張劉方 丁宇 陳雪平 馬強
摘? ? 要:中心組合設(shè)計是響應(yīng)曲面設(shè)計的重要內(nèi)容,需要通過試驗、建模、數(shù)據(jù)分析,從而選擇最優(yōu)設(shè)計方法。研究重點介紹了Box-Behnken設(shè)計(BBD設(shè)計),然后探討了試驗在缺失一個數(shù)據(jù)后,若干效率準則的變化(包括D-效率,E-效率,A-效率),討論了各類設(shè)計中不同部分缺失一個數(shù)據(jù)時的效率值變化。結(jié)果表明,效率隨因子數(shù)的變化呈現(xiàn)相同的趨勢;最后,給出了使得效率損失最小的設(shè)計方案。
關(guān)鍵詞:Box-Behnken設(shè)計;D-效率;E-效率;A-效率
中圖分類號:O224? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼:A? ? ? ? ? ? ? 文章編號:2095-7394(2019)06-0082-06
響應(yīng)曲面設(shè)計是試驗設(shè)計的一種。試驗設(shè)計是使用頻率最高的統(tǒng)計方法之一,最早由英國統(tǒng)計學家費歇爾(R. A. Fisher)在1935年提出,至今已有80多年的歷史。在試驗設(shè)計的發(fā)展道路上,大致經(jīng)歷了四個階段,即傳統(tǒng)的方差分析、正交試驗設(shè)計、信噪比試驗設(shè)計與產(chǎn)品的三次設(shè)計、電腦仿真試驗。其基本思想是對試驗方案做出合理安排,使試驗數(shù)據(jù)有合適的數(shù)學模型,以減少隨機誤差的影響,從而提高試驗結(jié)論的精度和可靠度[1]。
Box-Behnken設(shè)計由Box和Behnken在1960年提出,是由因子設(shè)計與不完全集區(qū)設(shè)計結(jié)合而成的適應(yīng)響應(yīng)曲面設(shè)計的三水平設(shè)計。Box-Behnken設(shè)計非常重要的特性是以較少的試驗次數(shù),去估計一階、二階與交互作用項[2],并且在因素數(shù)相同的情況下,Box-Behnken設(shè)計的試驗次數(shù)要比中心組合設(shè)計的次數(shù)少,所以更經(jīng)濟,可稱為具有更高效率的響應(yīng)曲面設(shè)計法。 它是一種符合旋轉(zhuǎn)性或幾乎可旋轉(zhuǎn)性的球面設(shè)計[3]。
1? ? 效率值計算
1.1? D-效率
試驗設(shè)計評定效率準則中最常用的是D-效率[4],它是用矩陣的形式來判定試驗設(shè)計是否最優(yōu)的一種準則,用到的矩陣是[XTX]。但是,在帶有一個缺失數(shù)據(jù)時,采用的矩陣是[XTrXr]。同[XTX]一樣,[XTrXr]也包含方差和協(xié)方差,控制設(shè)計方案的主要方法就是控制這個矩陣的方差和協(xié)方差。 討論矩陣的一個重要標準是行列式,把矩陣[(XTrXr)-1]的特征值[λ1,λ2…,λp]的最大特征值、算術(shù)平均特征值和幾何平均特征值用[λmax]、[λ]和[λ]來表示,則[D0=XTrXr=i=1pλ-1i=λ-p]。為了消除試驗次數(shù)和因子個數(shù)帶來的影響,可以定義[D=(n-1)-1XTrXr1/p],其中[p=(k+1)(k+2)/2]。[p]是在具體模型中的參數(shù)個數(shù),[n]是總的試驗次數(shù)。 D-效率設(shè)計就是求[XTrXr]的最大化,也就是說求[MaxζXTrXr(ζ)],其中[ζ]表示不同的設(shè)計序號[5]。
1.2? A-效率
1.3? E-效率
2? ? Box-Behnken設(shè)計
2.1? 對BBD設(shè)計進行方案設(shè)計
在因子為3時,設(shè)計方案(K=4、5、6時的設(shè)計方案與K=3時相似,所以表1只列了K=3時的設(shè)計方案)見表1。
2.2? 將設(shè)計的方案進行試驗,得到數(shù)據(jù)并進行BBD設(shè)計的效率值分析
從表2中可以直觀看出,各效率值的變化與沒有缺失數(shù)據(jù)的效率值基本保持一致。即隨著因子數(shù)的增加,各效率值在不斷降低。其中D-效率降低幅度值較大,A-效率和E-效率降低幅度值較小。
由表3可以明顯地看出,效率值變化趨勢和表2情況一致。綜合可以得出以下結(jié)論:不管這一缺失數(shù)據(jù)發(fā)生在Box-Behnken設(shè)計的哪一行,在強度相近或相同的情況下,隨著因子數(shù)的增加,D-效率、A-效率、E-效率都呈遞減趨勢。
3? ? APM設(shè)計、CCD設(shè)計、BBD設(shè)計的比較
由于Augmented Pairs Minimax Design(APM設(shè)計)、Central Composite Design(CCP設(shè)計)、Box-Behnken Design(BBD設(shè)計)的每種設(shè)計各部分缺失一個數(shù)據(jù)的效率值發(fā)生趨勢是基本相同的,所以僅用第一部分帶有一個缺失數(shù)據(jù)的APM設(shè)計的效率圖與原點處帶有一個缺失數(shù)據(jù)的Box-Behnken設(shè)計的效率圖進行對比。如圖1,不難發(fā)現(xiàn)APM設(shè)計和BBD設(shè)計的A-效率、E-效率,均隨著因子數(shù)的增加而減少,而APM設(shè)計的A-效率、E-效率趨向于零,D-效率與上兩種設(shè)計有很大的差異。
比較圖2、圖3可以看出:CCD設(shè)計的A-效率、E-效率與BBD設(shè)計基本一致,都呈遞減趨勢,只是BBD設(shè)計的A-效率值、E-效率值在K=3時略大于CCD的A-效率值、E-效率值;而兩種設(shè)計的D效率值相差較大,BBD設(shè)計的D-效率值隨著因子數(shù)的增加不斷降低,而CCD的D-效率大體上遞減,但在因子數(shù)為5、試驗次數(shù)為30(對應(yīng)橫坐標第一個5)時D-效率較低,在因子數(shù)為5、試驗次數(shù)為46(對應(yīng)橫坐標第一個5)時D-效率又升高至0.55,在因子數(shù)為7時D-效率值下降到0。
綜上所述,不同的設(shè)計在缺失一個數(shù)據(jù)的情況下三種效率值有一定的相似之處。即:A-效率值和E-效率值都較小且呈遞減趨勢;D-效率值較大但幾乎沒有規(guī)律可循。在缺失一個數(shù)據(jù)的情況下,這一現(xiàn)象也是符合實際要求的,即A-效率值、E-效率值越小越好,D-效率值越大越好。
4? ? 因子數(shù)一定時的最優(yōu)設(shè)計
4.1? K=3時,三種設(shè)計的各效率值比較
K=3時,由表4可以看出,APM設(shè)計的D-效率值最高,A-效率值、E-效率值最低。此時,在缺失一個數(shù)據(jù)時APM設(shè)計最優(yōu)。
4.2? K=4時,三種設(shè)計的各效率值比較
K=4時,由表5可見,CCD設(shè)計的D-效率值最高,其A-效率值略低于其它兩種設(shè)計,而三種設(shè)計的E-效率值幾乎相等。所以,此時CCD設(shè)計較優(yōu)。
4.3? K=5時,三種設(shè)計的各效率值比較
K=5時,從表6中可以看出,CCD設(shè)計的D-效率最高。同時,其A-效率、E-效率最小。此時,CCD 設(shè)計最優(yōu)。
4.4? K=6時,三種設(shè)計的各效率值比較
K=6時,從表7可見,D-效率最高的依舊是CCD設(shè)計,BBD設(shè)計的A-效率、E-效率最低。所以,若以D-效率為判別準則,則選用CCD設(shè)計;若以A-效率、E-效率為判別準則,則選用BBD設(shè)計。
5? ? 結(jié)語
通過上文討論可以發(fā)現(xiàn):不同的設(shè)計其效率損失也不同;因子數(shù)不同時,所表現(xiàn)出的效率損失也不盡相同。我們可以根據(jù)因子數(shù)的不同,選擇不同的設(shè)計,使得效率損失最小。通過對每種設(shè)計都采用三種效率準則計算,發(fā)現(xiàn)在不同效率準則下,最優(yōu)設(shè)計也存在差異。同時,還可以發(fā)現(xiàn)對于每種設(shè)計,不管是哪一部分帶有缺失數(shù)據(jù),效率隨因子數(shù)的變化呈現(xiàn)相同的趨勢。最后,在因子數(shù)相同的條件下,將不同設(shè)計在不同效率準則下的效率值進行歸類。結(jié)果表明:在因子數(shù)較小時,CCD設(shè)計優(yōu)于BBD設(shè)計和APM設(shè)計。
參考文獻:
[1] 趙選民.試驗設(shè)計方法[M]. 北京:科學出版社,2006.
[2] 陳立周. 穩(wěn)健設(shè)計[M]. 北京:機械工業(yè)出版社,2000.
[3] WHITTINGHILL D C. A note on the robustness of Box-Behnken designs to the unavailability of data[J]. Metrika, 1998, 48(1):49-52.
[4] DRAPER N R. Small Composite Designs[J]. Technometrics,1985,27(2): 173-180.
[5] LEE C P . D-Optimal Designs for Second-Order Response Surface Models on a Spherical Design Region with Qualitative Factors[D].Gaoxiong: NSYSU,2011.
[6] 方開泰,劉民千,周永道. 試驗設(shè)計與建模[M]. 北京:高等教育出版社,2011.
[7] XU Hong-quan, JAYNES Jessica,DING Xian-tiang. Combining Two-Level and Three-Level Orthogonal Arrays for Factor Screening and Response Surface Exploration[J].Statistica Sinica,2014,24(1): 269-289.