趙 坤 徐 帆 李愛國 苗志勇 王 娜

1.北京航天自動控制研究所，北京100854 2.94402部隊, 濟南250002

由于機動目標的狀態(tài)空間模型為非線性，因此需要采用非線性濾波算法實現(xiàn)目標的跟蹤[1-4]。擴展卡爾曼濾波器(EKF)雖然是解決非線性估計問題的常用方法，但是EKF需要通過泰勒展開對非線性方程進行線性化處理，不但引入誤差，而且Jacobian矩陣的計算也很繁瑣，尤其當(dāng)狀態(tài)空間模型為強非線性時[5-6]。為克服EKF上述缺點，Julier S J和Uhlmann J K[7]于1997年提出無跡卡爾曼濾波器(UKF)。雖然UKF通過確定性的Sigma采樣點對非線性函數(shù)的概率密度分布進行近似，有效避免了EKF的線性化過程，但是UKF沒有嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，導(dǎo)致其在無跡變換(Unscented Transform,UT)過程中，可能會出現(xiàn)負權(quán)值情況，引起濾波發(fā)散或者不穩(wěn)定[8]。粒子濾波(Particle Filter, PF)雖然在精度上和穩(wěn)定性上均優(yōu)于UKF，但由于PF是通過隨機粒子數(shù)近似非線性函數(shù)的后驗密度，導(dǎo)致PF的計算負擔(dān)過大，不利于其應(yīng)用于目標的實時跟蹤。此外，在PF運算過程中會出現(xiàn)粒子退化現(xiàn)象，引起PF的精度下降[9-10]。

2009年，Arasaratnam和Haykin[11]基于球面徑向容積準則，經(jīng)過嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)提出一種高性能非線性濾波算法—CKF(Cubature Kalman Filter)。CKF在精度上不僅高于EKF，同時由于在積分運算過程中采用等權(quán)值的容積點，因此在穩(wěn)定性上要優(yōu)于UKF[12-14]。但CKF在每次迭代運算過程中，都需要進行協(xié)方差矩陣的分解運算，為保證CKF在運算過程中協(xié)方差矩陣的正定性，Arasaratnam提出平方根容積卡爾曼濾波( Square-Root Cubature Kalman Filter，SRCKF)算法。但由于在目標跟蹤過程中，系統(tǒng)噪聲會受到外界干擾，造成濾波器不穩(wěn)定，為進一步提高CKF在目標跟蹤過程中的穩(wěn)定性，同時降低運算量，本文根據(jù)跟蹤目標系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性的特點，提出一種簡化自適應(yīng)SCKF算法。該算法不需要精確知道機動目標噪聲的先驗統(tǒng)計特性，能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)目標跟蹤過程中的噪聲變化，有效克服外界對系統(tǒng)噪聲干擾引起的不穩(wěn)定性。 此外由于利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣實現(xiàn)對狀態(tài)變量和協(xié)方差矩陣的一步預(yù)測，有效避免了傳統(tǒng)算法中通過容積點進行計算的復(fù)雜過程，減小了計算負擔(dān)。仿真結(jié)果顯示:本文提出的簡化自適應(yīng)SCKF在保證跟蹤精度的前提下，能有效提高運算效率。

本文的結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF算法；第2節(jié)通過對傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF算法時間更新環(huán)節(jié)的簡化，介紹簡化自適應(yīng)SCKF算法；第3節(jié)通過對目標跟蹤仿真驗證簡化自適應(yīng)SCKF算法的有效性；最后給出文章的結(jié)論。

1 傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF算法

通常情況下，非線性系統(tǒng)可以表示為[9,11]：

xk=f(xk-1)+vk-1

(1)

zk=h(xk)+wk

(2)

其中，xk∈Rn表示k時刻的狀態(tài)量；vk-1表示零均值過程噪聲，其方差矩陣為Qk-1；wk表示零均值量測噪聲，其方差矩陣為Rk；zk∈Rm表示k時刻的量測量；f(·)和h(·)分別為狀態(tài)方程和量測方程的非線性函數(shù)。

在眾多自適應(yīng)算法中，基于Sage-Husa噪聲估計器的自適應(yīng)算法應(yīng)用最為廣泛[15]。為了更好地利用當(dāng)前信息實現(xiàn)對系統(tǒng)噪聲的估計，通常采用帶漸消記憶的Sage-Husa噪聲估計器實現(xiàn)對過程噪聲方差矩陣Qk和量測噪聲方差矩陣Rk的有效估計，此時Qk和Rk可分別表示為：

(3)

(4)

將式(3)和(4)表示的Qk和Rk，代入到SCKF中可以得到由式(1)和(2)所示非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)SCKF算法，具體過程可以總結(jié)如下：

第1步：根據(jù)Spherical-Radial準則計算Cubature點ξi及相應(yīng)的權(quán)值ωi：

(5)

其中，[1]i為：

(6)

第2步：一步預(yù)測

計算m個Cubature點：

(7)

將Cubature點利用式(1)中的狀態(tài)方程進行傳播：

(8)

狀態(tài)x在k時刻的預(yù)測：

(9)

過程噪聲方差矩陣Qk的自適應(yīng)調(diào)節(jié)

(10)

其中，dk=(1-b)/(1-bk),(0.95≤b≤0.995)。

(11)

第3步：量測更新

計算m個Cubature點：

(12)

將Cubature點利用式(2)中的量測方程進行傳播：

(13)

量測z的估計：

(14)

量測噪聲方差矩陣Rk的自適應(yīng)調(diào)節(jié)：

(15)

自相關(guān)協(xié)方差陣Pzz的平方根為：

(16)

互相關(guān)協(xié)方差陣Pxz為：

(17)

卡爾曼增益Kk為：

(18)

更新狀態(tài)量為：

(19)

更新狀態(tài)誤差協(xié)方差平方根：

(20)

至此，帶漸消記憶的自適應(yīng)SCKF算法的基本步驟介紹完畢。

2 簡化自適應(yīng)SCKF算法

由于在目標跟蹤領(lǐng)域，被跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，即式(1)改寫為：

xk=Φkxk-1+vk-1

(21)

此時式(9)可以表示為[16]：

(22)

(23)

對于式(11)，由QR分解理論可以得到：

(24)

其中，H為Hermite矩陣，且HTH=I。則對式(24)進行如下運算：

(25)

式(25)左邊可以表示為：

(26)

(27)

根據(jù)式(23)和(27)所示的狀態(tài)變量和協(xié)方差矩陣的一步預(yù)測可知，簡化自適應(yīng)SCKF算法的基本流程可以表示為如圖1所示。

3 簡化自適應(yīng)SCKF算法跟蹤性能評價

圖1 自適應(yīng)SCKF算法基本流程圖

由于在目標跟蹤過程中，量測噪聲更容易受到外界環(huán)境的干擾，因此本部分在研究過程中保持過程噪聲不變，同時為了全面評價簡化自適應(yīng)SCKF算法的性能，進行量測噪聲不變和量測噪聲時變2種場景的仿真分析，在每一種分析中均以傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF作為對比。本部分選用常用雷達目標跟蹤模型，該模型的動態(tài)方程可以表示為[8,17]：

(28)

(29)

其中,q1=0.1；T=1s。

量測方程可以表示為：

(30)

Rk=diag[100m210mrad2],1≤k≤100

(31)

(32)

狀態(tài)向量的初始值設(shè)為[1000m 300m/s 1000m 0m/s]T；初始協(xié)方差矩陣設(shè)為：

評價一種濾波算法的好壞主要從精度和運算效率2個方面進行。在精度方面主要采用均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)作為評價因子；在運算效率方面主要從多次蒙特卡羅運算耗費的時間進行評價。上述被跟蹤目標的位置、速度和轉(zhuǎn)彎速率的RMSE可以分別表示為：

(33)

(34)

式(31)和 (32)所示的場景1和場景2 在配置內(nèi)存為3GB，頻率為2GHz，Intel雙核處理器計算機中進行50次蒙特卡羅仿真，結(jié)果分別如圖2和3所示，2種場景的RMSE因子的統(tǒng)計特性和所耗費的時間統(tǒng)計如表1所示。

圖2 場景1的仿真結(jié)果

由圖2可知，在場景1中，傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF和簡化自適應(yīng)SCKF在量測噪聲不變的情況下，位置的均方根誤差和速度的均方根誤差的收斂趨勢均保持一致，這說明自適應(yīng)SCKF同樣適用于量測噪聲不變的情況。由表2的統(tǒng)計特性可知，簡化自適應(yīng)SCKF在保證跟蹤精度的前提下，有效降低了計算負擔(dān)。

圖3 場景2的仿真結(jié)果

表1 場景1和場景2仿真結(jié)果統(tǒng)計特性

如圖3所示，傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF和簡化自適應(yīng)SCKF在場景2中可以有效調(diào)節(jié)量測噪聲對系統(tǒng)造成的影響，最終實現(xiàn)收斂。由表2中的統(tǒng)計特性可知，傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF和簡化自適應(yīng)SCKF在場景2中的跟蹤精度相同，但是相比于傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF，簡化自適應(yīng)SCKF有效提高了運算效率。綜上所述，本文提出的簡化自適應(yīng)SCKF不但能保證與傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF算法同樣的跟蹤精度，而且可以有效提高實時性。

4 結(jié)論

基于目標跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常為線性的，提出一種簡化自適應(yīng)SCKF算法，該算法直接利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣代替容積點，實現(xiàn)對狀態(tài)變量和協(xié)方差矩陣的一步預(yù)測。為有效評價該簡化自適應(yīng)SCKF算法的有效性，將其與傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF算法在量測噪聲不變和量測噪聲時變兩種目標跟蹤場景下進行仿真對比分析，結(jié)果顯示：本文提出的簡化自適應(yīng)SCKF算法具有與傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF算法同樣的跟蹤精度，但其計算負擔(dān)小于傳統(tǒng)自適應(yīng)SCKF。