李云 孫書利 郝鋼

濾波算法在定位、目標跟蹤、導航和故障診斷等方面發(fā)揮著重要作用[1?3].然而,單個傳感器難以滿足高精度、高容錯性等要求,因此,多傳感器融合估計技術應運而生.在過去的幾十年里,線性系統(tǒng)的融合估計理論已經有了一系列完整的理論基礎[3].目前常用的信息融合估計方法主要包括兩個基本的結構:集中式融合估計和分布式融合估計.集中式融合估計將所有傳感器信息進行增廣,并基于增廣的觀測設計融合狀態(tài)估計[4?5].該算法沒有信息丟失,當所有傳感器沒有故障時,估計精度具有全局最優(yōu)性,可作為其他融合算法在精度上的衡量標準,也是現在多傳感器系統(tǒng)經常采用的融合方式之一[6?7].然而,由于集中式融合算法計算量大,在傳感器數量較多的情況下,集中式融合算法會導致整個系統(tǒng)實時性差.特別是當存在故障傳感器時可能導致濾波器發(fā)散.分布式融合算法是把各個局部狀態(tài)估計送入融合中心,根據一定的融合準則進行加權得到融合估計[3,8?9].分布式融合方式具有良好的魯棒性,計算量小且容錯性強,估計精度是局部最優(yōu)、全局次優(yōu)的.

加權觀測融合算法根據加權最小二乘準則,將集中式融合系統(tǒng)增廣的高維觀測進行壓縮處理,得到降維的觀測,基于降維觀測設計的濾波器可以明顯地減小計算負擔.對于線性系統(tǒng),加權觀測融合算法在最小方差意義下和集中式融合算法具有數值等價性,因而具有重要的應用價值[10].然而,絕大多數系統(tǒng)具有非線性特性,例如,大多數定位系統(tǒng)觀測方程是在球面坐標系下建立的,而估計和分析狀態(tài)時往往又是在笛卡爾坐標系下進行的,這使得觀測方程具有某種非線性特性[6?7].

近些年,基于貝葉斯估計框架和采樣逼近的非線性濾波算法得到了廣泛研究,例如無跡Kalman濾波器 (Unscented Kalman filer,UKF)[11?12]、容積濾波器 (Cubature Kalman filer,CKF)[13?14]、粒子濾波器(Particle filter,PF)[15],以及其他一些非線性濾波器[16].這些非線性濾波器都可以統(tǒng)一處理非線性濾波問題,但各具優(yōu)缺點.UKF與CKF具有相同的濾波精度,區(qū)別在于粒子權值的計算上存在差異.PF在有充足粒子條件下具有較高的濾波精度,精度普遍要高于UKF與CKF,但是較大的計算負擔成為了PF的一大缺點.事實上,以上提到的濾波器都可以與本文提出的加權觀測融合算法相結合,形成加權觀測融合濾波算法,本文將以UKF濾波器為例,給出一種非線性加權觀測融合濾波算法.

非線性濾波算法的大量涌現表明了學者們對非線性問題的關注.涉及到非線性系統(tǒng)的融合方法也層出不窮[17?20].近年來,有學者通過隨機集、人工神經網絡、模糊邏輯、粗糙集、D-S證據理論等非概率方法提出了非線性融合方法[21?23].這些方法可實現非線性系統(tǒng)的信息融合以及決策級融合,但這些方法普遍存在信息丟失等情況,所以這些算法不具有最優(yōu)性或漸近最優(yōu)性.文獻[24]提出了一種在線性最小方差意義下最優(yōu)非線性加權觀測融合UKF濾波器.該算法要求傳感器觀測方程是相同的,因此具有較大的局限性.文獻[25]中,基于Taylor級數和UKF,提出了加權觀測融合無跡Kalman濾波器.該算法可以統(tǒng)一處理非線性融合估計問題,但該算法需要實時計算Taylor級數展開項系數,這將帶來一定的在線計算負擔,而且在展開點(狀態(tài)預報)偏離過大,或者Taylor級數展開項較少的時候,濾波精度難以保證.

Gauss-Hermite逼近方法[26?28]可以通過固定點采樣、Gauss函數和Hermite多項式逼近任意初等函數,且具有較好的擬合效果.為了降低該逼近方法的計算負擔,本文采用了分段處理方法,即將狀態(tài)區(qū)間進行分段逼近,并離線計算每段的加權系數矩陣.本文主要創(chuàng)新點及工作如下:首先,利用分段的Gauss-Hermite逼近方法將系統(tǒng)觀測方程統(tǒng)一處理,得到近似的中介函數以及系數矩陣.進而基于此中介函數、系數矩陣以及加權最小二乘法,提出了非線性加權觀測融合算法.該融合算法可對增廣的高維觀測進行壓縮降維,為后續(xù)濾波等工作降低計算負擔.最后,結合UKF濾波算法,提出了非線性加權觀測融合UKF濾波算法(Weighted measurement fusion UKF,WMF-UKF).該算法可以處理非線性多傳感器系統(tǒng)的融合估計問題.與集中式融合UKF(Centralized measurement fusion UKF,CMF-UKF)算法相比,WMF-UKF具有與之逼近的估計精度,但計算量明顯降低,并且隨著傳感器數量的增加,該算法在計算量上的優(yōu)勢將更加明顯.本文為非線性多傳感器系統(tǒng)信息融合估計提供了一個有效途徑.在定位、導航、目標跟蹤、通信和大數據處理等領域具有潛在應用價值[29?31].

1 問題闡述

考慮一個非線性多傳感器系統(tǒng)

其中,E為均值號,上標T為轉置號,δtt=1,δtk=0().

在傳感器網絡中,傳感器的能量是有限的,為了節(jié)省能量,假設分布在空間上的傳感器之間沒有通信,傳感器的觀測數據通過網絡傳輸給融合中心,在融合中心對數據進行壓縮和濾波處理.而在工程中經常遇到的未知參數問題[32?33]、相關性問題[34?35]、傳感器分布及管理[36]等問題,本文沒有涉及.

本文將從集中式融合結構入手,引出本文所提出的基于Gauss-Hermite逼近的加權觀測融合方法.該融合方法將觀測函數分解成Gauss函數和Hermite多項式的組合形式,利用其系數矩陣對集中式融合系統(tǒng)觀測方程進行降維,得到一個維數較低的加權融合觀測方程.對加權融合觀測方程與狀態(tài)方程形成的加權觀測融合系統(tǒng)進行濾波器設計,可獲得與集中式融合逼近的估計精度,并降低了集中式融合估計算法的計算量.

引理1[4?5].對系統(tǒng)式(1)和式(2),全局最優(yōu)集中式融合系統(tǒng)的觀測方程為:

其中

并且v(0)(k)的協(xié)方差矩陣由下式給出:

對系統(tǒng)式(1)和式(4),應用非線性濾波算法(例如擴展Kalman濾波器(Extended Kalman filter,EKF),UKF,CKF,PF等),可得到相應的全局最優(yōu)集中式融合非線性濾波器.但由于集中式融合的觀測方程式(4)是觀測增廣擴維形成的,使得基于該高維觀測的估計算法的計算負擔隨著傳感器數量的增加而迅速增加.因此,找到等效的或者近似的融合方法來降低計算量是十分必要的.下面本文將解決非線性系統(tǒng)增廣觀測的降維問題.

定理1.對系統(tǒng)式(1)和式(2),若存在一個中介函數ψ(x(k),k)∈Rψ,使得局部觀測函數h(j)(x(k),k)(j=1,2,···,L)滿足h(j)(x(k),k)=H(j)ψ(x(k),k),其中矩陣H(j)∈Rmj×ψ,則加權觀測融合系統(tǒng)的觀測方程可由下式給出:

其中

其中,R(0)?1=(R(0))?1,并且v(I)(k)的協(xié)方差矩陣為:

其中,M(列滿秩)和(行滿秩)是的滿秩分解矩陣:

其中,M,H(I)可以用Hermite規(guī)范形得到[25].

證明.由于M和H(I)為H(0)的滿秩分解,則有:

由于M為列滿秩,因而MTR(0)?1M為非奇異矩陣.令H(I)ψ(x(k),k)為觀測對象,應用加權最小二乘法,則H(I)ψ(x(k),k)的最優(yōu)Gauss-Markov估計為式(9)所示.□

對加權觀測融合系統(tǒng)式(1)和式(9),應用非線性濾波算法,可得到全局最優(yōu)加權觀測融合非線性濾波算法.

2 Gauss-Hermite逼近

本節(jié)將引入一種函數逼近方法,該方法借由Gauss函數和Hermit多項式的組合形式逼近任意初等函數.通過此逼近方法,可得到的近似函數,進而可將統(tǒng)一轉化為的形式,其中,ψ(x(k),k)由Gauss函數和Hermit多項式構成,H(j)為系數矩陣.非線性多傳感器系統(tǒng)觀測函數經過轉換,將滿足定理1中要求.

引理 2[26].設在區(qū)間[a,b]中存在一個點集,對于任意點存在yi,滿足,其中y(x)是一個確定的函數.進而y(x)的近似函數可由Gauss-Hermite折疊函數得出:

其中,γ是一個與?xi(i=1,···,S)有關的常系數,為一系列Hermite多項式的組合:

由式(17)和式(18)有:

其中,‘!’表示階乘,雙階乘‘m!!’表示不超過自然數m且與m有相同奇偶性的所有正整數的乘積.

注1.對于多維情況,假設是一個采樣集合,對于集合中每一個點存在點滿足,其中Y(·)是確定的多維函數.那么Gauss-Hermite折疊函數如下:

其中,n維函數為函數Y(·) 的近似函數. 引理2給出了一種利用Gauss函數和Hermite多項式組合的逼近方法,該方法可以利用較少的函數項獲得很好的逼近效果.如果將引理1中的視為定理 1 中的中介函數ψ(x(k),k),將視為H(j),則定理1可以得以實施.

3 基于Gauss-Hermite逼近的加權觀測融合算法

由文獻[26]和大量仿真試驗表明,在p=0,2,4等情況下,合理的選擇 ?xiμ和γμ(i=1,···,S;μ=1,···,n) 即可很好地逼近任意初等連續(xù)函數. 本文選取p=2,?xiμ=1,γμ=γ(i=1,···,S;μ=1,···,n), 則由式 (18) 和式(19)有C2=?1/4,H2(u)=4u2?2,進而有f2(u)=1.5?u2.令

定理2.對系統(tǒng)式(1)和式(2),基于Gauss-Hermite逼近的近似加權觀測融合方程為:

證明.利用式(22)將集中式融合系統(tǒng)觀測方程式(6)進行近似,得到近似的集中式融合觀測方程:

其中

注2.定理2通過Gauss-Hermite逼近構建了一個近似的中介函數.它使得形如式(1)和式(2)的任意非線性多傳感器系統(tǒng)的局部觀測函數具有了定理1中所闡述的關系,可使定理1得以實施.

注3.如果狀態(tài)范圍過大,擬合采樣點數量會急劇增加,導致計算量增加,因此本文采取分段的處理方法.例如,對一維狀態(tài)系統(tǒng),可以將狀態(tài)的范圍劃分成多個區(qū)間,對二維狀態(tài)系統(tǒng),可以將狀態(tài)的范圍分成若干小的區(qū)域.在每個區(qū)間或區(qū)域分別進行Gauss-Hermite逼近.逼近過程中形成的中介函數及其滿秩分解矩陣可離線計算,在線調用,減少了在線計算負擔.

4 WMF-UKF算法

對加權觀測融合系統(tǒng)式(1)和式(23),應用非線性濾波算法(EKF、UKF、PF、CKF等),可得加權觀測融合非線性濾波算法.本文將以UKF為例,給出一種基于Gauss-Hermite逼近和UKF濾波算法的非線性加權觀測融合估計算法.

4.1 基于Gauss-Hermite逼近的WMF-UKF算法

本文UKF采樣策略選用比例對稱抽樣,即Sigma采樣點可由式(31)計算.

且有粒子權值如式(32)和式(33)所示.

其中,α>0是比例因子,λ=α2(n+κ)?n,κ是比例參數,通常設置κ=0或者κ=3?n,β=2.下面給出WMF-UKF算法.

WMF-UKF算法.對非線性系統(tǒng)式(1)和式(2),基于定理2的WMF-UKF算法如下:

步驟1.設置初始值

基于多傳感器的觀測數據z(j)(0)～z(j)(k)(j=1,2,···,L),加權觀測融合系統(tǒng)Sigma采樣點可以計算為:

其中初值條件為:

步驟2.預測方程

預測Sigma采樣點:

狀態(tài)預報:

狀態(tài)預測誤差方差陣:

觀測預報Sigma采樣點:

觀測預報:

觀測預報誤差方差陣:

協(xié)方差矩陣由下式計算:

步驟3.更新方程

濾波增益由下式計算:

濾波誤差協(xié)方差矩陣為:

4.2 WMF-UKF算法的時間復雜度分析

算法1中的式(45)出現了矩陣求逆運算,因此該算法的時間復雜度由決定[37],即WMF-UKF的時間復?雜度為O(r·3),而CMFUKF的時間復雜度為.由定理2知,所以WMF-UKF的時間復雜度小于CMF-UKF.

另外,隨著傳感器數量L的增加,將不斷增加.而在擬合采樣點數S不改變的情況下,由于,故r將保持在Sn(或者更小)不改變.因此隨著傳感器數量的增加,WMFUKF較CMF-UKF在計算量上的優(yōu)勢將更加明顯.

5 仿真例子

例1.考慮一個帶有4傳感器的非線性系統(tǒng)[38]

其中

w(k)和v(j)(k)(j=1,···,4)是相互獨立的白噪聲,方差分別為:,.狀態(tài)初值為x(0)=0.由于狀態(tài)x(k)介于?1～4,因此選取擬合采樣點集為:{?2,?1,···,5}(8 個等間隔點),相應的系數選取為:γ=1.選擇p=2,則中介函數為:

系數矩陣H(0),M和H(I)分別為:

最后得到基于Gauss-Hermite逼近的WMFUKF估計曲線和真實曲線如圖1所示.

本例采用k時刻累積均方誤差(Accumulated mean square error,AMSE)[24,39]作為衡量估計準確性的指標函數如式(55)所示.

其中,xi(t)是t時刻第i次Monte Carlo實驗的真實值,是t時刻第i次Monte Carlo實驗的估計值.獨立進行20次Monte Carlo實驗,得到的AMSE曲線如圖2所示,其中本例選取局部UKF估計AMSE曲線(Local filter 1～4,LF 1～4)、集中式融合UKF估計AMSE曲線(CMF-UKF)以及本文提出的加權觀測融合UKF估計AMSE曲線(WMF-UKF)進行對比.由圖2可以看出CMFUKF與WMF-UKF具有接近的估計精度,而高于局部UKF.在計算量方面,由于本文壓縮后的觀測為3維,因此WMF-UKF濾波過程中的時間復雜度為O(33).而集中式融合系統(tǒng)觀測方程為4維,因此時間復雜度為O(43).因此,WMF-UKF計算量要低于CMF-UKF.

圖1 真實狀態(tài)及WMF-UKF估計曲線Fig.1 Curves of the true state and the WMF-UKF estimate

圖2 局部UKF,WMF-UKF以及CMF-UKF的AMSE曲線Fig.2 AMSE curves of local UKF,WMF-UKF and CMF-UKF

例2.考慮一個帶有8傳感器的平面跟蹤系統(tǒng),在笛卡爾坐標下的狀態(tài)方程和觀測方程如下:

經測試,本例選取Gauss-Hermite系數γ=1.04.為了減少計算量,本例將目標移動范圍劃分成了16個1平方公里的子區(qū)域,如圖3(a)所示.每個子區(qū)域采用以該區(qū)域為中心,外擴2點的方法避免邊緣擬合效果不良.以子區(qū)域7為例,以點(0,0),(0,1),(1,1)和(1,0)所圍區(qū)域為中心,外擴2點得到該子區(qū)域的擬合采樣點如圖3(b)所示.計算該區(qū)域的系數矩陣,如圖3(c)所示.不難看出,由于8個傳感器位于4個點,這里至少可以將16維的集中式融合觀測方程壓縮成8維的加權觀測融合方程.將16個區(qū)域對應的與中介函數離線計算存儲并形成數據庫.根據每時刻狀態(tài)預報,在數據庫中選取相應的以及可減少在線計算負擔.

為了對比分析WMF-UKF的精度和計算量,本文選取了8傳感器集中式融合UKF(8-CMF-UKF),5傳感器集中式融合UKF(5-CMF-UKF)以及3傳感器集中式融合UKF(3-CMF-UKF).傳感器的選擇原則是盡量的分散,例如,3-CMF-UKF選擇的是1,3和5傳感器,5-CMF-UKF選擇的是1,3,5,7和8傳感器.各種融合系統(tǒng)的濾波跟蹤軌跡曲線如圖4所示.

本例采用k時刻位置(x(k),y(k))的累積均方誤差(AMSE)作為指標函數,如式(58)所示.

其中,(xi(t),yi(t))是t時刻第i次Monte Carlo實驗的真實值,是t時刻第i次Monte Carlo實驗的估計值.獨立進行20次Monte Carlo實驗,得到的AMSE曲線如圖5所示.

圖4 真實軌跡和WMF-UKF,8-CMF-UKF和5-CMF-UKF的估計曲線Fig.4 True and estimated tracks using WMF-UKF,8-CMF-UKF and 5-CMF-UKF

在精度方面,由圖5可以看到AMSE由低到高依次是8-CMF-UKF,WMF-UKF,5-CMF-UKF和3-CMF-UKF.實驗說明,隨著傳感器數量的增加,集中式融合算法的精度不斷提高,而本文提出的WMF-UKF算法的精度接近全觀測集中式融合8-CMF-UKF.

在計算量方面,加權觀測融合系統(tǒng)觀測方程為8維,因此時間復雜度為O(83).3傳感器集中式融合系統(tǒng)觀測方程為6維,因此時間復雜度為O(63).5傳感器集中式融合系統(tǒng)觀測方程為10維,因此時間復雜度為O(103).8傳感器集中式融合系統(tǒng)觀測方程為16維,因此時間復雜度為O(163).因此,時間復雜度由高到低依次為:8-CMF-UKF,5-CMFUKF,WMF-UKF和3-CMF-UKF.

圖5 位置融合估計的AMSE曲線Fig.5 AMSE curves of position fusion estimates

此外,為了比較分析,本例應用文獻[25]中的Taylor級數逼近方法得到的WMF-UKF的AMSE曲線也繪于圖5中,這里我們采用2階Taylor級數逼近.由于Taylor級數展開階數以及展開點等原因,使得其精度低于其他融合算法.而且與本文的不需要在線計算融合矩陣的WMF-UKF算法相比,文獻[25]的WMF-UKF(2-order Taylor)算法需要根據在線預報值實時計算融合參數矩陣,因而具有更大的在線計算負擔.

本例根據不同Hermite多項式(p=0,2,4)情形進行了仿真分析.經離線測試,選取Gauss-Hermite系數分別為:γ=0.83(p=0),γ=1.04(p=2),γ=1(p=4),其他參數不變.得到Monte Carlo實驗的AMSE曲線如圖6所示.圖6中可以看到,Hermite多項式的數量與函數逼近效果并無直接關系,得到融合估值精度間也不存在漸近最優(yōu)性.因此,根據被逼近函數形式,離線測試逼近函數效果,對本文所提出WMF-UKF算法的精度起到非常關鍵的作用.

圖6 帶不同Hermite多項式的WMF-UKF位置AMSE曲線Fig.6 AMSE curves of WMF-UKFs with different Hermite polynomials for position

綜上,合理的選擇Gauss-Hermite逼近函數以及相應的系數γ,可使本文提出的WMF-UKF在精度方面接近集中式融合算法,而減少計算量.

6 結論

本文首先基于Gauss-Hermite逼近方法和加權最小二乘法,提出了一種具有普適性的非線性加權觀測融合算法.進而結合UKF算法,提出了非線性加權觀測融合UKF(WMF-UKF)算法.與CMFUKF算法相比,WMF-UKF具有與之逼近的估計精度,但計算量明顯降低,并且隨著傳感器數量的增加,該算法在計算量上的優(yōu)勢將更加明顯.本文通過仿真實例對比已有的相關算法,說明了本算法的有效性.