黃旭明

(福建省福安市第三中學(xué) 355002)

高中數(shù)學(xué)課程標準把運算能力作為數(shù)學(xué)的基本能力，指出：運算求解、數(shù)據(jù)處理的能力是數(shù)學(xué)思維能力的重要組成部分，是數(shù)學(xué)思維能力的具體表現(xiàn).而高考中的大部分題目也是需要通過運算才能解決的.因此，在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)策略.

一、落實運算的準確性

理解基本概念，明晰運算法則，掌握解題分析的一般原則，是進行運算求解的前提.

案例1 已知集合A、B、C滿足A∪B=A∪C，那可能推得( ).

A.B=CB.A∩B=A∩C

在集合復(fù)習(xí)課上出示該題后，許多學(xué)生錯選A.錯解沒有正確理解題意，認為B=C時一定有A∪B=A∪C,誤把必要條件當成充分條件.實際上，A、B、C選項都不正確，這可以舉特例或利用韋思圖不難判斷.而對于D選項，可以證明如下：

解題過程是通過分析、綜合、比較、抽象、概括這一系列思維活動來完成的，而其中某個環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，將導(dǎo)致解題出錯.這使學(xué)生再一次認識到，準確的基礎(chǔ)知識加上嚴謹?shù)乃季S對正確運算解題的重要性.

二、掌握運算的綜合性

推理運算是與具體的數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系的，它是數(shù)學(xué)思想方法綜合運用的體現(xiàn).運算能力和空間想象、抽象概括、推理論證、數(shù)據(jù)處理等基本能力相互作用、相互支持的.

本題是課本必修1的12頁一道題的變形.解答該題，要用到數(shù)學(xué)中的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，要利用數(shù)軸求解不等式，再結(jié)合集合中的交集、并集、補集等一系列運算才能求解.這是對課本概念、知識，以及推理運算、思想方法的綜合應(yīng)用.對于學(xué)生，不但要知道怎樣算，更要理清算理，掌握運算的綜合性.通過這樣的訓(xùn)練，使學(xué)生的觀察能力、理解能力、聯(lián)想能力、表述能力相互滲透，不斷提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、辨析運算的合理性

數(shù)學(xué)解題過程中，總要進行一些運算.由于思維起點、思維方向、思維途徑的不同，對同一題目會產(chǎn)生出多種解題方法.

案例3 求過A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)三點的圓的方程.

這是數(shù)學(xué)教科書必修2P124A組2(2)題，在課堂展示該題后，讓學(xué)生獨立思考，然后展示交流.

生1:我考慮，要確定一個圓，需要知道圓心和半徑，因此我選用圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.再把三個點的坐標代入方程中，然后解方程組求出a、b、r.

生2:我是用圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，然后把三個點的坐標代入，解一次方程組，可求出D、E、F.

生3：我想到了圓的幾何性質(zhì)，圓內(nèi)接三角形三條邊的垂直平分線的交點是圓心，AB邊垂直平分線方程是x=2，BC邊垂直平分線方程是x-7y+5=0.兩式聯(lián)立，易求出圓心M(2，1)，半徑|MA|=5.所以所求圓的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.

師：以上三個同學(xué)的解題思路都對.解答數(shù)學(xué)題，我們不但要注意解題的依據(jù)，方法，更應(yīng)關(guān)注運算過程.請同學(xué)們對以上解法發(fā)表看法.

通過幾個同學(xué)的發(fā)言評價，大家覺得生2的解題思路直接，選擇的方程形式比較簡單，解一次方程組的運算量也不大；生3把問題直觀化，把代數(shù)與幾何相結(jié)合(即數(shù)形結(jié)合)，所列方程組簡單易解，解法最優(yōu).

解答數(shù)學(xué)題，不但要保證算理正確、方法可行、計算準確，更應(yīng)優(yōu)化思維、簡化運算(也即多想些，少算些)，使得解題更加便捷合理.這需要學(xué)生在解題訓(xùn)練中，不斷地交流鑒賞，比較分析，歸納總結(jié)，從而形成科學(xué)合理的解題思路.

四、培養(yǎng)運算的靈活性

解題過程的實施往往是通過運算來完成的.由于解題者思維品質(zhì)、解題經(jīng)驗、觀察角度的不同，導(dǎo)致了思維策略的差異，表現(xiàn)在知識聯(lián)系、轉(zhuǎn)換和運算過程，運算方法的選擇和調(diào)整過程.在三角公式復(fù)習(xí)課上，我選用了1978年的一道高考題：

思路(求值法) 先來求出sin(α+2β)=1.由其展開式知需要求出sinα、cos2β、cosα、sin2β的值.觀察題設(shè)兩式，可得cos2β=3sin2α①和sin2β=3sinαcosα②.

這是當年高考的標準答案.完成后我問：同學(xué)們對以上解題思路有什么看法？請思考，學(xué)生們普遍感到這道題把三角的同角、和差倍半公式全考到了，真是不容易，解題過程很煩瑣.能否改變思路，簡化運算求解？一會兒就有學(xué)生舉手示意.

生4：我想也可以通過計算cos(α+2β)=0來證明，而cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β.將上述的①和②式代入，立刻得到cos(α+2β)=0.這種解法就不用求出各三角式的具體值了.

學(xué)生們對生4的解法很是贊賞，真是少算而解.此時又一同學(xué)尋得另一新穎解法.

這種解法太簡單了！簡直是不算而解，令同學(xué)們稱奇.

比較以上三種解題思路，從中規(guī)中舉的思路1，到轉(zhuǎn)換思維的思路2，再到靈活處理的思路3，顯示了：多算→少算→不算的思維品質(zhì)差異.通過這樣的實例，使學(xué)生看到了其中蘊含的策略分析、化歸轉(zhuǎn)化等不同數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的真實展現(xiàn)，感悟了在解題目標引導(dǎo)下的三角公式的正用、逆用、變用、活用，培養(yǎng)了運算的靈活性.

五、開拓運算的創(chuàng)新性

新課標強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，鼓勵學(xué)生主動地進行觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動.而創(chuàng)新性思維是一種突破常規(guī)的思維方式，這種獨特的思維常使人們產(chǎn)生獨到的見解，做出具有特色的決策，從而獲得意想不到的效果.

案例5 如圖1，等腰直角△ABC的直角邊長為a，∠C=90°,頂點C、B分別在x軸、y軸的正半軸上滑動，求OA長的最大值.

在解析幾何復(fù)習(xí)課上，我選用這道題讓學(xué)生研究.2分鐘后，學(xué)生們陸續(xù)說出了解題思路.

然后消去參數(shù)θ，怎么消呢？

學(xué)生們紛紛稱贊生8綜合解題能力強，水平高.

師：同學(xué)們的解法越來越好.我們知道，解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題，反過來，我們也可以用幾何的方法來研究代數(shù)問題.請大家探究一下，這個問題中的圖形有什么幾何特征.

學(xué)生們驚嘆生9的新奇而獨特的想法，太妙了！

不難發(fā)現(xiàn)生9解法的創(chuàng)新之處：①代數(shù)問題?幾何問題；②動圖形?靜圖形；③挖掘出點O的幾何特征.

創(chuàng)新性思維的產(chǎn)生是以直觀、猜想和想象為基礎(chǔ)的.教師在教學(xué)中應(yīng)當鼓勵學(xué)生廣開思路，勇于探索，多多進行一題多解，一題多變，多題一解的訓(xùn)練，從中體會到思維的優(yōu)化，運算的簡化，創(chuàng)新的樂趣.

數(shù)學(xué)解題離不開運算，數(shù)學(xué)推理往往要通過運算來實現(xiàn).培養(yǎng)學(xué)生的運算求解能力，應(yīng)該從“扎實的基礎(chǔ)知識，良好的運算策略，優(yōu)秀的思維品質(zhì)”三個方面來著手.為適應(yīng)國家對開拓型、創(chuàng)新型人材的需求.在我們教師的辛苦努力下，學(xué)生的運算能力必有突破，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也將進一步提升.