鄒宇鵬, 石永軍, 孫少華, 吳寶貴, 王 諾

(中國石油大學(xué)(華東) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266580)

0 引 言

在工程實(shí)踐過程中，頻域分析法以及根軌跡法是經(jīng)典控制系統(tǒng)(單輸入-單輸出系統(tǒng))的兩種基本設(shè)計方法[1-2]。在經(jīng)典控制系統(tǒng)的設(shè)計過程中，需要根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求以及工程經(jīng)驗(yàn)，選擇合適的控制器，然后試湊并反復(fù)地調(diào)整控制器參數(shù)，直至系統(tǒng)性能指標(biāo)滿足設(shè)計要求。但是，由于整個設(shè)計過程涉及到大量復(fù)雜的計算以及性能曲線的繪制，費(fèi)時費(fèi)力且效果不理想[3]。即使利用高級語言編程來完成控制系統(tǒng)的計算機(jī)輔助設(shè)計，也需要花費(fèi)大量的時間來編寫及調(diào)試程序?qū)崿F(xiàn)在線調(diào)參與動態(tài)性能分析的實(shí)時交互。

目前，控制系統(tǒng)的計算機(jī)輔助設(shè)計(Computer Aided Control System Design, CACSD)技術(shù)已經(jīng)非常成熟，各類CACSD軟件種類繁多[4]。其中，Matlab是目前控制系統(tǒng)分析、設(shè)計及和仿真領(lǐng)域最受歡迎的軟件系統(tǒng)，它將工程師的主要精力從底層重復(fù)性機(jī)械勞動轉(zhuǎn)移到了控制理論和方法，提高了控制系統(tǒng)設(shè)計的效率和可靠性[5-6]。Matlab的Control System Toolbox工具箱為系統(tǒng)化地分析、設(shè)計調(diào)節(jié)線性控制系統(tǒng)提供了算法和應(yīng)用程序，便于分析和可視化時域和頻域中的系統(tǒng)行為。其中，SISOtool (Single Input Single Output Toolbox) 子工具箱為單輸入-單輸出控制系統(tǒng)的設(shè)計提供實(shí)時交互的操作環(huán)境[7-8]。該工具箱能夠?qū)崟r顯示校正后系統(tǒng)的根軌跡圖和伯德圖；在控制系統(tǒng)設(shè)計過程中，根據(jù)相位裕度、幅值裕度、截止頻率等約束條件，利用鼠標(biāo)調(diào)節(jié)控制器零極點(diǎn)分布，直至設(shè)計出滿足要求的控制器。

本文以柔索驅(qū)動力伺服控制系統(tǒng)為研究對象。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；分析了柔索驅(qū)動前向通道傳遞函數(shù)頻率特性，明確其基本控制問題；確定柔索驅(qū)動復(fù)合控制策略；再利用SISOtool工具箱對系統(tǒng)前向通道控制器進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計，最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證控制策略的有效性。

1 柔索驅(qū)動系統(tǒng)模型

根據(jù)圖1所示柔索驅(qū)動單元的系統(tǒng)組成和特點(diǎn)，柔索驅(qū)動單元機(jī)理模型如圖2所示。柔索驅(qū)動單元采用直流力矩電動機(jī)作為驅(qū)動元件，提供負(fù)載力；通過柔索將負(fù)載力傳遞給主動運(yùn)動單元[9-10]。

圖1 柔索驅(qū)動單元

圖2 柔索驅(qū)動單元機(jī)理模型

根據(jù)圖2的機(jī)理模型，在考慮承載對象運(yùn)動影響的情況下，柔索驅(qū)動力伺服系統(tǒng)的開環(huán)模型方框圖如圖3所示。有兩個輸入量影響加載系統(tǒng)輸出的柔索牽引力F，一個是加載電動機(jī)電樞電壓u，另外一個是承載對象的運(yùn)動而引入的速度擾動v0[11]。

圖3 柔索驅(qū)動力伺服系統(tǒng)的開環(huán)模型方框圖

由圖3可得到，在考慮承載對象運(yùn)動影響的情況下，柔索驅(qū)動被動式力伺服系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

F(s)=M1(s)U(s)-M2(s)V0(s)

(1)

式中：M1(s)為從輸入電壓u到輸出F的對象模型，是指令前向進(jìn)入的通道，稱之為前向通道傳遞函數(shù)；M2(s)為從輸入速度v0到輸出力F的對象模型，是多余力產(chǎn)生的通道或者擾動的通道，稱之為多余力傳遞函數(shù)[12-13]；而

M1(s)=Cmr(Ms2+Bs+K)/[JeLs3+(BeL+JeR)s2+

(BeR+CmCe+KLr2)s+KRr2]

(2)

M2(s)=(Bs+K)[JmLs2+(BmL+JmR)s+

(BmR+CmCe)]/[JeLs3+(BeL+JeR)s2+

(BeR+CmCe+KLr2)s+KRr2]

(3)

2 系統(tǒng)特性分析

柔索驅(qū)動力伺服控制系統(tǒng)的設(shè)計要滿足兩個要求：①系統(tǒng)應(yīng)是高階無靜差的，并要求有很好的快速性；②主動運(yùn)動單元的運(yùn)動是施加在力伺服回路的外部擾動，會嚴(yán)重影響系統(tǒng)的加載精度，最大程度地抑制多余力的影響也是控制系統(tǒng)設(shè)計的基本要求。

為了保證柔索驅(qū)動單元的加載精度和快速性，以系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)M1(s)為研究對象，分析其動態(tài)特性，明確前向通道控制系統(tǒng)設(shè)計的方向。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計前向通道控制器，提高柔索驅(qū)動單元對指令信號的跟蹤能力。

系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)M1(s)可以分解為1個1階慣性環(huán)節(jié)和1個2階振蕩環(huán)節(jié)，M1(s)中不含有積分項，是典型的0型系統(tǒng)。圖4所示為系統(tǒng)前向通道頻率響應(yīng)曲線，在低頻段，M1(s)幅頻響應(yīng)曲線足夠平直，無需校正；相頻響應(yīng)呈現(xiàn)滯后特性，并有1°左右的整體滯后，在10 Hz(62.8 rad/s)處系統(tǒng)相位滯后約35°；同時由于二階微分環(huán)節(jié)的影響，高頻段系統(tǒng)幅值衰減強(qiáng)度變?nèi)酢?/p>

對于M1(s)這個0型系統(tǒng)，其主要控制問題是：為了提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度，需提高系統(tǒng)類型，要引入積分校正，但引入積分校正會降低系統(tǒng)相位儲備，危及系統(tǒng)穩(wěn)定性；為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性就要降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，但這樣會降低系統(tǒng)的響應(yīng)速度；柔索驅(qū)動單元前向通道控制器的設(shè)計需要兼顧精度和快速性。

圖4 柔索驅(qū)動前向通道傳遞函數(shù)伯德圖

3 柔索驅(qū)動單元復(fù)合控制策略

考慮到一般的反饋控制在擾動的抑制、高階無靜差以及協(xié)調(diào)系統(tǒng)動靜態(tài)指標(biāo)等方面的能力有限，本文采用前饋控制和反饋控制相結(jié)合的復(fù)合控制，前向通道復(fù)合控制的結(jié)構(gòu)方框圖如圖5所示[14]。

圖5 柔索驅(qū)動單元復(fù)合控制系統(tǒng)

采用積分校正Ki/s，系統(tǒng)從0型提高到Ⅰ型，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。局部反饋Gp_lead(s)采用二階的相位超前環(huán)節(jié)，改善系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)。二階相位超前校正環(huán)節(jié)為：

(4)

式中：ωan的選取原則是補(bǔ)償系統(tǒng)在中頻段的相位滯后，保證系統(tǒng)在工作頻段的滯后小于10°；阻尼比ξan越大，Gp_lead(s)所提供的相位補(bǔ)償越小；ωad根據(jù)需要濾除高頻噪聲的頻率確定，阻尼比ξad越大，高頻衰減越快，但Gp_lead(s)相位補(bǔ)償能力會降低；Ka根據(jù)穩(wěn)定條件確定，調(diào)節(jié)局部反饋系統(tǒng)的增益。ωad和ωan可以通過需要補(bǔ)償?shù)南辔辉Ａ看_定，ωan<ωad。

前饋校正環(huán)節(jié)Gff(s)配合Gp_lead(s)共同提高系統(tǒng)的快速性，其本質(zhì)是一種開環(huán)控制形式。為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將前饋校正環(huán)節(jié)Gff(s)設(shè)定為比例環(huán)節(jié)。當(dāng)輸入的變化較快時，積分環(huán)節(jié)對高頻信號抑制顯著，積分控制器的輸出很小，此時輸入信號經(jīng)由前饋校正環(huán)節(jié)Gff(s)直接進(jìn)入到局部反饋校正后的系統(tǒng)，系統(tǒng)近似工作于開環(huán)狀態(tài)，系統(tǒng)的快速性得到最大程度的發(fā)揮；當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，積分環(huán)節(jié)的作用增強(qiáng)，系統(tǒng)在積分負(fù)反饋控制和前饋控制的共同作用下工作，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)性得到提高。

此外，ξ為工頻噪聲，通過雙T帶阻濾波器Gbs(s)濾波，其阻帶頻率范圍為45～55 Hz[15]。

4 基于SISOtool的控制器設(shè)計

為了衡量控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，柔索驅(qū)動力伺服系統(tǒng)要滿足：①“雙十”指標(biāo)：10 Hz范圍內(nèi)，給定與實(shí)際輸出之間的幅值變化不超過10%，相角變化小于10°，即校正后系統(tǒng)在低頻段的頻率特性平坦[16]；②階躍響應(yīng)調(diào)整時間小于0.05 s；③階躍響應(yīng)超調(diào)量小于10%。

基于Matlab-SISOtool工具箱詳細(xì)設(shè)計柔索驅(qū)動單元前向通道控制器的基本步驟如下。

步驟1在Matlab工作空間中構(gòu)建柔索驅(qū)動系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)，在命令行窗口輸入的指令為：

num=[Cm*r*MCm*r*BCm*r*K];

den=[ (M*r^2+Jm)*L(Bm+B*r^2)*L+(M*r^2+Jm)*R(Bm+B*r^2)*R+Cm*Ce+K*L*r^2K*R*r^2 ];

G=tf( num, den);

式中，各參數(shù)的數(shù)值大小見表1。

表1 柔索驅(qū)動單元力伺服系統(tǒng)標(biāo)稱參數(shù)表

步驟2在命令行窗口輸入“SISOtool”指令，打開“Control System Designer”交互界面，如圖6所示。

圖6 Control System Designer 交互界面

步驟3根據(jù)圖5所示的復(fù)合控制的結(jié)構(gòu)方框圖，首先設(shè)計二階相位超前環(huán)節(jié)Gp_lead(s)。點(diǎn)擊“Edit Architecture”工具欄，圖7展示了常見的控制構(gòu)型。確定控制構(gòu)型為“Configuration 1”。

圖中：F為前向通道濾波器；C為控制器；G為被控對象；H為反饋通道濾波器。點(diǎn)擊，將工作空間中系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)導(dǎo)入到被控對象G中，其他部分傳遞函數(shù)默認(rèn)為1。此時系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線、根軌跡曲線、閉環(huán)的階躍響應(yīng)曲線如圖8所示。

圖7 控制構(gòu)型 I

圖8 被控對象的響應(yīng)曲線

步驟4右鍵單擊左側(cè)“Controllers and Blocks”欄內(nèi)的控制器C，選擇“Open Selection”選項，出現(xiàn)“Compensator Editor”界面，如圖9所示。

圖9 控制器設(shè)計界面

右鍵單擊界面中“Dynamics”空白區(qū)域，選擇“Add Pole/Zero”選項，再分別選擇“Complex Pole”和“Complex Zero”兩個選項，分別向系統(tǒng)中增加一對復(fù)零點(diǎn)和一對復(fù)極點(diǎn)。如圖10所示，圖中，“○”和“×”分別代表2階相位超前環(huán)節(jié)引入的復(fù)零點(diǎn)和復(fù)極點(diǎn)。

根據(jù)第3節(jié)確定的ωan和ωad的選取原則，經(jīng)過試湊和驗(yàn)算，最終確定ωan=130 rad/s、ξan=0.8、ωad=1 000 rad/s、ξad=0.9；為了保證經(jīng)過局部反饋校正后的系統(tǒng)的諧振峰值不超過0 dB，確定Ka=0.05。

圖11中的實(shí)線是引入局部反饋校正環(huán)節(jié)后的閉環(huán)頻率響應(yīng)曲線，虛線是未校正的開環(huán)頻率響應(yīng)曲線。從圖中可以看出，經(jīng)過局部反饋校正后的等效系統(tǒng)相位儲備得到了較大提高；由于局部反饋校正環(huán)節(jié)增益Ka較小，系統(tǒng)存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差(約為-8 dB)，但是幅頻響應(yīng)曲線仍然較為平坦，這樣有利于對其實(shí)施進(jìn)一步的校正。

圖10 控制系統(tǒng)設(shè)計過程中交互界面

圖11 局部反饋校正后系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性

步驟5再根據(jù)圖5所示的復(fù)合控制的結(jié)構(gòu)方框圖，進(jìn)一步設(shè)計積分控制器和前饋校正環(huán)節(jié)Gff(s)。確定控制構(gòu)型為“Configuration 6”，如圖12所示。G2為系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)；C2為2階相位超前環(huán)節(jié)Gp_lead(s)；C1為即將要設(shè)計的積分控制器；通過F引入前饋校正環(huán)節(jié)；此外，其余各環(huán)節(jié)默認(rèn)為1。

圖12 控制構(gòu)型VI

步驟6同樣操作方法設(shè)計積分器C1，在“Dynamics”空白區(qū)域，選擇“Add Pole/Zero”選項，再選擇“Integrator”選項。經(jīng)過試湊和驗(yàn)算，積分系數(shù)為150，采用積分負(fù)反饋以及局部反饋校正后系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線如圖13所示，此時系統(tǒng)的幅值裕量為15.4 dB，相位裕量為89.2°，系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)定性。但是積分校正會使系統(tǒng)相位儲備下降，此時系統(tǒng)在10 Hz處幅值衰減約4 dB，相位滯后約為60°，如圖14所示。

圖13 積分-局部反饋校正系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

圖14 積分-局部反饋校正系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性

步驟7同樣操作方法設(shè)計積分器F，在保證穩(wěn)定的前提下，前饋環(huán)節(jié)的比例系數(shù)為1.9。經(jīng)復(fù)合校正后的系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)曲線如圖15所示。從圖中可以看出，經(jīng)復(fù)合校正后的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較小，系統(tǒng)在10 Hz處相位滯后約為8°，-10°相移約為20 Hz。

圖15 復(fù)合校正后系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性曲線

經(jīng)過復(fù)合校正后的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖16所示，階躍響應(yīng)調(diào)整時間小于0.05 s，校正后的超調(diào)量不超過10%。

5 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證復(fù)合控制策略的有效性，進(jìn)一步利用所設(shè)計的復(fù)合控制器進(jìn)行柔索驅(qū)動單元主動加載控制實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)合第4節(jié)的理論分析結(jié)果，同時根據(jù)實(shí)驗(yàn)過程中系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)情況對復(fù)合控制器各部分參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，最終確定復(fù)合控制器各部分的參數(shù)為：局部反饋校正環(huán)節(jié)Ka=0.05、ωan=130 rad/s、ξan=0.8、ωad=1 000 rad/s、ξad=0.9；積分負(fù)反饋環(huán)節(jié)Ki=150；前饋校正環(huán)節(jié)K=2.8。進(jìn)行主動加載實(shí)驗(yàn)，期望負(fù)載力為正弦信號，頻率分別為1 Hz和10 Hz、幅值為20 N，初始情況下柔索的預(yù)緊力為150 N。復(fù)合控制主動加載實(shí)驗(yàn)效果如圖17和圖18所示。

圖16 復(fù)合校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)

圖17 1 Hz復(fù)合控制跟蹤曲線

圖18 10 Hz復(fù)合控制跟蹤曲線

在圖17和圖18中，虛線為期望負(fù)載力，實(shí)線為柔索驅(qū)動單元實(shí)際產(chǎn)生的負(fù)載力。當(dāng)給定頻率為1Hz時，柔索驅(qū)動單元實(shí)際負(fù)載力曲線能夠很好地跟隨期望負(fù)載力曲線；當(dāng)給定信號頻率為10 Hz時，系統(tǒng)相位滯后約為9°，實(shí)際力幅值為期望力的0.95倍(-0.45 dB)，加載誤差不超過10%。所設(shè)計的柔索驅(qū)動復(fù)合控制器滿足控制器設(shè)計要求。

6 結(jié) 語

本文以柔索驅(qū)動力伺服控制系統(tǒng)為研究對象，建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，分析了柔索驅(qū)動前向通道傳遞函數(shù)的頻率特性，明確了基本控制問題，確定了柔索驅(qū)動單元復(fù)合控制策略，進(jìn)一步利用SISOtool對系統(tǒng)前向通道控制器進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計，最后對柔索驅(qū)動復(fù)合力控制策略進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。設(shè)計過程及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，SISOtool可簡化單輸入-單輸出控制系統(tǒng)設(shè)計過程，設(shè)計過程直觀高效。SISOtool工具箱對于控制理論的學(xué)習(xí)及控制系統(tǒng)的設(shè)計都具有重要的參考意義，便于實(shí)驗(yàn)教學(xué)和科學(xué)研究。