陳權(quán)

摘 要：在人們的實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)看到許多的圓形物體，這也使圓形成為人們最熟悉的圖形之一。在對(duì)圓進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)于圓的切線的判定及證明是非常重要的，只有充分掌握“圓的切線”的證明方法及技巧，才能使日常生活中遇到的關(guān)于圓的問(wèn)題得以有效解決。但對(duì)于圓的切線證明及判定問(wèn)題來(lái)說(shuō)，其也往往成為諸多學(xué)生在對(duì)圓進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)的一大難點(diǎn)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：圓 切線 半徑 垂直

引言

近年來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，使人們可以通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái)解決實(shí)際生活中遇到的諸多問(wèn)題。圓的切線的證明問(wèn)題便是其中之一，利用數(shù)學(xué)方法來(lái)對(duì)圓的切線進(jìn)行證明，能夠幫助人們更好的理解圓的切線的定義、判定定理，進(jìn)而熟練運(yùn)用證明方法來(lái)對(duì)圓的切線問(wèn)題進(jìn)行證明，總結(jié)出證明圓的切線過(guò)程中的證法技巧，從而使其在解決類似問(wèn)題時(shí)，能夠根據(jù)證明結(jié)論來(lái)幫助人們對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解決。

一、“圓的切線”的定義及判定定理

所謂圓的切線，是指在圓的任意邊緣點(diǎn)中有一條直線通過(guò)該點(diǎn)，該點(diǎn)便可稱之為公共點(diǎn)，而該直線由于通過(guò)了該公共點(diǎn)，因此可以視為該直線與圓相切，即直線為圓的切線，直線與圓之間的共公點(diǎn)又被稱之為切點(diǎn)。由此可見(jiàn)，通過(guò)圓的切線的定義，我們可以直觀的了解到圓與切線之間的關(guān)系，進(jìn)而為我們后續(xù)對(duì)圓的切線問(wèn)題的解決提供幫助。事實(shí)上，在對(duì)圓的切線問(wèn)題進(jìn)行解決時(shí)，學(xué)生必須要充分理解圓的切線的定義，才能使其在解決圓的切線問(wèn)題時(shí)根據(jù)自己的理解能力來(lái)對(duì)已知條件進(jìn)行分析，進(jìn)而了解到圓的具體形狀。而在實(shí)際問(wèn)題解決當(dāng)中，已知條件都是題目中給出的，為了便于學(xué)生對(duì)圓的切線問(wèn)題的想象，許多幾何問(wèn)題都是提供具體的圖形的，因此在對(duì)圓的切線問(wèn)題進(jìn)行證明時(shí)，可根據(jù)具體圖形來(lái)對(duì)問(wèn)題所涉及到的具體情況進(jìn)行分析，以便于通過(guò)輔助手段來(lái)更好的解決問(wèn)題。

二、“圓的切線”的兩種情況及證明方法

從圓的切線的定義可以了解到，直線是經(jīng)過(guò)圓的公共點(diǎn)的，而該公共點(diǎn)可以是圓形邊界中的任意一點(diǎn)，該直線則通過(guò)該點(diǎn)與圓相接，由此說(shuō)明直線是經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端的，并且其和圓的半徑是以相互垂直關(guān)系存在的，而該直線便是該圓的切線。依據(jù)上文中對(duì)切線的定義，并根據(jù)其判定定理，可將圓的切線問(wèn)題的判定與證明按照三種情況進(jìn)行劃分，第一種情況是在題目中已經(jīng)給出圓和直線之間的公共點(diǎn)，在對(duì)該類問(wèn)題進(jìn)行解決時(shí)，首先要把圓心和該公共點(diǎn)進(jìn)行連接，這樣便可構(gòu)造出該圓形的半徑線，然后便可根據(jù)該半徑線證明其與圓的切線垂直即可。例如，兩個(gè)圓為同圓心，圓心為O，AB切大圓于B，AC切小圓于C且與D、E相交，其中DE的長(zhǎng)度為10，AB的長(zhǎng)度為12，ctg BAO為 ，需要對(duì)這兩個(gè)圓的半徑進(jìn)行求解。在證明該問(wèn)題時(shí)，需要將OB和OC進(jìn)行連接，由上述條件可以得知OB AB、OC AC，根據(jù)勾股定理可進(jìn)一步求出這兩個(gè)圓的半徑分別是2 與9，進(jìn)而證明了DE為兩個(gè)同心圓的切線。

第二種情況是圓與直線之間的公共點(diǎn)并未在圖中標(biāo)明，在對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行解決時(shí)，由于不知道圓和直線之間的公共點(diǎn)在哪，因此有必要通過(guò)相應(yīng)的輔助方法來(lái)找出圓和直線之間所具有的公共點(diǎn)，然后證明該點(diǎn)為圓與直線的公共點(diǎn)，在證明出該點(diǎn)為圓和直線的公共點(diǎn)以后，便可根據(jù)該公共點(diǎn)和圓的圓心來(lái)構(gòu)造出半徑線，然后采用第一種情況中的方法，證明該半徑線與直線相垂直，便可有效解決圓的切線證明問(wèn)題。例如，在Rt ABC中有一AC邊為其直角邊，以AC作為該圓的直徑進(jìn)行⊙O，其與AB的斜邊相交，交點(diǎn)為D，其另一直角邊中的E為其中點(diǎn)，則證明⊙O中的切線為DE。在證明該問(wèn)題時(shí)，需要將OD進(jìn)行連接，由于⊙O的直徑為AC，因此 ADC與 BDC的角都是相等的，均為直角，因?yàn)锽E與EC的長(zhǎng)度相等，因此DE的長(zhǎng)度為BC長(zhǎng)度的一半，因此 1與 2相等。由于OD與OC的長(zhǎng)度相等，所以 3與 4的長(zhǎng)度相等，因此 ODE為 1與 3的和或 2與 4的和相等，其與 ACB的角度均為直角，所以可以證明⊙O的切線為DE。

通過(guò)對(duì)以上兩種情況的證明方法進(jìn)行闡述，可以幫助學(xué)生更好的實(shí)現(xiàn)對(duì)圓的切線問(wèn)題進(jìn)行證明，事實(shí)上，在對(duì)圓的切線問(wèn)題進(jìn)行證明，以上兩種情況包括了所有不同的圓的切線證明類型，不過(guò)在對(duì)圓的切線問(wèn)題進(jìn)行證明時(shí)，學(xué)生仍舊需要更加用心，充分了解題目具體屬于哪種情況，然后再采用相應(yīng)的證明方法來(lái)對(duì)該題目進(jìn)行證明，這樣便可得到相應(yīng)的答案。

三、“圓的切線”的證法技巧及教學(xué)建議

通過(guò)對(duì)上述三種情況的圓的切線證明問(wèn)題進(jìn)行分析，可以總結(jié)出以下的證法技巧，對(duì)于第一種情況，可以將其總結(jié)為：當(dāng)圓與直線之間存在公共點(diǎn)時(shí)，解題需要先將該圓的圓心與公共點(diǎn)相連，以此構(gòu)建相應(yīng)的半徑線，并對(duì)半徑線與切線之間的垂直關(guān)系進(jìn)行證明，進(jìn)行簡(jiǎn)化可以縮減為十個(gè)字，即有公共點(diǎn)、構(gòu)造半徑、證垂直。對(duì)于第二種情況，可以將證法技巧總結(jié)為：利用輔助方法對(duì)直線和圓之間的公共點(diǎn)進(jìn)行證明，并利用第一種情況的證明方法進(jìn)行解決，進(jìn)行簡(jiǎn)化后可以將其精簡(jiǎn)為十一個(gè)字，即找公共點(diǎn)、構(gòu)造半徑、證垂直。對(duì)于第三種情況，其證法技巧可以總結(jié)為：構(gòu)造直線的垂線，使垂線經(jīng)過(guò)圓心，并證明該垂線與圓的半徑相等，可將其精簡(jiǎn)為十一個(gè)字，即無(wú)公共點(diǎn)、作垂直、證半徑。通過(guò)對(duì)上述三種情況的證法技巧進(jìn)行總結(jié)可以了解到，在對(duì)圓的切線問(wèn)題進(jìn)行解決時(shí)，首要步驟便是要對(duì)圓的切線證明問(wèn)題的類型，即屬于哪種情況進(jìn)行確定，然后根據(jù)其具體情況采用相應(yīng)的證明方法，而通過(guò)證法技巧的總結(jié)，能夠有效幫助學(xué)生更好的掌握這些證明方法，并根據(jù)證法技巧的口訣來(lái)對(duì)證明方法的要點(diǎn)進(jìn)行記憶，從而在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行證明時(shí)，能夠根據(jù)記憶的口訣來(lái)對(duì)圓的切線問(wèn)題進(jìn)行證明，提高學(xué)生的解題能力。由此可見(jiàn)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握有效的證法技巧，將更有助于幫助學(xué)生證明圓的切線問(wèn)題。鑒于此，本文提出以下教學(xué)建議，以期能夠幫助學(xué)生有效掌握?qǐng)A的切線問(wèn)題的證法技巧，首先，在對(duì)圓的切線問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師可利用多媒體工具將圓的切線證明問(wèn)題的類型及常用證明方法進(jìn)行列出，使學(xué)生能夠掌握常用的證明方法與常見(jiàn)的圓的切線證明問(wèn)題的三種類型，并對(duì)證明方法進(jìn)行簡(jiǎn)化，使其濃縮為易被記憶的口訣，使學(xué)生能夠充分理解口訣中的相關(guān)要點(diǎn)，并按照要點(diǎn)進(jìn)行解題。

結(jié)語(yǔ)

總而言之，對(duì)于圓的切線的證明問(wèn)題來(lái)說(shuō)，其是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生對(duì)圓的學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在。因此，在對(duì)圓的切線證明問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)時(shí)，必須要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓的切線證明問(wèn)題的類型進(jìn)行確定，使其能夠明確該問(wèn)題具體屬于哪種情況，并根據(jù)該情況所提出的相應(yīng)證明方法，牢記證明方法中的口訣與要點(diǎn)，從而使學(xué)生能夠更加有效的對(duì)該類問(wèn)題進(jìn)行解決，提高學(xué)生對(duì)圓的證明問(wèn)題的解題能力。