唐曉銘 鄧梨 虞繼敏 屈洪春

預測控制作為一種具有處理約束優(yōu)化控制問題能力的先進控制算法,已經(jīng)引起了工業(yè)界和學術(shù)界的廣泛關注[1].縱觀預測控制的發(fā)展過程,它經(jīng)歷了從上世紀70年代以動態(tài)矩陣控制,模型算法控制為代表的經(jīng)典預測控制算法,到上世紀90年代以具有穩(wěn)定性保證為特色的預測控制綜合方法的質(zhì)的飛躍[2?4].就預測控制綜合方法而言,文獻[5]基于不變集理論和線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)技術(shù)首次提出了一種能夠保證穩(wěn)定性的預測控制綜合算法.從那以后,預測控制綜合方法的研究有了長足的進步,其主要進展來自于以下兩個方面:首先,通過設計新的Lyapunov函數(shù),如參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù),或者在優(yōu)化問題中增加自由控制作用等方法來提高系統(tǒng)的控制性能,如文獻[6?8].其次,通過離線求解控制序列或者采用集結(jié)策略來降低在線計算量,如文獻[9?11].然而,上述文獻的結(jié)果均基于狀態(tài)可測的情況,即狀態(tài)反饋預測控制.對于實際系統(tǒng)而言,狀態(tài)變量往往是不可測的.因此,輸出反饋預測控制綜合方法的研究更具實際意義.近年來,已有學者對這一問題展開了深入研究,并取得了很多有意義的結(jié)果.文獻[12]針對具有模型不確定性的線性時變約束系統(tǒng),給出了一種基于離線狀態(tài)觀測器和離線反饋控制律的輸出反饋預測控制方法.文獻[13]在文獻[12]的基礎上,提出了一種基于“quasi-min-max”的輸出反饋預測控制,其算法主要由離線設計的狀態(tài)觀測器和在線的輸出反饋控制器構(gòu)成.關于輸出反饋預測控制綜合方法的其他研究請參考文獻[14?17].

與此同時,網(wǎng)絡控制系統(tǒng)因其可靠性高、易于安裝和維護、能實現(xiàn)信息資源共享等優(yōu)勢,已經(jīng)成為學術(shù)界的重點研究領域之一[18?22].對網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的研究,其主要挑戰(zhàn)是如何降低網(wǎng)絡的特有屬性,如數(shù)據(jù)丟包,帶給控制系統(tǒng)性能的不利影響.為此,學術(shù)界已經(jīng)提出了各種方案來解決這一難題,如H∞控制[23?26],切換系統(tǒng)理論[27],預測控制[28]等.文獻[23?24]都采用伯努利隨機分布描述丟包現(xiàn)象,分別設計了具有指數(shù)穩(wěn)定且滿足H∞性能的輸出反饋控制器和濾波器.文獻[25]研究了雙頻采樣和丟包情況下的H∞控制問題,并給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)和控制器設計方法.文獻[26]將采集器端數(shù)據(jù)采樣周期,數(shù)據(jù)傳輸時滯和數(shù)據(jù)丟包統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為零階保持器的數(shù)據(jù)更新周期,實現(xiàn)了H∞跟蹤控制.文獻[27]研究了切換頻度同Markov切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的關系,保證了網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的隨機指數(shù)鎮(zhèn)定.文獻[28]將丟包問題當作時延問題處理,提出了基于雙線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的預測控制算法.

預測控制因其滾動優(yōu)化、滾動實施、魯棒性強的特點,對處理網(wǎng)絡數(shù)據(jù)丟包等問題有著天然優(yōu)勢.近年來,很多學者對網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的預測控制問題進行了廣泛研究,并取得了一定的成果.但現(xiàn)有網(wǎng)絡預測控制文獻多采用預測控制的設計方法,即得到控制器后分析系統(tǒng)穩(wěn)定性,如文獻[29?30].而對于預測控制的綜合方法—具有穩(wěn)定性保證的預測控制的研究則較少,這種綜合方法的優(yōu)勢在于只要優(yōu)化可行則系統(tǒng)穩(wěn)定,如文獻[31?32].文獻[31]考慮具有雙通道數(shù)據(jù)丟包的網(wǎng)絡控制系統(tǒng),從魯棒分析的角度建立了網(wǎng)絡控制系統(tǒng)模型,通過構(gòu)造無窮時域的約束優(yōu)化問題,給出了具有穩(wěn)定性和可行性保證的預測控制.文獻[32]在文獻[5]的基礎上,通過引入馬爾科夫隨機丟包,并擴展相關約束條件,在隨機系統(tǒng)框架下,得到了丟包網(wǎng)絡環(huán)境下的預測控制綜合方法.更多相關研究請參考文獻[33?35].然而,上述文獻均考慮狀態(tài)可測情況下的網(wǎng)絡預測控制.如果狀態(tài)不可測,則文獻[31?35]中的方法不再適用.此外,這些文獻都不考慮非線性對象及干擾問題.文獻[36]采用了T-S模糊模型來描述具有伯努利隨機丟包的非線性網(wǎng)絡控制系統(tǒng),并利用分段Lyapunov穩(wěn)定性分析方法,設計了能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)隨機穩(wěn)定的模糊控制器,但并未考慮干擾問題.文獻[37]解決了干擾作用下基于馬爾科夫丟包的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,但只適用于狀態(tài)可測的情況.因此,對網(wǎng)絡預測控制這一問題的研究還有很多工作可以做.

本文研究干擾作用下的非線性網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的輸出反饋預測控制問題.利用區(qū)間二型T-S模糊模型[38?41]描述具有參數(shù)不確定性的非線性對象,采用馬爾科夫鏈描述系統(tǒng)中的隨機丟包過程.通過引入二次有界技術(shù),得到了描述干擾作用下的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般方法.本文所提算法包含兩個部分:1)利用二次有界條件和S-過程,離線設計了狀態(tài)觀測器;2)通過將無窮時域控制作用參數(shù)化為一個自由控制作用加一個線性反饋控制律得到了輸出反饋預測控制.最后,論文討論了估計誤差集合的在線更新方法.

注1.I表示相應維數(shù)的單位陣.P>0(≥0)表示P是對稱正定(半正定)矩陣.表示.在對稱矩陣中,符號?表示對稱部分.diag{···}表示對角陣.表示關于正定對稱矩陣M的橢圓.λmin(M)表示矩陣M的最小特征值.代表關于x的條件期望.

1 問題闡述

1.1 區(qū)間二型T-S模糊模型

區(qū)間二型T-S模糊模型用IF-THEN規(guī)則可以描述為:

g1(μ(k)),g2(μ(k)),···,g?(μ(k)) 是前件變量,是規(guī)則i的區(qū)間二型模糊集.和分別代表狀態(tài)向量,控制輸入,系統(tǒng)干擾,系統(tǒng)輸出.Ai,Bi,Ci,Di,Ei是適當維數(shù)的常數(shù)矩陣,第i個模糊規(guī)則的激活強度為:

假設1.假設狀態(tài)不可測,(Ai,Ci)可觀測,不可測干擾有界且滿足.

區(qū)間二型模糊控制器第j個模糊規(guī)則可描述為:

其中d1(μ(k)),d2(μ(k)),···,dθ(μ(k)) 是前件變量,Ljι,j=1,2,···,r;ι=1,2,···,θ是規(guī)則j的區(qū)間二型模糊集.ud(k)∈ Rnu是控制器輸出,是估計狀態(tài).第j個模糊規(guī)則的激活強度為:

注2.從文獻[39?40]可知,與將取為定值相比,將定義為非線性函數(shù)可以減小控制器設計的保守性,故本文采用了文獻[39]的做法.此外,為了提高控制器的靈活性,文中的控制器與被控對象選取不同的隸屬函數(shù).

圖1 網(wǎng)絡控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Diagram of networked control systems

1.2 網(wǎng)絡描述

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)如圖1所示.引入隨機變量γ(k)∈{0,1}來表示數(shù)據(jù)在采樣時刻k的傳輸狀態(tài)(1表示數(shù)據(jù)傳輸成功,0表示發(fā)生丟包).假定丟包過程是在{0,1}之間的離散齊次馬爾科夫鏈,且轉(zhuǎn)移矩陣,其中,分別代表丟包率和恢復率.如果在k時刻數(shù)據(jù)傳輸成功,則;如果在k時刻發(fā)生丟包,則采用上一時刻的控制輸入,,即:

即只有在數(shù)據(jù)成功傳輸?shù)牟蓸訒r刻才更新控制輸入.則根據(jù)式(2),(3),可得閉環(huán)模型

注3.本文采用了文獻[42]的做法,通過附加通信鏈路的方式將當前時刻實際實施的控制輸入傳送到觀測器環(huán)節(jié).

注4.根據(jù)式(3)可知,表示發(fā)生η次連續(xù)丟包后的控制輸入,即γ(k)=γ(k?1)=···=γ(k?η+1)=0,η∈{1,···,χmax}代表連續(xù)丟包次數(shù),χmax為連續(xù)丟包上界,則最新的控制輸入.

定義1.對于任意初始狀態(tài),若滿足

則閉環(huán)系統(tǒng)(4)隨機穩(wěn)定.

文獻[43]采用二次有界技術(shù),解決了有界干擾影響下線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.本文將此方法推廣到了區(qū)間二型T-S模糊網(wǎng)絡控制系統(tǒng).

定義2.對所有允許的w(k+h),h≥0,系統(tǒng)(4)關于Lyapunov矩陣P二次有界,則等價于.

引理1[43].對所有允許的w(k+h),h≥0,如下結(jié)果等價:

a)系統(tǒng)(4)關于Lyapunov矩陣P二次有界;

2 離線狀態(tài)觀測器的設計

由于狀態(tài)未知,引入如下狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)狀態(tài):

則對于充分大的h,必有.

定理1.如果存在,滿足

則e(k+h|k)收斂于LH0,且.

證明.對于滿足的任意w(k+h),式(7)等價于

則式(9)成立.上式等價于

易知,式(11)成立,則必有下式成立

將Ge=H0Lp代入式(12)并根據(jù)Schur補引理,可得式(8).□

注5.由狀態(tài)觀測器(5)來估計系統(tǒng)狀態(tài)時,u(k)可通過式(3)得到.但由定理1可知,所設計的觀測器僅需基于誤差方程(6),采用二次有界條件得到,并不需要求出u(k)的具體值.

3 在線輸出反饋預測控制方法

在帶一個自由控制作用的輸出反饋預測控制中,ud(k|k)是控制序列的第一個元素,其余元素為:

其中

定義性能指標函數(shù)

在每個采樣時刻,施加如下約束

且令ε(k)滿足如下條件:

則本文需要求解的輸出反饋預測控制優(yōu)化問題可描述為

另外,考慮輸入約束:

其中utmax是一個正標量,ut(k+h|k)代表向量的第t個分量.

定理 2.考慮區(qū)間二型T-S模糊系統(tǒng)(2),對于給定的收斂速度λi和標量κ,如果存在ε,α,ud,對稱矩陣,及矩陣Yj滿足

其中

其中φ(1)為估計誤差界的初始值.

證明.1)約束式(15)的處理.在采樣時刻k,引入松弛矩陣Ψ=diag{W,T,H},分別考慮 1?→1,1?→0和 0?→1,0?→0(1指γ(h|k)=1,0指γ(h|k)=0)兩種情況,有:

由上述不等式,可得

則有

上式可保證式(30)成立.根據(jù)式(3),需要討論γ(k)=1和γ(k)=0兩種情況.

如果γ(k)=1,則數(shù)據(jù)傳輸成功,.對式(31),利用Schur補引理,可得式(18),其中.

如果γ(k)=0,則發(fā)生丟包,u(k)=u(k?1).對式(31),利用Schur補引理,可得式(19).

2)約束式(14)的處理.根據(jù)擴展狀態(tài)模型(13),二次有界條件(14)等價于

因為w(k+h)滿足,所以等價于.利用S-過程,式(14)等價于

其中κ∈(0,1).

如果γ(k+h|k)=1,考慮數(shù)據(jù)丟包率,則.如果滿足

如果γ(k+h|k)=0,考慮數(shù)據(jù)恢復率,則.如果滿足

則式(32)可成立.其中W0=(1?κ)M0?S1,Φ0是γ(h|k)為0時Υ的值.然后,將式(35)分別左乘,右乘其轉(zhuǎn)置,利用Schur補引理,并代入,,可得式 (22). 式(36)分別左乘,右乘其轉(zhuǎn)置,可得式(23).

由此可得

于是有

對于任意的c≥1,對式(37)兩邊從k=0到k=c求和,可得

即

其中z(0)是初始條件.由于

于是

從定義1可知,閉環(huán)系統(tǒng)是隨機穩(wěn)定的.

如果式(32)成立,則有

當h=1時,根據(jù)式(38)可得

如果式(15)滿足,則有

根據(jù)式(39)和式(40),有

由此可得

根據(jù)式(29),式(42)可改寫為

3)輸入約束(17)的處理.在將輸入約束處理成LMIs之前,引入如下條件:

在采樣時刻k+1時,根據(jù)式(3)可知,如果在k時刻數(shù)據(jù)傳輸成功,即γ(0|k)=1,在k+1時刻發(fā)生丟包,即γ(1|k)=0,則u(k+1)=u(k),必然滿足式(44),因此無需考慮1→0,只需考慮1→1,即γ(0|k)=1,γ(1|k)=1.如果式(24)滿足,則有

根據(jù)式(45),則有

在采樣時刻k+2時,對于γ(2|k)=1需要考慮以下兩種情況.a)1→1→1,即,利用式(24),則有,令.

當s=1時,如果式(25)和式(26)滿足,則有:

根據(jù)式(46)和式(47),可得

基于采樣時刻k+1和k+2的情況,在采樣時刻時,對于也只需要考慮以下兩種情況:,即,顯然成立.b),即,其中代表連續(xù)丟包次數(shù),. 令,如果式(27)滿足,則有

結(jié)合式(46),式(47)和式(48),可得

由此可知,當γ(h|k)=1時,即使發(fā)生了η次連續(xù)丟包,仍成立.

對于輸入約束(17),如果在采樣時刻k+h時發(fā)生丟包,根據(jù)式(3),輸入約束明顯滿足.如果數(shù)據(jù)傳輸成功,根據(jù)式(44),有:

式(28)可保證上式成立.□

帶一個自由控制作用的區(qū)間二型T-S模糊網(wǎng)絡輸出反饋預測控制算法如下所示:

離線

步驟1.選取參數(shù)λi=λ∈(0,1),計算式(8),得到H0和Lp的值.

步驟2.設定參數(shù).

在線

步驟1.在采樣時刻k≥0,在線求解定理2的優(yōu)化問題,得到控制輸入.

步驟2.發(fā)送控制輸入.如果數(shù)據(jù)傳輸成功,則有,否則,,.并通過附加鏈路傳輸實際控制輸入.

步驟3.估計狀態(tài).根據(jù)式(29)計算φ(k+1).

步驟4.更新采樣時刻至k+1,然后返回步驟1.

求解LMI優(yōu)化問題的復雜度可以利用與K3L成比例的多項式時間算法,其中K表示變量總數(shù),L表示LMI的總行數(shù).對于定理2,.由此可知,χmax增大,計算復雜度會呈線性增大;r,nx,nu增大,計算復雜度會呈指數(shù)增大.令r=nx=nu=χmax,分別取K和L中影響最大的部分,則可認為求解定理2的計算復雜度是.

4 仿真

考慮2個規(guī)則的區(qū)間二型T-S模糊模型,其系統(tǒng)矩陣如下所示:

被控對象和控制器的隸屬函數(shù)分別為:

圖2 被控對象和控制器的隸屬函數(shù)Fig.2 Membership functions of plant and controller

模糊模型的作用區(qū)域為x1(k)∈[?15,15].定義加權(quán)函數(shù)和.圖2為被控對象和控制器的上下隸屬函數(shù).假定系統(tǒng)是有界擾動,滿足kw(k)k2≤1,輸入約束為,初始狀態(tài),丟包上界χmax=4,數(shù)據(jù)傳輸狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,性能指標加權(quán)矩陣S1=I2,R=0.01,估計誤差初始界φ(1)=6.誤差函數(shù)的收斂速度λi=0.3,參數(shù)κ=0.39.針對此區(qū)間二型T-S模糊網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3～8所示.圖3為數(shù)據(jù)傳輸狀態(tài),1表示數(shù)據(jù)傳輸成功,0表示發(fā)生丟包.圖4表示閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應.圖5表示系統(tǒng)控制輸入.圖6表示性能指標上界ε的軌跡.圖7表示估計誤差的界.圖8表示狀態(tài)響應和估計誤差橢圓集合.觀測器參數(shù)、性能指標及計算時間如表1所示.仿真結(jié)果表明,本文給出的輸出反饋預測控制方法是可行且有效的.

表1 觀測器參數(shù),性能指標及計算時間Table 1 Observer parameters,performance objective,and computational time

圖3 數(shù)據(jù)傳輸狀態(tài)Fig.3 Data transmission status

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應Fig.4 The closed-loop state responses

圖5 系統(tǒng)控制輸入Fig.5 System control input

圖6 性能指標上界ε的軌跡Fig.6 Evolutions of performance objective upper boundε

圖7 估計誤差的界Fig.7 The estimation error bound

圖8 狀態(tài)軌跡和估計誤差橢圓集合Fig.8 State trajectories and ellipsoidal bounds of estimation error

5 結(jié)論

本文研究了具有丟包的非線性網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的輸出反饋預測控制問題.利用區(qū)間二型T-S模糊模型描述具有參數(shù)不確定性的非線性對象.采用馬爾科夫鏈描述丟包過程.通過引入二次有界技術(shù),離線設計了狀態(tài)觀測器,并通過將無窮時域控制作用參數(shù)化為一個自由控制作用和線性反饋律,得到了在線預測控制方法.此外,本文還討論了在線更新估計誤差橢圓集合的方法.最后,通過仿真例子,驗證了此算法的有效性和合理性.