江蘇省南京市第二十九中學(xué)致遠(yuǎn)校區(qū)(210029) 王玉佳
G·波利亞曾指出:數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面,一方面它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué),從這個(gè)方面看數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但另一方面,創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來都像一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué).數(shù)學(xué)需要實(shí)驗(yàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以學(xué)生活動(dòng)為主,有助于為學(xué)生提供一定的時(shí)間和空間,供學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、研究問題,充分發(fā)揮學(xué)生的自主性,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出:“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程.”“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程.”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是教師根據(jù)數(shù)學(xué)問題或其中各種元素所創(chuàng)設(shè)的問題情境,在這情境下,學(xué)生通過觀察、操作、實(shí)踐、試驗(yàn)等活動(dòng),自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、驗(yàn)證問題,總結(jié)新結(jié)論.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是讓學(xué)生被動(dòng)地接受教科書上或教師講授的現(xiàn)成結(jié)論,而是讓學(xué)生從自己已有的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”出發(fā),通過動(dòng)手、動(dòng)腦去獲得新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),逐步構(gòu)建并完善、發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力,還有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作精神.
(一)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本理念
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是讓學(xué)生借助于一定的物質(zhì)儀器或技術(shù)手段,并在數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)理論的指導(dǎo)下,借助于對(duì)實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化的操作來學(xué)(理解)數(shù)學(xué)、用(解釋)數(shù)學(xué)或做(建構(gòu))數(shù)學(xué)的一類數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).
(二)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使學(xué)生“從教學(xué)的旁觀者變成教學(xué)的參與者”,它幫助學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)造性思維,積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),是數(shù)學(xué)教學(xué)的必要補(bǔ)充,體現(xiàn)了全面的、現(xiàn)代的數(shù)學(xué)觀.
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是過程式教學(xué),體現(xiàn)了動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)教學(xué)觀,它包含問題、語言、方法、命題四個(gè)要素,其中要用語言描述問題,用方法解決問題,結(jié)果以命題的形式呈現(xiàn),完成過程式的教學(xué).
(三)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)施的方向
從學(xué)生已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流,發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題,促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,提高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí).讓學(xué)生綜合地、整體地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,在鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)的縱向聯(lián)系的同時(shí),增強(qiáng)學(xué)科間知識(shí)的橫向聯(lián)系,促進(jìn)學(xué)生知識(shí)體系的完整性.加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,使得學(xué)生的學(xué)習(xí)方式得到真正的轉(zhuǎn)變.
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)考慮教學(xué)硬件設(shè)施、所學(xué)內(nèi)容、學(xué)生能力,應(yīng)材施教、因地制宜.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,學(xué)生是活動(dòng)的主人,教師是組織者、引導(dǎo)者與合作者,教師要充分發(fā)揮主導(dǎo)作用.引導(dǎo)學(xué)生在“做”中學(xué)、“做”中思考,讓學(xué)生養(yǎng)成思考問題、發(fā)現(xiàn)問題,提出猜想、驗(yàn)證猜想的獨(dú)立處理問題的好習(xí)慣.因此應(yīng)該考慮如下主要原則:
(一)數(shù)學(xué)思想和實(shí)踐緊密結(jié)合的原則
數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性和實(shí)踐性很強(qiáng)的科學(xué),它與人類的生產(chǎn)、生活實(shí)際緊密相連.在傳統(tǒng)的教學(xué)中,忽視了其應(yīng)用性,導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅可以在邏輯推理證明定理和假設(shè),將實(shí)驗(yàn)與學(xué)生的實(shí)際生活割裂開來,使學(xué)生逐漸失去了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.
讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué),我們不僅要引導(dǎo)學(xué)生把生活經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中來,還要反過來引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察、體會(huì)生活中的數(shù)學(xué),用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題;面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí),主動(dòng)尋求其實(shí)際背景,通過已有知識(shí)探索其應(yīng)用價(jià)值;面對(duì)實(shí)際問題,主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決的策略.
因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,需要注重強(qiáng)化了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用性,將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與學(xué)生的日常生活實(shí)際緊密聯(lián)系起來,讓學(xué)生從身邊熟悉的事物入手,產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的濃厚興趣,并積極參加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),從中獲益提高.
(二)教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位辯證統(tǒng)一的原則
陸游說過“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行”.從書本上得到的知識(shí)畢竟比較膚淺,要透徹地認(rèn)識(shí)事物還必須親自實(shí)踐.學(xué)生的學(xué)習(xí)也是一樣,只有動(dòng)手操作和積極思考才能出真知.教師不再是簡單的灌輸,解答疑惑,而是引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)探索知識(shí),課堂上呈現(xiàn)的不僅是教師的“教”而更是學(xué)生在“做”中學(xué)的場景.學(xué)生要養(yǎng)成自己主動(dòng)的用數(shù)學(xué)眼光去思考問題,解決問題的習(xí)慣.
因此,實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法的選擇必須充分考慮兩者的辨證關(guān)系,以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性為出發(fā)點(diǎn),只有在學(xué)生想學(xué)和愿意學(xué),由“要我做實(shí)驗(yàn)”轉(zhuǎn)變成“我要做實(shí)驗(yàn)”的前提下,其主體作用和地位得以充分發(fā)揮,才能達(dá)到實(shí)驗(yàn)教學(xué)的目的.
(三)適用性原則
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的內(nèi)容應(yīng)緊密聯(lián)系學(xué)生身邊的物體、現(xiàn)象來設(shè)計(jì);以學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)水平、心理能力發(fā)展水平來設(shè)計(jì).
中學(xué)生是正在成長的人,在這個(gè)年齡階段,學(xué)生具有獨(dú)特的認(rèn)知特點(diǎn)和思維特點(diǎn).實(shí)驗(yàn)適合學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn),符合其認(rèn)知規(guī)律可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇和積極性,反之會(huì)損傷.以學(xué)生身邊常見的物體現(xiàn)象作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象,使學(xué)生有一種親切感,感到數(shù)學(xué)并不神秘,并不遙遠(yuǎn),就在身邊,有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和激發(fā)他們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究的興趣.
(四)適度性原則
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)活動(dòng)的一種補(bǔ)充和輔助,而不是替換.它應(yīng)當(dāng)起到一個(gè)“畫龍點(diǎn)睛”的作用.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有其優(yōu)勢,但也有局限性,不可為了實(shí)驗(yàn)而實(shí)驗(yàn).好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)選好題、選好點(diǎn),側(cè)重于對(duì)有較強(qiáng)抽象性概念生成問題、有較強(qiáng)戰(zhàn)略性的探索活動(dòng)以及令人質(zhì)疑的數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).
著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出:“教師在課堂教學(xué)中講什么當(dāng)然重要,然而學(xué)生想什么、做什么卻是千百倍地重要”,“在給定條件下應(yīng)讓學(xué)生們盡可能多地靠他們自己去發(fā)現(xiàn)、去探索”.下面結(jié)合具體案例的分析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在課堂教學(xué)中的探索與實(shí)踐.
(一)通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)建立數(shù)學(xué)模型
在數(shù)學(xué)建模的過程中,不是直接用現(xiàn)成的知識(shí)教學(xué)生,而是根據(jù)充分利用實(shí)驗(yàn)手段和實(shí)驗(yàn)器材,設(shè)計(jì)一些開放性的探究問題,增加輔助環(huán)節(jié),從而使學(xué)生親歷樹學(xué)建構(gòu)過程,指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手算一算、畫一畫、量一量,去探究題目,光想不動(dòng)手,往往不得入門,動(dòng)手做,常會(huì)有啟發(fā).
案例測量硬幣的厚度和質(zhì)量(實(shí)驗(yàn)器材:五角、一元硬幣若干,刻度尺、天平)
本節(jié)課是七下10.5用二元一次方程解決問題開頭的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的活動(dòng).
師:五角硬幣和一元硬幣若干,你會(huì)提出怎樣的問題?
生:有多少錢?有多厚?有多重?
師:你覺得可以如何解決?
生:目前無法解決,需要添加條件.
師:五角硬幣和一元硬幣一共6.5元,那么兩種硬幣分別有多少個(gè)?
生:設(shè)五角硬幣有x個(gè),一元硬幣有y個(gè),可以得到方程0.5x+y=6.5.
師:有多少種情況?答案是否唯一?
生:不唯一.
師:加一個(gè)條件:一共有10個(gè),那么兩種硬幣分別有多少個(gè)?
生:設(shè)五角硬幣有x個(gè),一元硬幣有y個(gè),解決可用方程組就可以解決了.
師:如果無法確定硬幣的總錢數(shù)與總個(gè)數(shù),那么如何確定這兩種硬幣的個(gè)數(shù)?你覺得可以如何解決?
生:可以通過測量,尺子量出厚度,天平稱出質(zhì)量
五角硬幣的總厚度+一元硬幣的總厚度=總厚度
五角硬幣的總質(zhì)量+一元硬幣的總質(zhì)量=總質(zhì)量
在前面的問題中學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)一個(gè)等量關(guān)系無法解決問題,兩個(gè)未知數(shù)需要兩個(gè)等量關(guān)系來解決,目前沒有已知的量,但可以借助手邊的工具來測量.在測量中學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)只測量一枚硬幣會(huì)有誤差,必須取多枚硬幣取平均值,為了數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確多次測量取平均值,在學(xué)生動(dòng)手操作的過程中,學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的問題,并提出,探索處理的方法,最終解決問題.
(二)通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)概括數(shù)學(xué)知識(shí)
美國教育學(xué)家奧蘇泊爾說過:“影響學(xué)生學(xué)習(xí)的重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么”.因此,在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生已有的知識(shí)水平和經(jīng)驗(yàn)出發(fā),準(zhǔn)確把握教學(xué)起點(diǎn),合理設(shè)計(jì)課堂教學(xué).同底數(shù)冪的除法的相關(guān)知識(shí)正是零指數(shù)冪教學(xué)的起點(diǎn),學(xué)生只有在明晰了同底數(shù)冪的除法的前提下再來學(xué)習(xí)零指數(shù)冪,才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.因此設(shè)計(jì)以下的教學(xué)活動(dòng).
案例零指數(shù)冪(七下8.3)
活動(dòng)一
提問:若m=n,a/=0,m、n為正整數(shù),am÷an如何計(jì)算?能否運(yùn)用前面所學(xué)的同底數(shù)冪相除的運(yùn)算性質(zhì)?
對(duì)于計(jì)算,學(xué)生會(huì)借助除法的意義進(jìn)行計(jì)算,am÷an=am÷am=1.
學(xué)生思考:若運(yùn)用已學(xué)同底數(shù)冪相除的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算,當(dāng)m=n時(shí),am÷an=am-n=a0,繼而思考:a0是什么?等于幾?猜想是不是a0=1?
提出這個(gè)切口較大的問題,由學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā)思考問題,從而發(fā)現(xiàn)問題,進(jìn)而得出猜想,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的探究欲望.
活動(dòng)二
(1)思考:一張紙對(duì)折1次是2層,對(duì)折2次是4層,對(duì)折3次是8層,對(duì)折4次是16層……,對(duì)折后紙的層數(shù)與對(duì)折的次數(shù)之間的關(guān)系可以表示成什么?若沒有將紙對(duì)折,如何表示,紙張的層數(shù)又為多少?
(2)觀察數(shù)軸上表示 24、23、22、21的點(diǎn)的位置是如何隨著指數(shù)的變化而變化的?你有什么猜想?
圖1
(3)由上面兩個(gè)活動(dòng),你有什么發(fā)現(xiàn)?
(4)得到規(guī)定:a0=1(a/=0)即任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1.
創(chuàng)設(shè)學(xué)生比較熟悉的可操作情境——“折紙”,使學(xué)生從中觀察得出對(duì)折后紙的層數(shù)與對(duì)折的次數(shù)之間的關(guān)系中存在的規(guī)律,從而得出猜想.再借助數(shù)軸的幾何直觀,引導(dǎo)學(xué)生觀察得出冪的值以及指數(shù)的變化規(guī)律,繼而得出猜想.由兩個(gè)實(shí)際的活動(dòng),讓學(xué)生原有的冪的指數(shù)可以擴(kuò)展到零指數(shù)冪,充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡,讓學(xué)生從中感受從特殊到一般、從具體到抽象的思考問題的方法,有助于學(xué)生借助學(xué)習(xí)“零指數(shù)”所獲得的經(jīng)驗(yàn),進(jìn)一步嘗試對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義做出合理的規(guī)定,發(fā)展了學(xué)生理性的精神.
(三)通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)突破教學(xué)難點(diǎn)
案例證明三角形內(nèi)角和(七下12.2)
學(xué)生小學(xué)時(shí)已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°,根據(jù)小學(xué)經(jīng)驗(yàn)他們知道可以通過通過操作實(shí)驗(yàn).將三角形的角撕下,拼起來.但本節(jié)課是需要通過理論來證明三角形的內(nèi)角和是180°,難點(diǎn)就在于如何去做輔助線.
于是借助撕紙實(shí)驗(yàn)找尋解題方法.
先撕下一個(gè)角,拼到另一個(gè)角的旁邊.(圖2)學(xué)生發(fā)現(xiàn)移動(dòng)的角相等,而且形成了一組內(nèi)錯(cuò)角,進(jìn)而想到了:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.于是想到過一點(diǎn)作輔助線的方法(圖3),來得到三角形內(nèi)角和是180°.
圖2
圖3
接著有同學(xué)撕下第二個(gè)角,繼續(xù)拼(圖4),因此將剛剛輔助線延長即可(圖5),
圖4
圖5
或者如(圖6)(圖7).
圖6
圖7
通過實(shí)驗(yàn)操作,我們發(fā)現(xiàn)實(shí)際操作中改變角的位置,在證明過程中只要添加平行線就可以達(dá)到相同作用.實(shí)驗(yàn)操作為我們解決本節(jié)課的難點(diǎn)找到突破口,為解決一些幾何問題提供了方便.
(四)通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)理解掌握數(shù)學(xué)思想方法
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能最為關(guān)鍵的還要理解并掌握隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法.這就需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,把握教學(xué)時(shí)機(jī),利用數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體“潤物細(xì)無聲”地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法而在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,更形象直觀地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
案例擠三十
兩人按自然數(shù)的順序輪流從1報(bào)到30,要求每人每次報(bào)1個(gè)數(shù)或者2個(gè)數(shù),誰報(bào)30,誰即輸.如:甲說“1、2”,乙可以接著說“3”或“3、4”……輪到誰說“30”,即為輸.
師:玩游戲的時(shí)候,贏的人輕輕地刮輸?shù)娜吮亲右幌?
兩人一組,操作若干次.
師:有贏次數(shù)多的同學(xué)嗎?
師:那就從中挑幾位同學(xué),看看誰是“王中王”!
師:我們?cè)賮砜纯从袥]有“常勝將軍”!
師:誰和老師玩玩這個(gè)游戲?(有意識(shí)地要求“女士優(yōu)先”,讓老師先說,輕松地和學(xué)生玩,并輸者被刮鼻子.)
問題:你能找到取勝的辦法嗎?
學(xué)生分析,通過多次的操作,發(fā)現(xiàn)如果搶到“26”,就可以贏.引導(dǎo)學(xué)生分析,找其中必勝的策略.在分析的過程中,探索出經(jīng)過逆推可以找到這個(gè)游戲的必勝策略——先說者先說“1、2”,接著報(bào)的數(shù)字個(gè)數(shù)是:“3-后報(bào)者報(bào)的數(shù)字個(gè)數(shù)”.從而揭示本次活動(dòng)的主題“逆推(逆向思維)”.
美國馬爾瓦-柯林斯說過“教學(xué)的本質(zhì)就是“用一個(gè)思想點(diǎn)燃另一個(gè)思想”.拋出問題后,教師放手讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦的體驗(yàn)過程,經(jīng)歷嘗試與思考、借鑒和吸納的過程,最終會(huì)在緩慢的多次的過濾中從無序的亂象走向有序的規(guī)則.
與物理、化學(xué)、生物等實(shí)驗(yàn)性學(xué)科不同,我們不可能也不必完全依賴于實(shí)驗(yàn)方法來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),但數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域仍然具有重要的補(bǔ)充性、獨(dú)特優(yōu)勢性,甚至是不可替代性.在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生很難真正參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生的過程中去,只能被動(dòng)的接收、記憶并消化相應(yīng)的知識(shí),無法領(lǐng)悟到在知識(shí)發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生的過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.而在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,學(xué)生主動(dòng)的親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生的過程,并通過探究驗(yàn)證了數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性.利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)趣味性,可以有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,使其在學(xué)習(xí)過程中獲得成就感與滿足感,強(qiáng)化了對(duì)知識(shí)記憶牢固度.更重要的是,通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)理解掌握數(shù)學(xué)思想方法的能力,乃至對(duì)各類問題的獨(dú)立思考能力和動(dòng)手分析解決能力,恰恰可以彌補(bǔ)現(xiàn)階段我國學(xué)生缺乏創(chuàng)新及實(shí)踐能力的短板,對(duì)提高其綜合素質(zhì)不無裨益.總之,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)必將在今后的教學(xué)活動(dòng)中逐步占據(jù)更加重要的地位,我將通過不斷的探索與實(shí)踐,努力掌握實(shí)驗(yàn)教學(xué)相關(guān)要領(lǐng),提升自己在此方面的教學(xué)水平.