段冠華， 林 健， 崔春生

(1.福建農(nóng)林大學 計算機與信息學院,福建 福州 350002; 2.北京物資學院 北京市智能物流系統(tǒng)協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 101149)

0 引言

Zadeh在模糊集[1]一文中，引入模糊集的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)概念?？紤]到現(xiàn)實生活當中不總是非此即彼，還存在介于兩者之間的猶豫、模糊情形。因此，保加利亞學者Atannssov[2]對模糊集進行了推廣，同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個方面。由于現(xiàn)實生活問題變得越來越復(fù)雜，直覺模糊集非常適合于在復(fù)雜的情況下表示模糊信息和不確定環(huán)境。由此引發(fā)國內(nèi)外學者廣泛研究，并成功在諸多領(lǐng)域[3～8]中得到了應(yīng)用。然而，關(guān)于直覺模糊聚類研究方法的還較少。

作為直覺模糊集核心理論之一的相似性度量，許多學者從不同的方面進行了深入的研究。針對Chen[9]的相似度量方法在某些情況下不適用，Hong[10]等人提出改進方法；李凡[11]等人指出Hong和Chen在測量相似度時所存在的缺陷并給出一種新的相似度量方法；Li[12]，Mitchell[13]和Li Dengfeng[14]等人進一步完善了直覺模糊集間相似度量的公理化定義。文獻[9～14]在某些情況下存在直覺指數(shù)所表征的中立證據(jù)中支持與反對的程度呈均衡或之差呈均衡狀態(tài)無法表述的問題。此外，Gao[15]和Hwangad[16]等人分別從Vague集和Sugeno積分討論了相似度量，Iancu[17]則基于T范數(shù)提出了一些相似度量公式。然而在文獻[9～16]中都忽視猶豫度的傾向性問題，從而易導(dǎo)致信息的扭曲與失真，丟失部分信息，公式缺乏靈活性。

本文首先提出了考慮帶傾向性相似度的直覺模糊相似度量公式，構(gòu)建具有傾向性的相似矩陣。利用平方法求等價相似矩陣，通過對等價相似矩陣的λ-截取進行聚類的新穎方法。并應(yīng)用于物流中心選址，使得從備選地址中選取的地址為最佳。

1 預(yù)備知識

為了引入后續(xù)討論，下面介紹一些關(guān)于直覺模糊集的基本概念。

1965年， Zadeh首次提出模糊集理論來處理不確定信息。

定義1[1]設(shè)X是一個非空集合，則稱

F={|x∈X}

(1)

為模糊集，其中μF:X→[0,1]是元素x關(guān)于模糊集F的隸屬度函數(shù)。

考慮到現(xiàn)在生活中的猶豫與不確定性，Atannssov對模糊集理論進行了擴展。

定義2[2]設(shè)X是一個非空集合，則

A={|x∈X}

(2)

為直覺模糊集，其中μA:X→[0,1]，vA:X→[0,1]分別為X中元素x關(guān)于A的隸屬度和非隸屬度。且滿足

0≤μA(x)+vA(x)≤1,x∈X

(3)

X中元素x關(guān)于A的猶豫度

πA(x)=1-μA(x)-vA(x),x∈X

(4)

X上所有直覺模糊集的集合記為:IFS(X)。

定義3[18]設(shè)α=(μα,vα)是一個直覺模糊數(shù)，其得分函數(shù)為：

s(α)=μα-vα

(5)

其中0≤μα-vα≤1,μα,vα≥0。

2 具有傾向性的直覺模糊相似度量

許多學者對相似度概念有不同的理解，因此在文獻[19]中結(jié)合模糊相似度量的定義方法，給出直覺模糊相似度量的公理化定義?？紤]到傾向性對猶豫度的影響，提出具有傾向性的直覺模糊相似度量公式，并擴展到連續(xù)的空間。

|vA(xi)-vB(xi)|)-

α|sA(xi)-sB(xi)|-

(6)

(6)

因此，我們提出了具有迭代傾向性的直覺模糊相似度量公式:

(8)

定理2?A,B∈IFS(X)，S(A,B)是直覺模糊集A,B之間的相似度。

證明(1)?xi∈X，有μA(xi),vB(xi)∈[0,1],|μA(xi)-vB(xi)|∈[0.1],同理|vA(xi)-vB(xi)|∈[0,1],易知0≤|μA(xi)-μB(xi)|+|vB(xi)-vB(xi)|≤2,即|μA(xi)-μB(xi)|+|vA(xi)-vB(xi)|∈[0,2]。知s(A)∈[-1,1]，s(B)∈[-1,1]，當πA(xi)≠1時，

(2)由公式可知，顯然S(A,B)=S(B,A)。

(4)設(shè)d(A,B)=1-S(A,B)，即

?C∈IFS(X)，有

d(A,C)+d(B,C)

=d(A,B)

考慮到現(xiàn)實生活中迭代次數(shù)的有限，迭代次數(shù)越多，猶豫度對整體的影響越來越弱，我們給出了有限迭代的公式如下：

(9)

(10)

現(xiàn)實生活中不總是離散的，我們把離散空間的具有傾向性的直覺模糊相似度量延伸到連續(xù)空間具有傾向性的直覺模糊相似度量。

定義6?A,B∈IFS([a,b])，A={|x∈[a,b]} ，B={|x∈[a,b]},則

(11)

(12)

同樣的，根據(jù)定理2的證明過程對定理3進行類似證明，這里不再贅述。

3 考慮帶傾向性相似度的直覺模糊聚類方法

模糊聚類是依據(jù)事物間的屬性、親疏程度、相似性和距離，通過建立模糊相似關(guān)系對客觀事物進行分類的方法。然而模糊聚類不能夠更加細膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì)[20]，直覺模糊聚類能夠?qū)π畔⑦M行有效的集成和處理。

3.1 等價相似矩陣與λ-截矩陣

定理4根據(jù)具有傾向性的直覺模糊相似度量式建立矩陣C=(cij)n×n，其中

cij=Sn(Ai,Aj),(i,j=1,2,…,n)

(13)

則矩陣C為相似矩陣。

證明1)自反性。?i=1,2,…,n，由公式可知Sn(Ai,Ai)=1，即cii=1。2)對稱性。由定義4可知Sn(Ai,Aj)=Sn(Aj,Ai)，即cij=cji。

(14)

經(jīng)過有限次合成：C→C2→C4→…→C2k→…,必定存在一個正整數(shù)k，使得C2k=C2k+1，且C2k為等價相似矩陣。

定義7[21]設(shè)C=(cij)n×n為等價相似矩陣，則稱Cλ=(λcij)n×n為的λ-截矩陣，其中

(15)

且λ為置信水平，λ∈[0,1]。

3.2 方法步驟

在n個對象中，考慮m個特征信息，其特征信息用直覺模糊集表示，如表1。

表1 對象特征信息

對應(yīng)特征信息直覺模糊矩陣為:

通過公式計算得到相似矩陣，經(jīng)過有限次合成得到等價相似矩陣，在不同的置信水平下進行聚類，得到不同的類別 。下面給出具有相似度的直覺模糊集聚類方法具體步驟：

輸入：對象特征信息直覺模糊矩陣A及λ值；

輸出：對應(yīng)λ值的聚類。

Step4更新數(shù)值，μik=μik+μikπik,vik=vik+vikπik,μjk=μjk+μjkπjk,vjk=vjk+vjkπjk,sik=μik-vik,sjk=μjk-vjk；

Step7如果Sn[i,j]不等于C[i,j],(i,j=1,2,…,n)，則Sn[i,j]=C[i,j],(i,j=1,2,…,n)，跳到Step6；

Step8利用公式(15)構(gòu)造C的λ-截矩陣Cλ=(λcij)n×n；

Step9若Cλ中第i行(列)中所有元素與第j行(列)中對應(yīng)的元素均相同，則直覺模糊集Ai和Aj是同一類。

4 物流中心選址應(yīng)用

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，電商服務(wù)越來越廣泛，物流運輸隨之增多。而物流中心選址更是物流網(wǎng)絡(luò)中心的重中之重。選址是否合理直接影響到物流系統(tǒng)的順暢性、經(jīng)濟效益和運營效率。合理的選擇物流中心能夠?qū)?yōu)化運輸線路、降低物流成本、促進區(qū)域發(fā)展等方面起到重要的作用。

設(shè)某物流企業(yè)擬在福建建立一個對臺大型物流中心，根據(jù)相關(guān)專家分析并結(jié)合企業(yè)決策者的建議，選取指標有自然條件、交通便利性、經(jīng)濟性、環(huán)境協(xié)調(diào)性和外部關(guān)聯(lián)性。備選地址有A(福州)、B(泉州)、C(廈門)、D(漳州)、E(莆田)、F(寧德)六個城市。結(jié)合各地址的指標契合度和專家評價，得出各備選地址指標數(shù)值如表2：

表2 各備選地址指標

(i)通過公式計算得到相似矩陣S:

(ii)利用公式經(jīng)過合成得到等價相似矩陣：

(iii)根據(jù)λ值不同對等價相似矩陣進行截取

a)0≤λ≤0.802時,備選地址為一類:{A,B,C,D,E,F};

b)0.802<λ<0.812時，備選地址分為二類：{A,B,C,D,F},{E};

c)0.812<λ≤0.852時，備選地址分為三類：{A,B},{C,D,F},{E};

d)0.852<λ≤0.856時，備選地址分為四類：{A},{B},{C,D,F},{E};

e)0.856<λ≤0.885時，備選地址分為五類：{A},{B},{C,D},{F},{E};

f)0.885<λ≤1時，備選地址分為六類：{A},{B},{C},{D},{E},{F}。

圖1 直覺模糊聚類圖

由聚類結(jié)果可知，當λ取值不同區(qū)間范圍時，備選地址分類結(jié)果也不同。其中在b)，c) ，d)，e)，f)中(即λ>0.802)，E(泉州)選址為一類，則說明備選地址E(泉州)是該地區(qū)建設(shè)物流中心的最佳選址。通過對表2并結(jié)合實際情況分析，發(fā)現(xiàn)備選地址E(泉州)自然條件、交通便利性和環(huán)境協(xié)調(diào)性較好，經(jīng)濟性和外部關(guān)聯(lián)性最好，是建設(shè)物流中心的最佳選址。備選物流中心E(泉州)符合戰(zhàn)略性原則、經(jīng)濟性原則、實用性原則、協(xié)調(diào)性原則和可持續(xù)發(fā)展原則。

5 結(jié)論

本文針對某些情況下直覺指數(shù)所表征的中立證據(jù)中支持與反對的程度呈均衡或之差呈均衡狀態(tài)無法表述的問題，并結(jié)合猶豫度的傾向性問題，提出了新穎的具有傾向性的直覺模糊相似度量公式，使其表示的信息更加全面，對事物分析更精確；根據(jù)實際問題可取不同的值，使公式靈活性和適應(yīng)性增強。利用平方法求相似矩陣傳遞閉包收斂速度快的特點，使得基于傾向直覺模糊聚類在大數(shù)據(jù)環(huán)境下也能夠快速得到分類結(jié)果。根據(jù)不同的值，可對物流中心選址范圍進行粗細不同的劃分，從而選出最佳的物流中心地址。