董 磊， 張曉宇， 王俊元， 杜文華， 劉 峰， 石瑞敏

(1. 中北大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 山西 太原 030051； 2. 合肥工業(yè)大學(xué) 摩擦學(xué)研究所， 安徽 合肥 230009)

0 引 言

表面形貌對接觸界面摩擦和潤滑的影響是十分顯著的[1]， 其不僅反映表面質(zhì)量， 而且包含大量的制造與功能信息， 具有保證產(chǎn)品質(zhì)量和功能的雙重作用[2]. 表面形貌表征是設(shè)計(jì)、 制造表面的前提， 是表面質(zhì)量和界面功能保證的研究基礎(chǔ).

三維表面形貌的表征方法一般有基準(zhǔn)參數(shù)法、 Motif法、 分形法、 分水嶺法、 小波法等. 這些方法均由二維表面形貌參數(shù)表征方法發(fā)展而來， 在表面形貌研究中起著重要的作用[3-4]. 但是， 以往的表面形貌相關(guān)表征研究還存在著諸如參數(shù)過多、 與宏觀功能性描述脫節(jié)等問題， 仍需要繼續(xù)針對面向功能的表面表征. Pradeep L Menezes[5-7]發(fā)現(xiàn)接觸界面摩擦系數(shù)與粗糙度參數(shù)并沒有直接明確的相互關(guān)系， 另外發(fā)現(xiàn)摩擦系數(shù)還與其它諸如紋理等特征參數(shù)有關(guān)[8]. 表面形貌特征除了與摩擦特性有關(guān)以外， 還有表面形貌表征參數(shù)與潤滑特性之間的關(guān)系研究， 例如U Engel等人[9]提出的表面形貌功能性表征參數(shù)： 開放空體區(qū)參數(shù)和封閉空體區(qū)參數(shù)， 前者能夠描述接觸界面流體在外載荷作用下流出界面而產(chǎn)生的流體動壓力， 后者能夠描述接觸界面流體在外載荷的作用下被封閉在波“谷”處而形成的流體靜壓力,兩者所對應(yīng)的參數(shù)顯示了表面存儲和輸送潤滑劑的能力， 這些參數(shù)均對表面的潤滑特性產(chǎn)生重要影響.

雷諾方程作為求解流體動壓潤滑最基本的方程之一， 是Navier-Stokes方程(簡稱N-S方程)的特殊形式， 雷諾方程的求解相對較為容易， 雖然增加了邊界條件和假設(shè)等約束， 但依然能夠滿足一些特殊場合的動壓潤滑求解要求， 其計(jì)算精度在一般工況下能夠滿足使用要求， 也得到了更為廣泛的使用. Feldman等[10]研究了雷諾方程在氣體潤滑變形平行表面的流體靜力效應(yīng)模型的應(yīng)用， 通過精確的N-S方程的數(shù)值解和雷諾方程的近似解， 得到了單個(gè)三維微孔的承載能力和壓力分布. 盡管在局部壓力上存在較大的差異， 但在實(shí)際幾何參數(shù)和物理參數(shù)上， 兩種方法在承載能力上的差異很小. Kraker等[11]用Navier-Stokes方程研究了單曲面的局部流動效應(yīng), 并與傳統(tǒng)的雷諾計(jì)算進(jìn)行了比較， 進(jìn)一步指出當(dāng)油膜厚度遠(yuǎn)小于粗糙接觸表面高度幅值時(shí)， 采用Half-Sommerfeld邊界條件的雷諾方程就可得到較為精確的壓力分布， 而不必采用需要更嚴(yán)格約束條件的N-S方程.

雷諾方程是非線性偏微分方程， 只有少數(shù)特殊情況下可以得到精確解析解[12-13]. 而實(shí)際工況下， 機(jī)械接觸界面均是隨機(jī)粗糙接觸界面， 接觸界面間的流體流動與表面形貌特征密切相關(guān)， 表面形貌特征眾多， 難以確定表面形貌具體特征與流體在接觸界面微流動狀態(tài)之間的關(guān)系， 導(dǎo)致流體在微通道中的流動分析較為困難. 目前， 影響流體微流動的影響因素主要有： 尺度效應(yīng)、 表面形貌、 流體特性等[14-15]. 其中表面形貌特征對粗糙接觸界面流體微流動狀態(tài)有著不可忽視的影響. 綜合上述文獻(xiàn)可知， 目前的研究內(nèi)容主要集中在表面粗糙度參數(shù)對規(guī)則通道內(nèi)流體微流動和微通道結(jié)構(gòu)形式上[16-17]. 然而隨機(jī)粗糙接觸界面是一個(gè)非線性系統(tǒng)， 表面形貌參數(shù)也不止粗糙度一個(gè)參數(shù). 因此， 研究隨機(jī)粗糙接觸界面的流體動壓載荷和摩擦力以及表面形貌參數(shù)對其的影響， 是十分必要且具有一定意義的.

1 雷諾方程及其求解

雷諾方程適用于狹小間隙中的流體黏性流動， 流體需為牛頓流體， 能夠描述三維空間內(nèi)的壓力分布和預(yù)測摩擦力分布情況等. 它的基本形式為

(1)

式中：ρ為液體密度；η為潤滑油粘度；h為油膜厚度；p為油膜壓力；U為摩擦副相對運(yùn)動速度；t為時(shí)間.

如果相互接觸的兩個(gè)表面相對切向速度不隨切向方向的變化而變化， 并且接觸材料在運(yùn)動過程中不發(fā)生伸縮效應(yīng)， 雷諾方程可以簡化為

(2)

如式(2)所示， 雷諾方程是一種典型的偏微分方程， 對于求解偏微分方程的有效方法之一即是數(shù)值方法. 數(shù)值方法中求解偏微分方程的一種較為簡單的方法即是有限差分法. 有限差分法求解雷諾方程在很多文獻(xiàn)中均有詳細(xì)說明， 這里不作過多說明， 僅列出最后采用有限差分法求解雷諾方程的基本公式為

φi,j=CNφi,j+1+CSφi,j-1+CEφi+1,j+

CWφi-1,j+G,

(3)

式中

其中，A,B,C,D,E均為已知系數(shù). 通過有限差分法可以獲得與未知量數(shù)量一致的線性代數(shù)方程， 再通過迭代運(yùn)算， 最終獲得網(wǎng)格所有節(jié)點(diǎn)的變量值， 這一過程可以利用計(jì)算機(jī)完成.

2 理論模型

2.1 表面形貌特征函數(shù)

雷諾方程中沒有包含表面形貌的相關(guān)信息， 因?yàn)樵趹?yīng)用雷諾方程的一般場合中， 表面形貌的特征尺度比相對宏觀的楔形間隙小得多. 但如果粗糙接觸表面間隙尺寸與表面形貌高度尺寸在相同或相近的尺度范圍內(nèi)， 則必須考慮表面形貌對接觸中載荷分布和剪切力等的影響.

在雷諾方程中，h(x,y)表示楔形間隙的特征， 本文通過引入表面形貌特征函數(shù)， 將表面形貌特征函數(shù)與膜厚方程相結(jié)合， 探討表面形貌特征對雷諾方程計(jì)算結(jié)果的影響， 求解粗糙接觸表面載荷和摩擦力， 最終獲得表面形貌特征參數(shù)對表面載荷和摩擦力的分布狀態(tài)的影響.

2.2 膜厚方程

由于考慮了表面形貌對雷諾方程的影響， 則在粗糙接觸界面中更多的從面接觸、 線接觸過渡到了點(diǎn)接觸. 由于點(diǎn)接觸時(shí)載荷的幅值要比面接觸或線接觸大， 因此本文采用點(diǎn)接觸形式. 點(diǎn)接觸的膜厚方程可以表示為

(4)

圖 1 膜厚方程示意圖Fig.1 Schematic diagram of the film thickness equation

2.3 剪切力(摩擦力)方程

如果能夠?qū)字Z方程求得的載荷在接觸區(qū)域內(nèi)進(jìn)行積分， 則可以獲得接觸范圍內(nèi)的剪切力， 也即摩擦力， 表示為式(5). 此外， 也可以對局部積分區(qū)域進(jìn)行有限差分網(wǎng)格的劃分， 能夠得到局部摩擦力.

Ff=?τdxdy=

(5)

采用有限差分法應(yīng)用MATLAB軟件求解三維粗糙接觸界面雷諾方程載荷及摩擦力的流程如圖 2 所示.

圖 2 計(jì)算流程圖Fig.2 Calculation flow chart

2.4 模型驗(yàn)證

為了了解真實(shí)表面的受力情況， 依據(jù)文獻(xiàn)[18]隨機(jī)粗糙表面的建模方法建立不同形貌參數(shù)的隨機(jī)粗糙表面如圖 3 所示， 通過對雷諾方程求解和摩擦力計(jì)算得到了部分模擬表面的載荷分布以及摩擦力分布圖， 經(jīng)仿真對比可得近似的載荷分布趨勢. 如圖 4 所示為隨機(jī)粗糙三維接觸界面的載荷分布狀態(tài)圖， 圖 5 所示為隨機(jī)粗糙三維接觸界面的摩擦力分布狀態(tài)圖.

圖 3 三維隨機(jī)粗糙表面Fig.3 Three-dimensional random rough surface

圖 4 三維隨機(jī)表面載荷分布Fig.4 Loads distribution of three dimensions random surface

圖 5 三維隨機(jī)表面摩擦力分布Fig.5 Friction forces distribution of three dimensions random surface

由此可知， 載荷分布和摩擦力分布與隨機(jī)粗糙表面的表面形貌呈現(xiàn)出吻合的狀態(tài)， 載荷在隨機(jī)表面中沿著微凸體方向較為均勻隨機(jī)的分布， 在波“峰”處載荷較大， 在波“谷”處載荷較小. 摩擦力分布則呈現(xiàn)出與運(yùn)動方向相關(guān)并且相對滯后的分布趨勢， 仿真結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)和相關(guān)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一致.

3 表面形貌特征參數(shù)對流體動壓載荷和摩擦力的影響

定量分析表面形貌參數(shù)對流體動壓載荷和摩擦力的作用機(jī)理十分必要的. 由于表面形貌參數(shù)數(shù)量較多， 這里只針對部分能夠描述表面特征的幾個(gè)重要參數(shù)進(jìn)行討論， 其余參數(shù)可以類比得到. 為對比表面形貌參數(shù)對接觸載荷和摩擦力的影響， 本小節(jié)所得結(jié)論均在相同邊界條件下重復(fù)三次實(shí)驗(yàn)后獲得， 如初始壓力(1 MPa)和初始邊界速度(1 mm/s)等.

1) 表面高度均方根偏差Sq表示在表面采樣范圍內(nèi)表面形貌各點(diǎn)高度幅值的均方根值， 是描述粗糙表面在高度方向上的重要參數(shù)之一, 其定義為

(6)

式中：z(x,y)為表面上各采樣點(diǎn)的高度幅值；lx,ly為采樣區(qū)域的邊界長度；M，N分別為采樣范圍內(nèi)沿X方向和沿Y方向上的采樣點(diǎn)數(shù).

圖 6 所示為表面最大載荷和最大摩擦力隨表面高度均方根偏差Sq的變化趨勢， 由圖可以看出， 隨著表面高度均方根偏差Sq的增大， 動壓載荷和摩擦力都呈非線性顯著增大的趨勢， 表面載荷和摩擦力對表面高度均方根偏差Sq的敏感度較高， 這是因?yàn)楸砻娓叨确翟酱螅?表面越粗糙， 形成的油楔深度越深， 載荷和摩擦力增長速度越快， 摩擦系數(shù)也隨之升高.

2) 表面高度分布偏態(tài)Ssk表示表面上各采樣點(diǎn)的高度幅值相對于基準(zhǔn)平面的距離偏差， 是衡量粗糙表面“峰”、 “谷”特征的參數(shù)之一， 其定義為

(7)

式中：S表示采樣面積；P(z)表示采樣區(qū)域內(nèi)各采樣點(diǎn)高度幅值分布函數(shù)z(x,y)的概率密度函數(shù).

圖 6 載荷和摩擦力與Sq的關(guān)系Fig.6 Relation between load and friction force and Sq

圖 7 所示為表面最大載荷和最大摩擦力隨表面高度分布偏態(tài)Ssk的變化趨勢， 由圖可以看出， 隨著表面高度分布偏態(tài)Ssk絕對值的增大， 動壓載荷和摩擦力都呈非線性增大， 但摩擦力較載荷的變化幅度小， 表明摩擦系數(shù)對表面高度分布峰態(tài)的變化較不敏感. 表面高度分布偏態(tài)主要衡量的是表面是以“峰”特征為主還是以“谷”特征為主， 以“峰”特征為主的表面所受載荷較大， 以“谷”特征為主的表面可以更多地存儲流體， 載荷和摩擦力較小， 但隨著“谷”的深度增加， 載荷也會因?yàn)橛托ㄉ疃冗^深而隨之增加.

圖 7 載荷和摩擦力與Ssk的關(guān)系Fig.7 Relation between load and friction force and Ssk

3) 自相關(guān)最快衰減率Sal表示標(biāo)準(zhǔn)自相關(guān)函數(shù)沿在某個(gè)方向上衰減最快的距離， 是描述表面粗糙度頻率的主要參數(shù)， 其定義為

(8)

式中：τx,τy表示采樣區(qū)域內(nèi)各采樣點(diǎn)高度幅值沿X或Y方向的衰減率.

圖 8 所示為自相關(guān)最快衰減率Sal與表面最大載荷和最大摩擦力的關(guān)系， 由此可以看出， 隨著自相關(guān)最快衰減率Sal的增大， 最大載荷和摩擦力都顯著非線性減小， 表明表面“峰”、 “谷”出現(xiàn)的頻率越低， 表面最大載荷和摩擦力越小. 但摩擦力對自相關(guān)最快衰減率Sal比對表面高度均方根偏差Sq的敏感度較低， 說明摩擦系數(shù)隨自相關(guān)最快衰減率Sal的變化較小.

圖 8 載荷和摩擦力與Sal的關(guān)系Fig.8 Relation between load and friction force and Sal

4) 表面展開面積比Sdr表示被測表面采樣范圍內(nèi)表面面積的增量與采樣范圍面積的比率， 是描述表面紋理特征的一個(gè)參數(shù)， 其定義為

(9)

其中

圖 9 載荷和摩擦力與Sdr的關(guān)系Fig.9 Relation between load and friction force and Sdr

圖 9 所示為表面最大載荷和最大摩擦力隨表面展開面積比Sdr的變化趨勢， 由圖可以看出， 隨著表面展開面積比Sdr的增大， 最大載荷和摩擦力均呈非線性增大的趨勢， 與自相關(guān)最快衰減率Sal類似， 摩擦系數(shù)對表面展開面積比Sdr的敏感度較小.

4 結(jié) 論

為了獲得表面形貌表征參數(shù)對粗糙接觸界面摩擦和潤滑的影響， 本文基于雷諾方程及其有限差分法求解理論建立了隨機(jī)粗糙界面的計(jì)算方法， 然后通過計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)表面， 對模型和計(jì)算方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.

表面形貌表征參數(shù)對粗糙接觸界面摩擦和潤滑的影響在許多研究文獻(xiàn)中都有一定的闡述， 本文選取了四個(gè)ISO 25178表面形貌國際標(biāo)準(zhǔn)特征參數(shù)： 表面高度均方根偏差Sq、 表面高度分布偏態(tài)Ssk、 自相關(guān)最快衰減率Sal和表面展開面積比Sdr， 探討了表面形貌特征參數(shù)對粗糙接觸界面載荷和摩擦力的影響， 研究結(jié)果可以進(jìn)一步補(bǔ)充現(xiàn)有的流體動壓潤滑和表面形貌表征等相關(guān)研究內(nèi)容.