張劉方 丁宇 陳雪平 馬強

摘? ? 要：中心組合設(shè)計是響應(yīng)曲面設(shè)計的重要內(nèi)容，需要通過試驗、建模、數(shù)據(jù)分析，從而選擇最優(yōu)設(shè)計方法。研究重點介紹了Box-Behnken設(shè)計（BBD設(shè)計），然后探討了試驗在缺失一個數(shù)據(jù)后，若干效率準則的變化（包括D-效率，E-效率，A-效率），討論了各類設(shè)計中不同部分缺失一個數(shù)據(jù)時的效率值變化。結(jié)果表明，效率隨因子數(shù)的變化呈現(xiàn)相同的趨勢;最后，給出了使得效率損失最小的設(shè)計方案。

關(guān)鍵詞：Box-Behnken設(shè)計;D-效率;E-效率;A-效率

中圖分類號：O224? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-7394（2019）06-0082-06

響應(yīng)曲面設(shè)計是試驗設(shè)計的一種。試驗設(shè)計是使用頻率最高的統(tǒng)計方法之一，最早由英國統(tǒng)計學(xué)家費歇爾（R. A. Fisher）在1935年提出，至今已有80多年的歷史。在試驗設(shè)計的發(fā)展道路上，大致經(jīng)歷了四個階段，即傳統(tǒng)的方差分析、正交試驗設(shè)計、信噪比試驗設(shè)計與產(chǎn)品的三次設(shè)計、電腦仿真試驗。其基本思想是對試驗方案做出合理安排，使試驗數(shù)據(jù)有合適的數(shù)學(xué)模型，以減少隨機誤差的影響，從而提高試驗結(jié)論的精度和可靠度[1]。

Box-Behnken設(shè)計由Box和Behnken在1960年提出，是由因子設(shè)計與不完全集區(qū)設(shè)計結(jié)合而成的適應(yīng)響應(yīng)曲面設(shè)計的三水平設(shè)計。Box-Behnken設(shè)計非常重要的特性是以較少的試驗次數(shù)，去估計一階、二階與交互作用項[2]，并且在因素數(shù)相同的情況下，Box-Behnken設(shè)計的試驗次數(shù)要比中心組合設(shè)計的次數(shù)少，所以更經(jīng)濟，可稱為具有更高效率的響應(yīng)曲面設(shè)計法。 它是一種符合旋轉(zhuǎn)性或幾乎可旋轉(zhuǎn)性的球面設(shè)計[3]。

1? ? 效率值計算

1.1? D-效率

試驗設(shè)計評定效率準則中最常用的是D-效率[4]，它是用矩陣的形式來判定試驗設(shè)計是否最優(yōu)的一種準則，用到的矩陣是[XTX]。但是，在帶有一個缺失數(shù)據(jù)時，采用的矩陣是[XTrXr]。同[XTX]一樣，[XTrXr]也包含方差和協(xié)方差，控制設(shè)計方案的主要方法就是控制這個矩陣的方差和協(xié)方差。 討論矩陣的一個重要標準是行列式，把矩陣[（XTrXr）-1]的特征值[λ1，λ2…，λp]的最大特征值、算術(shù)平均特征值和幾何平均特征值用[λmax]、[λ]和[λ]來表示，則[D0=XTrXr=i=1pλ-1i=λ-p]。為了消除試驗次數(shù)和因子個數(shù)帶來的影響，可以定義[D=（n-1）-1XTrXr1/p]，其中[p=（k+1）（k+2）/2]。[p]是在具體模型中的參數(shù)個數(shù)，[n]是總的試驗次數(shù)。 D-效率設(shè)計就是求[XTrXr]的最大化，也就是說求[MaxζXTrXr（ζ）]，其中[ζ]表示不同的設(shè)計序號[5]。

1.2? A-效率

1.3? E-效率

2? ? Box-Behnken設(shè)計

2.1? 對BBD設(shè)計進行方案設(shè)計

在因子為3時，設(shè)計方案（K=4、5、6時的設(shè)計方案與K=3時相似，所以表1只列了K=3時的設(shè)計方案）見表1。

2.2? 將設(shè)計的方案進行試驗，得到數(shù)據(jù)并進行BBD設(shè)計的效率值分析

從表2中可以直觀看出，各效率值的變化與沒有缺失數(shù)據(jù)的效率值基本保持一致。即隨著因子數(shù)的增加，各效率值在不斷降低。其中D-效率降低幅度值較大，A-效率和E-效率降低幅度值較小。

由表3可以明顯地看出，效率值變化趨勢和表2情況一致。綜合可以得出以下結(jié)論：不管這一缺失數(shù)據(jù)發(fā)生在Box-Behnken設(shè)計的哪一行，在強度相近或相同的情況下，隨著因子數(shù)的增加，D-效率、A-效率、E-效率都呈遞減趨勢。

3? ? APM設(shè)計、CCD設(shè)計、BBD設(shè)計的比較

由于Augmented Pairs Minimax Design（APM設(shè)計）、Central Composite Design（CCP設(shè)計）、Box-Behnken Design（BBD設(shè)計）的每種設(shè)計各部分缺失一個數(shù)據(jù)的效率值發(fā)生趨勢是基本相同的，所以僅用第一部分帶有一個缺失數(shù)據(jù)的APM設(shè)計的效率圖與原點處帶有一個缺失數(shù)據(jù)的Box-Behnken設(shè)計的效率圖進行對比。如圖1，不難發(fā)現(xiàn)APM設(shè)計和BBD設(shè)計的A-效率、E-效率，均隨著因子數(shù)的增加而減少，而APM設(shè)計的A-效率、E-效率趨向于零，D-效率與上兩種設(shè)計有很大的差異。

比較圖2、圖3可以看出：CCD設(shè)計的A-效率、E-效率與BBD設(shè)計基本一致，都呈遞減趨勢，只是BBD設(shè)計的A-效率值、E-效率值在K=3時略大于CCD的A-效率值、E-效率值;而兩種設(shè)計的D效率值相差較大，BBD設(shè)計的D-效率值隨著因子數(shù)的增加不斷降低，而CCD的D-效率大體上遞減，但在因子數(shù)為5、試驗次數(shù)為30（對應(yīng)橫坐標第一個5）時D-效率較低，在因子數(shù)為5、試驗次數(shù)為46（對應(yīng)橫坐標第一個5）時D-效率又升高至0.55，在因子數(shù)為7時D-效率值下降到0。

綜上所述，不同的設(shè)計在缺失一個數(shù)據(jù)的情況下三種效率值有一定的相似之處。即：A-效率值和E-效率值都較小且呈遞減趨勢;D-效率值較大但幾乎沒有規(guī)律可循。在缺失一個數(shù)據(jù)的情況下，這一現(xiàn)象也是符合實際要求的，即A-效率值、E-效率值越小越好，D-效率值越大越好。

4? ? 因子數(shù)一定時的最優(yōu)設(shè)計

4.1? K=3時，三種設(shè)計的各效率值比較

K=3時，由表4可以看出，APM設(shè)計的D-效率值最高，A-效率值、E-效率值最低。此時，在缺失一個數(shù)據(jù)時APM設(shè)計最優(yōu)。

4.2? K=4時，三種設(shè)計的各效率值比較

K=4時，由表5可見，CCD設(shè)計的D-效率值最高，其A-效率值略低于其它兩種設(shè)計，而三種設(shè)計的E-效率值幾乎相等。所以，此時CCD設(shè)計較優(yōu)。

4.3? K=5時，三種設(shè)計的各效率值比較

K=5時，從表6中可以看出，CCD設(shè)計的D-效率最高。同時，其A-效率、E-效率最小。此時，CCD 設(shè)計最優(yōu)。

4.4? K=6時，三種設(shè)計的各效率值比較

K=6時，從表7可見，D-效率最高的依舊是CCD設(shè)計，BBD設(shè)計的A-效率、E-效率最低。所以，若以D-效率為判別準則，則選用CCD設(shè)計;若以A-效率、E-效率為判別準則，則選用BBD設(shè)計。

5? ? 結(jié)語

通過上文討論可以發(fā)現(xiàn)：不同的設(shè)計其效率損失也不同;因子數(shù)不同時，所表現(xiàn)出的效率損失也不盡相同。我們可以根據(jù)因子數(shù)的不同，選擇不同的設(shè)計，使得效率損失最小。通過對每種設(shè)計都采用三種效率準則計算，發(fā)現(xiàn)在不同效率準則下，最優(yōu)設(shè)計也存在差異。同時，還可以發(fā)現(xiàn)對于每種設(shè)計，不管是哪一部分帶有缺失數(shù)據(jù)，效率隨因子數(shù)的變化呈現(xiàn)相同的趨勢。最后，在因子數(shù)相同的條件下，將不同設(shè)計在不同效率準則下的效率值進行歸類。結(jié)果表明：在因子數(shù)較小時，CCD設(shè)計優(yōu)于BBD設(shè)計和APM設(shè)計。

參考文獻：

[1] 趙選民.試驗設(shè)計方法[M]. 北京：科學(xué)出版社，2006.

[2] 陳立周. 穩(wěn)健設(shè)計[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，2000.

[3] WHITTINGHILL D C. A note on the robustness of Box-Behnken designs to the unavailability of data[J]. Metrika， 1998， 48（1）：49-52.

[4] DRAPER N R. Small Composite Designs[J]. Technometrics，1985，27（2）： 173-180.

[5] LEE C P . D-Optimal Designs for Second-Order Response Surface Models on a Spherical Design Region with Qualitative Factors[D].Gaoxiong： NSYSU，2011.

[6] 方開泰，劉民千，周永道. 試驗設(shè)計與建模[M]. 北京：高等教育出版社，2011.

[7] XU Hong-quan， JAYNES Jessica，DING Xian-tiang. Combining Two-Level and Three-Level Orthogonal Arrays for Factor Screening and Response Surface Exploration[J].Statistica Sinica，2014，24（1）： 269-289.