楊 洋，趙 軍，尚 昆，吳 丹

（上海理工大學(xué)，上海200082）

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和工業(yè)的發(fā)展，高壓氣體的應(yīng)用越來越廣泛[1，2]。但由于氣體的可壓縮性遠(yuǎn)大于液體的可壓縮性，氣體壓力特別是高壓氣體的壓力和流量更是難以精確控制[3]。壓縮空氣系統(tǒng)的效率偏低，浪費(fèi)嚴(yán)重等問題也逐漸引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者們的重視[4-10]。

傳統(tǒng)空壓站通過提高整個(gè)系統(tǒng)的供氣壓力，使系統(tǒng)在大負(fù)荷事件發(fā)生時(shí)，其壓力波動(dòng)的最低點(diǎn)仍然高于對(duì)壓力要求最苛刻的用氣設(shè)備的壓力需求。這就導(dǎo)致了空壓站在整個(gè)運(yùn)行時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的供氣壓力始終高于系統(tǒng)實(shí)際的壓力需求，系統(tǒng)的耗氣量也隨之增加，最終使整個(gè)空壓機(jī)系統(tǒng)的能耗大幅度增加[11]。壓力流量控制系統(tǒng)安裝于供氣端和用氣端之間，主要作用是通過控制儲(chǔ)氣罐內(nèi)的壓力和閥門的開度從而控制系統(tǒng)的耗氣量。壓力流量控制系統(tǒng)可以穩(wěn)定系統(tǒng)壓力的波動(dòng)，可以以恒定的供氣壓力和供氣流量滿足生產(chǎn)生活的需求[12]。而壓力流量控制的數(shù)學(xué)模型，則是建立壓力流量控制系統(tǒng)的前提。

2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

2.1 實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖1所示，主要由空壓機(jī)、冷干機(jī)、穩(wěn)壓罐、壓力變送器、熱式流量計(jì)、單座閥等部件組成。

在容積式空壓站的運(yùn)行過程當(dāng)中，空氣經(jīng)壓縮機(jī)壓縮過后，通過直管段1流入冷干機(jī)進(jìn)行冷卻除濕，經(jīng)過冷卻除濕后的空氣經(jīng)過直管段2匯集到穩(wěn)壓罐中，穩(wěn)壓罐可以降低系統(tǒng)壓力的波動(dòng)，使系統(tǒng)的設(shè)備穩(wěn)定運(yùn)行。儲(chǔ)存在穩(wěn)壓罐中的壓縮空氣最終通過直管段3輸送到工業(yè)用氣的各個(gè)環(huán)節(jié)之中。本實(shí)驗(yàn)直管段3管徑為DN40，出口負(fù)載管徑為DN20。

壓力流量控制系統(tǒng)安裝于供氣端和用氣端之間，即如圖1所示的直管段3。本文主要通過控制單座閥在不同開度的工況下，通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測(cè)得穩(wěn)壓罐中的壓力，直管段3的排氣壓力以及排氣流量。利用Matlab擬合工具箱的數(shù)據(jù)處理功能，采用基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合的方法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立排氣壓力，體積流量分別關(guān)于穩(wěn)壓罐中的壓力和單座閥開度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)通過USB2805C數(shù)據(jù)采集卡采集表1所示的測(cè)量?jī)x表的輸出信號(hào)，各被測(cè)參數(shù)首先由相應(yīng)的測(cè)量?jī)x表轉(zhuǎn)換成電信號(hào)，然后該電信號(hào)經(jīng)過信號(hào)調(diào)理電路，轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)模擬電信號(hào)，最后通過數(shù)據(jù)采集卡的模擬輸入通道進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換后，生成可以被計(jì)算機(jī)識(shí)別的數(shù)字信號(hào)。數(shù)字信號(hào)的處理由計(jì)算機(jī)通過軟件來完成。

2.2 節(jié)流元件

本實(shí)驗(yàn)采用ZJHP氣動(dòng)精小型單座閥來控制空壓站輸出的壓力和流量，其由ZHA（B）型氣動(dòng)多彈簧薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)和VJP型低流阻直通單座閥組成。單座閥的主要結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，其主要參數(shù)如表2所示。

3 壓縮空氣理論壓力流量模型

3.1 排氣壓力模型

根據(jù)氣體管道通用計(jì)算方法，可以知道穩(wěn)壓罐內(nèi)的壓力等于穩(wěn)壓罐和排氣壓力測(cè)點(diǎn)之間的總沿程壓降損失、總局部壓降損失和排氣壓力三者之和，設(shè)0為入口狀態(tài)，2為出口狀態(tài)，則可得到[13]

式中 p2——排氣壓力，Pa

p0——穩(wěn)壓罐內(nèi)的壓力，Pa

圖1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖

表1 測(cè)量?jī)x表

圖2 單座閥結(jié)構(gòu)示意圖

表2 單座閥主要參數(shù)

pf——沿程壓降損失，Pa

pζ——局部壓降損失，Pa

由圖1可知，直管段3中總沿程壓降損失為一定值，總局部壓降損失只和單座閥的開度有關(guān)。于是可以知道排氣壓力p2，與穩(wěn)壓罐內(nèi)的壓力p0和單座閥的實(shí)際行程h有關(guān)。

3.2 質(zhì)量流量模型

根據(jù)熱力學(xué)第一定律：熱量可以從一個(gè)物體傳遞到另一個(gè)物體，也可以與機(jī)械能或其他能量互相轉(zhuǎn)換，但是在轉(zhuǎn)換過程中，能量的總值保持不變。即Q=ΔU+W?？赏茖?dǎo)出絕熱流動(dòng)下的能量方程為。

式中 v——速度

k——絕熱指數(shù)

p——壓力

ρ——密度

忽略空氣的粘性，即流動(dòng)過程為等熵流動(dòng)，引入等熵關(guān)系式。

所以質(zhì)量流量G=ρ2A2v2。考慮極限情況，當(dāng)出口截面上的壓強(qiáng)為臨界壓強(qiáng)時(shí)，流量達(dá)到最大值，出口速度為音速，此時(shí)對(duì)于空氣來講，k為1.4，所以此時(shí)p0=1.89p2。綜上所述，我們可以得到壓縮空氣的質(zhì)量流量模型如下所示[14]。當(dāng)p2≤p0≤1.89p2時(shí)，可得

當(dāng)1.89p2≤p0時(shí)，可得

式中 A2——出口的有效截面積，m2

p0——穩(wěn)壓罐內(nèi)的壓力，Pa

p2——排氣壓力，Pa

T0——穩(wěn)壓罐內(nèi)空氣的熱力學(xué)溫度，k R——?dú)怏w常數(shù)，287.05J/（kg·k）

k——絕熱指數(shù)

由壓縮空氣的質(zhì)量流量模型（5）和（6）可知，質(zhì)量流量只和p0、p2、A2以及T0有關(guān)。但在實(shí)際的容積式空壓站中，空氣的流動(dòng)近似于絕熱流動(dòng)，經(jīng)過冷干機(jī)流入到穩(wěn)壓罐中的空氣，其溫度基本變化不大，因此在實(shí)際運(yùn)行過程中，可以把T0看成一個(gè)常量，即不需考慮T0的影響。因此可以將質(zhì)量流量G看成是一個(gè)只和p0、p2、A2這3個(gè)量相關(guān)的一個(gè)量。

3.3 體積流量模型

在實(shí)際的工業(yè)應(yīng)用當(dāng)中，現(xiàn)場(chǎng)更多討論的都是體積流量，于是在上文給出的質(zhì)量流量模型的基礎(chǔ)之上，接著給出體積流量模型。

體積流量公式：Q=A2v2，將公式（3）帶入并且引入氣體狀態(tài)方程p=ρRT可得

當(dāng)p2≤p0≤1.89p2時(shí)

式中 A2——出口的有效截面積，m2

p0——穩(wěn)壓罐內(nèi)的壓力，Pa

p2——排氣壓力，Pa

T0——穩(wěn)壓罐內(nèi)空氣的熱力學(xué)溫度，k

R——?dú)怏w常數(shù)，287.05J/（kg·k）

k——絕熱指數(shù)

分析式（7）和式（8），可知：體積流量Q只和p0、p2、A2這3個(gè)量有關(guān)。

3.4 小結(jié)

通過上文的分析可以知道排氣壓力p2只和穩(wěn)壓罐內(nèi)的壓力p0和單座閥的實(shí)際行程h相關(guān)。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，可以用閥門的開度來代替這個(gè)有效截面積，在本文中，用單座閥的實(shí)際行程h來代替有效截面積A2。于是可得體積流量Q和p0、p2、h相關(guān)，且p2又可以看成是一個(gè)只和p0和h相關(guān)的量，于是體積流量Q其實(shí)也就只和穩(wěn)壓罐內(nèi)的壓力p0和單座閥的實(shí)際行程h相關(guān)。因此可以通過控制單座閥的實(shí)際行程h，采集不同穩(wěn)壓罐壓力p0下對(duì)應(yīng)的排氣壓力p2和體積流量Q來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總處理。

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理

4.1 多項(xiàng)式的擬合

科學(xué)研究課題中，有時(shí)候我們需要建立幾個(gè)變量之間的關(guān)系，但實(shí)際的數(shù)學(xué)之間的關(guān)系式并非線性的，我們就要根據(jù)n對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi，zi）找出這種函數(shù)關(guān)系z(mì)=f（x，y）。但這種函數(shù)關(guān)系往往很難通過理論分析得到，我們便可根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合假定其為一多項(xiàng)式，并求出多項(xiàng)式的階數(shù)及系數(shù)，這稱為多項(xiàng)式的擬合[15]。

本文主要依據(jù)多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過控制單座閥的開度，保持單座閥的開度不變，采集在不同開度之下穩(wěn)壓罐內(nèi)的壓力p0，排氣壓力p2，體積流量Q的n組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用Matlab擬合工具箱，采用多項(xiàng)式擬合結(jié)合最小二乘法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，建立其數(shù)學(xué)模型。

從上文的分析可知，為了后續(xù)壓力流量控制系統(tǒng)的建立，需要構(gòu)建排氣壓力p2關(guān)于穩(wěn)壓罐的壓力p0和單座閥實(shí)際行程h的數(shù)學(xué)表達(dá)式以及體積流量Q關(guān)于穩(wěn)壓罐p0和單座閥實(shí)際行程h的數(shù)學(xué)表達(dá)式。以排氣壓力p2關(guān)于穩(wěn)壓罐的壓力p0和單座閥的實(shí)際行程h的關(guān)系為例，故可認(rèn)為排氣壓力p2是關(guān)于穩(wěn)壓罐的壓力p0和單座閥的實(shí)際行程h的二元函數(shù)，即p2=f（p0，h）。可用多項(xiàng)式擬合的方法構(gòu)造出排氣壓力與穩(wěn)壓罐的壓力和單座閥實(shí)際行程的關(guān)系式，其模型通式為

式中 p2——排氣壓力

n——多項(xiàng)式的最高次冪

aij——多項(xiàng)式的系數(shù)

p0——穩(wěn)壓罐的壓力

h——單座閥的實(shí)際行程

擬合函數(shù)由多項(xiàng)式系數(shù)aij（i，j=0，1，2，…，n）確定，Matlab的擬合工具箱則是通過最小二乘法擬合出多項(xiàng)式的系數(shù)。

4.2 實(shí)驗(yàn)建模

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合上述多項(xiàng)式的擬合方法，利用Matlab擬合工具箱的擬合程序可以求解得排氣壓力與穩(wěn)壓罐的壓力和單座閥的實(shí)際行程的關(guān)系式如式（10）所示，并可得到排氣壓力模型的三維曲面如圖3所示。

同樣根據(jù)上式（9）的多項(xiàng)式擬合的方法，利用Matlab擬合工具箱的擬合程序可以求解得體積流量與穩(wěn)壓罐的壓力和單座閥的實(shí)際行程的關(guān)系式如式（11）所示，并可得到體積流量模型的三維曲面如圖4所示。

圖3 排氣壓力模型的三維曲面

圖4 體積流量模型的三維曲面

所以式（10）和式（11）就是排氣壓力和體積流量，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合后分別關(guān)于穩(wěn)壓罐的壓力和單座閥的實(shí)際行程的數(shù)學(xué)模型。

5 結(jié)論

通過對(duì)比壓縮空氣的理論壓力流量模型和通過擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，可以得到以下結(jié)論：

（1）可以通過壓縮空氣的理論壓力流量模型來指導(dǎo)我們的實(shí)驗(yàn)，通過對(duì)壓縮空氣理論壓力流量模型的推導(dǎo)，我們可以知道排氣壓力和體積流量，只和穩(wěn)壓罐中的壓力和控制閥門的開度有關(guān)。

（2）在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過程當(dāng)中，考慮到空壓站不可避免的漏氣，控制閥門的多樣性以及其內(nèi)流場(chǎng)的復(fù)雜性等情況，這就導(dǎo)致了所推導(dǎo)的理論流量模型在實(shí)際的應(yīng)用中存在很大的誤差。而通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合得出來的數(shù)學(xué)模型則可以將現(xiàn)場(chǎng)的所有情況考慮進(jìn)去，具有很強(qiáng)的應(yīng)用性，可以為后續(xù)壓力流量控制系統(tǒng)的建立提供數(shù)學(xué)模型，從而降低工業(yè)空壓站的能耗。

（3）通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的出來的數(shù)學(xué)模型具有一定的預(yù)測(cè)性，對(duì)實(shí)驗(yàn)未涉及到的工況具有一定的預(yù)測(cè)作用。