具有規(guī)則結(jié)構(gòu), 因而具有可壓縮性, 利用對(duì)傅里葉平面的稀疏采樣測(cè)量可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)圖像的精確重構(gòu), 從而大大減少測(cè)量樣本的數(shù)量, 有效降低成像時(shí)間. 基于上述特點(diǎn),我們團(tuán)隊(duì)開展了基于壓縮感知的傅里葉望遠(yuǎn)鏡(compressed sensing Fourier telescope, CS?FT)的初步研究[21], 通過(guò)仿真分析驗(yàn)證CS?FT的確具有高精度重構(gòu)和減少成像時(shí)間的特性. 然而, 當(dāng)時(shí)的研究并沒有比較壓縮感知方法與其他可降低成像時(shí)間的方法（如低頻全采樣 (low?frequency full?sampling, LF) 方法和變密度隨機(jī)采樣 (variable?density random?sampling, VD) 方法）之間的性能差異, 也沒有分析上述方法中主要參數(shù)的變化對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響. 本文將對(duì)上述問(wèn)題開展詳細(xì)的分析和驗(yàn)證, 通過(guò)改變包括總采樣率 (total sampling rate, TSR)、低頻采樣率 (low frequency sampling rate, LSR) 和采樣概率密度函數(shù)的階數(shù) (order of the sampling probability density function, OPDF)在內(nèi)的主要參數(shù), 比較傳統(tǒng)FT、LF方法、VD方法和CS方法在成像質(zhì)量上的差異, 并初步比較上述四種方法在成像時(shí)間上的差異. 上述分析所采用的數(shù)據(jù)均來(lái)自于外場(chǎng)實(shí)驗(yàn), 重構(gòu)結(jié)果也包含了實(shí)際噪聲的影響.

本文的后續(xù)部分包括以下內(nèi)容： 第2部分簡(jiǎn)要介紹FT的成像原理, 第3部分簡(jiǎn)要介紹CS?FT的成像原理和圖像恢復(fù)方法, 第4部分對(duì)四種方法的成像質(zhì)量進(jìn)行詳細(xì)的分析和比較, 第5部分對(duì)四種方法的成像時(shí)間進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析和比較,第6部分對(duì)本文的工作進(jìn)行總結(jié).

2 傅里葉望遠(yuǎn)鏡簡(jiǎn)介

FT的工作原理在很多文獻(xiàn)中已經(jīng)有較為詳細(xì)的論述[22?25], 其系統(tǒng)組成和圖像重構(gòu)流程的示意圖分別如圖1和圖2所示. FT采用3束 (或更多)經(jīng)過(guò)移頻和準(zhǔn)直的激光束同時(shí)照射目標(biāo), 通過(guò)改變地面發(fā)射基線位置實(shí)現(xiàn)改變空間頻率的目的. 目標(biāo)反射光包含了與發(fā)射基線空間頻率相對(duì)應(yīng)的目標(biāo)頻譜信息. 光學(xué)能量接收系統(tǒng)收集目標(biāo)反射光, 經(jīng)過(guò)時(shí)間解調(diào)和相位閉合處理后可以得到與發(fā)射基線空間頻率相對(duì)應(yīng)的目標(biāo)傅里葉分量. 在獲得足夠多目標(biāo)傅里葉分量的基礎(chǔ)上, 通過(guò)逆傅里葉變換(IFFT) 即可重構(gòu)目標(biāo)圖像.

圖1 傅里葉望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)示意圖Fig. 1. Scheme of the Fourier telescope.

圖2 圖像重構(gòu)示意圖Fig. 2. Scheme of the image reconstruction.

FT的主要優(yōu)點(diǎn)為： 主動(dòng)合成孔徑, 通過(guò)增大基線以實(shí)現(xiàn)幾十米甚至上百米的有效口徑合成; 可免疫大氣湍流的影響, 不需要復(fù)雜昂貴的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng); 將目標(biāo)的空間信息調(diào)制到時(shí)間域, 不需要高光學(xué)質(zhì)量的接收鏡, 只需大面積的能量接收鏡（光桶）即可實(shí)現(xiàn)高分辨力成像.

3 基于壓縮感知的傅里葉望遠(yuǎn)鏡

CS理論一經(jīng)提出, 就在多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域受到高度關(guān)注. 其中重要的一例是, CS技術(shù)解決了核磁共振成像 (nuclear magnetic resonance imaging,MRI) 圖像重構(gòu)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的難題[18]. MRI的基本原理是通過(guò)專用設(shè)備對(duì)K空間數(shù)據(jù) (空間頻域)進(jìn)行采集, 然后通過(guò)IFFT重構(gòu)目標(biāo)圖像. 這與FT成像原理的核心部分–通過(guò)發(fā)射基線配置實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)空間頻譜采集, 然后通過(guò)IFFT重構(gòu)目標(biāo)圖像–十分相似, 所以完全可以借鑒CS?MRI的壓縮感知應(yīng)用方式和重構(gòu)算法, 從而形成CS?FT.

CS?FT技術(shù)包含以下幾個(gè)重要環(huán)節(jié)： 1) 傳統(tǒng)FT數(shù)據(jù)獲取和目標(biāo)頻譜估計(jì)技術(shù), 這是FT成像的基礎(chǔ); 2) 利用小波變換和全變分（total variation,TV）變換等方法對(duì)待恢復(fù)目標(biāo)進(jìn)行稀疏表示, 使得只需要遠(yuǎn)低于奈奎斯特?香農(nóng) (Nyquist?Shannon,N?S) 采樣的觀測(cè)數(shù)據(jù)y就可以精確恢復(fù)目標(biāo)圖像;3) 對(duì)目標(biāo)空間頻譜進(jìn)行隨機(jī)采樣 (通過(guò)發(fā)射基線的隨機(jī)配置來(lái)實(shí)現(xiàn)), 使得觀測(cè)矩陣與稀疏變換矩陣不相關(guān), 滿足壓縮感知技術(shù)的使用要求; 4) 建立圖像恢復(fù)優(yōu)化模型, 通過(guò)優(yōu)化算法恢復(fù)目標(biāo)圖像.

CS?FT和后面將分析的LF方法和VD方法均屬于降采樣方法. 降采樣方法的最大優(yōu)點(diǎn)是只需要稀疏采樣目標(biāo)頻譜即可重構(gòu)圖像, 和傳統(tǒng)FT相比可大大縮短成像時(shí)間. 上述三種降采樣方法的區(qū)別在于采樣模式和重構(gòu)方法的不同. 對(duì)于LF方法來(lái)說(shuō), 采樣模式只采樣目標(biāo)頻譜的低頻部分, 重構(gòu)方法采用高頻頻譜補(bǔ)零, 然后整個(gè)頻譜進(jìn)行IFFT.由此可見, LF方法的高頻信息缺失, 理論上會(huì)造成最高分辨率降低. 對(duì)于VD方法來(lái)說(shuō), 采樣模式為隨機(jī)采樣目標(biāo)頻譜, 重構(gòu)方法采用缺失頻譜補(bǔ)零, 然后整個(gè)頻譜進(jìn)行IFFT. 由此可見, VD方法的高頻信息無(wú)明顯缺失, 理論上最高分辨率下降較小, 但隨機(jī)降采樣和簡(jiǎn)單IFFT會(huì)引入較大的重構(gòu)噪聲, 從而引起圖像模糊. 對(duì)于CS方法來(lái)說(shuō), 采樣模式為隨機(jī)采樣目標(biāo)頻譜, 重構(gòu)方法采用壓縮感知的恢復(fù)算法重構(gòu)圖像. 基于壓縮感知的恢復(fù)算法可有效抑制由隨機(jī)降采樣和簡(jiǎn)單IFFT引入的噪聲,由此可見, CS方法既能保留最高分辨率又能克服降采樣帶來(lái)的噪聲缺陷, 故理論上CS方法的重構(gòu)質(zhì)量應(yīng)優(yōu)于其他兩種降采樣方法 (LF和VD).

本文建立的CS?FT圖像重構(gòu)優(yōu)化模型如下：

下面詳細(xì)介紹一下CS?FT重構(gòu)方法. CS?FT的非線性優(yōu)化算法采用Matlab編寫, 其中的小波變換算子利用了Wavelab工具包[26]中的Daubechies小波函數(shù), 計(jì)算機(jī)模擬基于現(xiàn)有代碼[25]. 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中正則化參數(shù)和均設(shè)定為0.01, 優(yōu)化過(guò)程均經(jīng)過(guò)8次迭代. 傅里葉平面的隨機(jī)稀疏采樣模板利用多項(xiàng)式概率密度函數(shù), 通過(guò)Monte?Carlo算法生成. 考慮到目標(biāo)圖像低頻部分信息較為集中, 因此采樣模板對(duì)傅里葉平面低頻部分進(jìn)行了N?S采樣.某次隨機(jī)生成的變密度采樣模板圖像 (TSR為30%, 低頻N?S采樣率為10%) 如圖3所示.

圖3 目標(biāo)頻譜的采樣模板Fig. 3. Randomly sparse sampled template.

4 四種重構(gòu)方法成像質(zhì)量的分析與比較

本文利用Molniya?1衛(wèi)星圖像進(jìn)行了實(shí)驗(yàn), 以分析和比較四種圖像重構(gòu)方法 (N?S, LF, VD和CS) 之間的性能差異.

下面簡(jiǎn)單介紹一下四種重構(gòu)方法各自所包含的主要步驟.

N?S重構(gòu)方法： 該方法是傳統(tǒng)的FT重構(gòu)方法,在接收到目標(biāo)完整信息后, 利用信號(hào)解調(diào)、相位閉合、頻譜估計(jì)和圖像恢復(fù)等步驟重構(gòu)目標(biāo)圖像.

LF重構(gòu)方法： 利用傳統(tǒng)FT方法獲得目標(biāo)頻譜, 然后只取頻譜中的低頻部分, 高頻部分賦零值,再利用IFFT重構(gòu)目標(biāo)圖像.

VD重構(gòu)方法： 利用傳統(tǒng)FT方法獲得目標(biāo)頻譜, 然后利用隨機(jī)采樣模式獲取目標(biāo)頻譜, 沒有采樣的頻譜值賦零值, 再利用IFFT重構(gòu)目標(biāo)圖像.

CS重構(gòu)方法： 利用傳統(tǒng)FT方法獲得目標(biāo)頻譜, 然后利用隨機(jī)采樣模式獲取目標(biāo)頻譜作為測(cè)量值, 接著根據(jù)隨機(jī)采樣模式和稀疏變換類型獲得壓縮感知傳感矩陣, 最后利用非線性共軛梯度算法重構(gòu)目標(biāo)圖像.

FT在實(shí)際成像過(guò)程中存在一些誤差源的影響(包含光束指向誤差、大氣湍流引起的到達(dá)角變化、光束移頻頻率漂移、激光散斑噪聲和探測(cè)器散粒噪聲等), 而這些誤差源在實(shí)際成像過(guò)程中是無(wú)法避免的. 所以在分析過(guò)程中采用外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) (包含上述誤差影響), 以研究噪聲對(duì)四種重構(gòu)方法的影響程度. 下面簡(jiǎn)單介紹一下外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)裝置.

外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)的主要目的是驗(yàn)證傳統(tǒng)FT對(duì)下行鏈路 (目標(biāo)到接收鏡) 大氣湍流的免疫性和實(shí)際噪聲源對(duì)系統(tǒng)成像性能的綜合影響[27,28]. 發(fā)射和接收光學(xué)系統(tǒng)的原理示意圖如圖4和圖5所示, 兩者的實(shí)物圖分別如圖6和圖7所示. 目標(biāo)由膠片打印圖片加漫散射體構(gòu)成, 實(shí)物圖如圖8所示.

圖4 發(fā)射光學(xué)系統(tǒng)Fig. 4. Schematic diagram of the optical transmitter.

圖5 接收光學(xué)系統(tǒng)Fig. 5. Schematic diagram of the optical receiver.

在后續(xù)分析與比較中, 將改變重構(gòu)算法中的三個(gè)主要參數(shù) (TSR, LSR和OPDF), 比較在不同參數(shù)條件下, 四種重構(gòu)方法在成像質(zhì)量上的差異. 下面介紹上述三個(gè)主要參數(shù)的物理含義和取值范圍.

圖6 發(fā)射光學(xué)系統(tǒng)實(shí)物圖Fig. 6. Physical layout of the optical transmitter.

圖7 接收光學(xué)系統(tǒng)實(shí)物圖Fig. 7. Physical layout of the optical receiver.

圖8 目標(biāo)實(shí)物圖Fig. 8. Physical picture of the target.

TSR為三種降采樣方法 (LF方法、VD方法和CS方法) 重構(gòu)圖像所需要的目標(biāo)空間頻譜數(shù)目與傳統(tǒng)FT(滿足奈奎斯特采樣定理, 即等間隔采樣) 所需頻譜數(shù)目的比值, TSR的取值范圍是[0, 1],更小的TSR表示所需的頻譜數(shù)更少, 成像時(shí)間也相應(yīng)降低.

LSR和OPDF這兩個(gè)參數(shù)只有在變密度采樣中存在 (即在VD方法和CS方法中存在), 一般在變密度采樣時(shí), 頻率較低的頻譜選擇等間隔采樣(滿足奈奎斯特采樣定理), 頻率較高的頻譜選擇變密度采樣 (滿足多項(xiàng)式概率密度函數(shù)的隨機(jī)采樣,即頻率較低的采樣率高, 頻率較高的采樣率低).

LSR是指對(duì)于變密度采樣來(lái)說(shuō) (VD方法和CS方法所采用), 等間隔采樣的頻譜數(shù)目與總采樣頻譜數(shù)目 (等間隔采樣數(shù)和變密度采樣數(shù)之和) 之比, LSR的取值范圍是[0, 1], LSR的取值越小表示等間隔采樣的比重越小.

OPDF是指變密度采樣中所選擇的多項(xiàng)式概率密度函數(shù)的最高次數(shù), OPDF取值范圍是正整數(shù), 一般選擇[3, 10]之間的正整數(shù), 取值越大表示隨著頻率的增加采樣率下降得越快.

為了定量描述重構(gòu)質(zhì)量的差異, 對(duì)傳統(tǒng)FT方法的重構(gòu)圖像進(jìn)行閾值去噪, 所得結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)圖像,計(jì)算不同方法的重構(gòu)圖像與標(biāo)準(zhǔn)圖像相比的Strehl值. Strehl值的范圍是0–1, Strehl值越接近1則圖像質(zhì)量越接近標(biāo)準(zhǔn)圖像. Strehl值的計(jì)算公式為[25]

4.1 OPDF影響的分析

圖9 OPDF的影響 (a) 和 (b) 分別是OPDF = 3時(shí)的VD圖像和CS圖像; (c) 和 (d) 分別是OPDF = 4時(shí)的VD圖像和CS圖像; (e) 和 (f) 分別是OPDF = 5時(shí)的VD圖像和CS圖像Fig. 9. The effect of the OPDF： (a) and (b) are the VD im?age and the CS image, respectively, when OPDF = 3; (c)and (d) are the VD image and the CS image, respectively,when OPDF = 4; (e) and (f) are the VD image and the CS image, respectively, when OPDF = 5.

令TSR = 0.2, LSR = 0.2. 當(dāng)OPDF分別為3, 4和5時(shí), 重構(gòu)結(jié)果如圖9所示. 因?yàn)镺PDF只影響采用變密度采樣模式的重構(gòu)方法, 故只有VD?FT和CS?FT受其影響. 從圖9可以看出, CS?FT重構(gòu)性能隨著OPDF的增大而略有下降, 故應(yīng)盡量選擇較小的OPDF. 根據(jù)前面對(duì)OPDF的含義和取值的介紹可知, OPDF越小表示隨著頻率的增加采樣率下降越慢. 這里的分析說(shuō)明, 實(shí)驗(yàn)所采用的目標(biāo)頻譜主要集中在中低頻, 高頻信息較少.

4.2 LSR影響的分析

令TSR = 0.4, OPDF = 2.6. 當(dāng)LSR分別為0, 0.1, 0.3和0.4時(shí), 重構(gòu)結(jié)果如圖10所示. 因?yàn)長(zhǎng)SR只影響采用變密度采樣模式的重構(gòu)方法, 故只有VD?FT和CS?FT受其影響. 從圖10可以看出, CS?FT重構(gòu)性能變化的大致趨勢(shì)是隨著LSR的增大而略有下降, 故應(yīng)盡量選擇較小的LSR. 根據(jù)前面對(duì)LSR的含義和取值的介紹可知,LSR越小表示等間隔采樣的比重越小. 這里的分析說(shuō)明, 實(shí)驗(yàn)所采用的目標(biāo)頻譜的低頻信息不多,信息主要集中在中頻部分.

4.3 TSR影響的分析

令LSR = 0, 每次重構(gòu)盡可能選擇最小的OPDF. TSR的變化范圍為0.05–0.8, 重構(gòu)結(jié)果如圖11所示. 從圖11可以看出, CS重構(gòu)性能隨著TSR的增大而提升, 但LF?FT和VD?FT的重構(gòu)性能也隨TSR的增大而提升. 當(dāng)TSR = 0.8時(shí),雖然從Strehl比來(lái)看, CS?FT仍然大于LF?FT和VD?FT(差別已經(jīng)很小), 但從直觀感受來(lái)說(shuō), LF?FT, VD?FT 和 CS?FT 的重構(gòu)效果與 N?S?FT 幾乎無(wú)差別. 通過(guò)Strhel比和直觀觀察可以得出,CS?FT的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在TSR較小 ( ＜ 0.4) 的時(shí)候. 根據(jù)前面對(duì)TSR的含義和取值的介紹可知,更小的TSR表示所需的頻譜數(shù)更少, 成像時(shí)間也相應(yīng)降低. 由此可見, 與其他降采樣方法 (LF方法和VD方法) 相比, CS方法在較低成像時(shí)間時(shí)具有較好的成像質(zhì)量.

圖10 LSR的影響 (a) 和 (b) 分別是LSR = 0時(shí)的VD圖像和CS圖像; (c) 和 (d) 分別是LSR = 0.1時(shí)的VD圖像和CS圖像;(e) 和 (f) 分別是LSR = 0.3時(shí)的VD圖像和CS圖像; (g) 和 (h) 分別是LSR = 0.4時(shí)的VD圖像和CS圖像Fig. 10. The effect of the LSR： (a) and (b) are the VD image and the CS image, respectively, when LSR = 0; (c) and (d) are the VD image and the CS image, respectively, when LSR = 0.1; (e) and (f) are the VD image and the CS image, respectively, when LSR = 0.3; (g) and (h) are the VD image and the CS image, respectively, when LSR = 0.4.

綜合上述3種情況可以總結(jié)出如下規(guī)律： 1)在相同TSR情況下, OPDF越小, CS?FT重構(gòu)效果越好; 2) LSR較小時(shí), CS?FT重構(gòu)結(jié)果較好, 因LSR ＞ 0可能限制總采樣數(shù)的壓縮 (不能進(jìn)一步減少采樣數(shù)), 故可以取LSR = 0; 3) 隨著TSR的增大, LF?FT, VD?FT 和 CS?FT 的重構(gòu)性能均提高, 當(dāng) TSR = 0.8 時(shí), 三者的差異很小, 均與 N?S?FT幾乎無(wú)差別. 所以與LF?FT和VD?FT相比, CS?FT的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在TSR較小 ( ＜ 0.4) 的時(shí)候.

5 成像時(shí)間分析

FT屬于事后成像系統(tǒng), 即先利用光學(xué)裝置分時(shí)獲得目標(biāo)的全部信息, 然后通過(guò)圖像重構(gòu)程序恢復(fù)目標(biāo)圖像. 成像時(shí)間包括獲取目標(biāo)信息時(shí)間和圖像重構(gòu)時(shí)間.

獲取目標(biāo)信息過(guò)程主要分成望遠(yuǎn)鏡移動(dòng)和跟蹤瞄準(zhǔn)、光束切換和相位補(bǔ)償?shù)榷鄠€(gè)操作環(huán)節(jié). 因?yàn)镕T為分時(shí)獲取目標(biāo)信息 (每次獲取目標(biāo)的部分信息, 通過(guò)多次操作獲取目標(biāo)的全部信息), 每次操作的時(shí)間大約為15 s, 所以整個(gè)獲取目標(biāo)信息的過(guò)程所需時(shí)間較長(zhǎng). 下面以每次同時(shí)發(fā)射三束激光的傳統(tǒng)FT為例計(jì)算目標(biāo)信息獲取時(shí)間. 傳統(tǒng)FT每次獲取一個(gè)目標(biāo)頻譜信息, 想要獲得33 × 33分辨率的目標(biāo)圖像, 則需要測(cè)量33 × 33個(gè)目標(biāo)頻譜分量. 因?yàn)閷?shí)函數(shù)的傅里葉變換存在共軛性 (第一和第三象限的頻譜互為復(fù)共軛, 第二和第四象限的頻譜互為復(fù)共軛), 故只需測(cè)量上述目標(biāo)頻譜的一半(約545個(gè)頻譜分量) 即可實(shí)現(xiàn)成像. 所以33 ×33分辨率的目標(biāo)圖像需要的信息獲取時(shí)間約為545 × 15 s = 8175 s ≈ 2.27 h.

圖像重構(gòu)過(guò)程主要包括信息解調(diào)、相位閉合、頻譜估計(jì)和圖像恢復(fù)等環(huán)節(jié). 對(duì)于33 × 33分辨率的目標(biāo)圖像來(lái)說(shuō), 傳統(tǒng)FT的圖像重構(gòu)時(shí)間約為114 s, 遠(yuǎn)小于目標(biāo)信息獲取時(shí)間 (約8175 s). 因此, 減少目標(biāo)信息獲取次數(shù)是減少FT整體成像時(shí)間的關(guān)鍵.

采用基于壓縮感知的目標(biāo)信息獲取方法, 可以有效減少信息獲取次數(shù) (等于傳統(tǒng)FT獲取次數(shù) ×采樣率), 而增加的圖像重構(gòu)時(shí)間僅20多秒, 故可以有效減少FT的成像時(shí)間. 不同TSR下, CS?FT、LF方法、VD方法和傳統(tǒng)FT的成像時(shí)間的比較如表1所示.

通過(guò)表1可以看出, 隨著采樣率的減少, CS?FT的成像時(shí)間大幅下降, 當(dāng)然圖像質(zhì)量也隨之下降. 所以應(yīng)該根據(jù)具體的應(yīng)用需求合理選擇采樣率, 在快速成像和高質(zhì)量成像之間平衡.

圖11 TSR的影響 (a) 和 (b) 分別是標(biāo)準(zhǔn)圖像和傳統(tǒng)FT圖像; (c), (d) 和 (e) 分別是TSR = 0.05時(shí)的LF圖像, VD圖像和CS圖像; (f), (g) 和 (h) 分別是TSR = 0.1時(shí)的LF圖像, VD圖像和CS圖像; (i), (j) 和 (k) 分別是TSR = 0.2時(shí)的LF圖像,VD圖像和CS圖像; (l), (m) 和 (n) 分別是TSR = 0.4時(shí)的LF圖像, VD圖像和CS圖像; (o), (p) 和 (q) 分別是TSR = 0.8時(shí)的LF圖像, VD圖像和CS圖像Fig. 11. The effect of the TSR： (a) and (b) are the standard image and the traditional FT image, respectively; (c), (d) and (e) are the LF image, the VD image and the CS image, respectively, when TSR = 0.05; (f), (g) and (h) are the LF image, the VD image and the CS image, respectively, when TSR = 0.1; (i), (j) and (k) are the LF image, the VD image and the CS image, respectively,when TSR = 0.2; (l), (m) and (n) are the LF image, the VD image and the CS image, respectively, when TSR = 0.4; (o), (p) and(q) are the LF image, the VD image and the CS image, respectively, when TSR = 0.8.

6 結(jié) 論

通過(guò)上面的分析可以得出以下結(jié)論.

1) 對(duì)于三種可以壓縮FT成像時(shí)間的重構(gòu)技術(shù)來(lái)說(shuō), 在不同TSR下, CS?FT的重構(gòu)圖像質(zhì)量均優(yōu)于 LF?FT和 VD?FT. 例如, 在 TSR = 0.4時(shí),CS?FT 的圖像質(zhì)量 (Strehl = 0.68233) 優(yōu)于 LF?FT (Strehl = 0.67768) 和 VD?FT (Strehl =0.68045) . 這從實(shí)驗(yàn)上再次驗(yàn)證了基于壓縮感知的恢復(fù)算法可有效抑制由隨機(jī)降采樣和簡(jiǎn)單IFFT引入的噪聲, 與第3部分提到的理論分析結(jié)論 (理論上CS方法的重構(gòu)質(zhì)量應(yīng)優(yōu)于其他兩種降采樣方法) 相符. 雖然CS?FT的重構(gòu)時(shí)間比LF?FT和VD?FT稍長(zhǎng) (一般多二十幾秒), 但重構(gòu)時(shí)間的增加量與整個(gè)成像時(shí)間 (幾百秒至幾千秒) 相比可以忽略. 所以總體來(lái)說(shuō), CS?FT是較好的可壓縮FT成像時(shí)間的重構(gòu)技術(shù).

表1 四種方法的比較Table 1. Comparison of the four methods.

2) 對(duì)于本文所采用目標(biāo)的CS?FT成像來(lái)說(shuō),采用較小的LSR(LSR = 0) 和OPDF(OPDF =3), 可以獲得更好的重構(gòu)圖像質(zhì)量. 這也說(shuō)明, 本文所采用的目標(biāo)的信息主要集中在中頻段.

3) CS?FT可以大幅壓縮FT的成像時(shí)間, 但也一定程度上降低圖像質(zhì)量. 應(yīng)根據(jù)具體的應(yīng)用需求合理選擇TSR, 在快速成像和高質(zhì)量成像之間進(jìn)行折中.

4) 上面的分析和比較所采用的數(shù)據(jù)均來(lái)源于外場(chǎng)實(shí)驗(yàn), 這說(shuō)明上述三種降采樣重構(gòu)方法對(duì)實(shí)際噪聲均具有較強(qiáng)的魯棒性.

當(dāng)然, 目前對(duì)CS?FT的研究工作仍處于初期,還有很多環(huán)節(jié)需要繼續(xù)研究, 例如怎樣選擇合理的發(fā)射基線配置以適應(yīng)頻譜隨機(jī)欠采樣的要求, 以及發(fā)射基線不連續(xù)引起的三項(xiàng)積冗余度下降是否會(huì)產(chǎn)生成像性能的明顯下降等. 這些新問(wèn)題將是CS?FT是否可最終實(shí)現(xiàn)實(shí)際成像功能的障礙, 我們將持續(xù)努力逐漸縮短與最終目標(biāo)的距離.