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        特殊走向一般 一般包含特殊
        ——例談求解定點定值問題的兩條途徑

        2019-04-04 03:18:36蔡海濤
        數(shù)理化解題研究 2019年10期
        關(guān)鍵詞:定值評析斜率

        蔡海濤

        (福建省莆田第二中學(xué) 351131)

        圓錐曲線中的定點、定值問題在高考中頻頻出現(xiàn).這類問題往往是某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角度、直線的斜率)的大小或某些代數(shù)表達式的值和題目中的參數(shù)無關(guān),不隨參數(shù)的變化而變化,是一個不變的定量.求解這類問題常常有兩條途徑,一條是從特殊情況入手,發(fā)現(xiàn)特點,猜測出定點或定值,再通過觀察規(guī)律證明一般性情況,體現(xiàn)從特殊到一般的認(rèn)識過程.另一條途徑是從變量中尋求不變,即先用變量表示要求的量或點的坐標(biāo),再通過推理計算,得出這些量或點的坐標(biāo)和變量無關(guān),是一般到特殊的推理過程.這兩條途徑相得益彰,也是數(shù)學(xué)研究中常用的特殊與一般的重要思想方法.

        一、定點問題

        定點問題即曲線系(或直線系)過定點的問題,反映的是數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性,如圓錐曲線的某些特有性質(zhì).其本質(zhì)是:當(dāng)動曲線變化時,這些曲線相交于一點.

        (1)求橢圓E的方程;

        下面我們證明對于一般的直線l:y=kx+1,Q(0,2)也滿足題意.

        評析第(2)問,若沒有根據(jù)特殊情況入手,探究出Q點坐標(biāo),解題將面臨求解線段長或是線段比的繁雜運算而難以進行下去.而求出Q(0,2)坐標(biāo)之后,證明則簡單了許多,只須證明y軸為∠AQB的角平分線即可,再轉(zhuǎn)化為kQA=-kQB進行坐標(biāo)化,問題不難得以解決.在這里,從特殊探路在解題中起到關(guān)鍵的作用.

        (1)求C的方程;

        (2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點.

        (2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,

        由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.

        由題設(shè)k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.

        評析(2)問直線過定點問題,思路是把直線的方程設(shè)為y=kx+m,再利用已知條件尋找k,m間的關(guān)系,從而得到直線l只含有一個參數(shù),令參數(shù)的系數(shù)為0,則得到定點坐標(biāo). 一般地,若是其他曲線過定點,常將曲線中的參變量集中在一起,令其系數(shù)為0,求得定點.

        二、定值問題

        定值問題即在動點運動過程中,由某個變量的變化引起另一個量的變化或不變的問題.

        (1)求雙曲線C的方程;

        (2)設(shè)直線l是圓O:x2+y2=2上動點P(x0,y0)(x0y0≠0)處的切線,l與雙曲線C交于不同的兩點A,B,證明∠AOB的大小為定值.

        設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),

        所以 ∠AOB的大小為90°.

        評析(2)問通過特殊情形探索出定值是多少,然后進行一般性計算或證明.通常探索出的定值也可以作為檢驗結(jié)果正確與否的試金石,從特殊角度入手常常也是解決選擇填空中定值問題的常用策略.

        例4 (2018年高考北京卷·理19)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點P(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.

        (1)求直線l的斜率的取值范圍;

        解(1)直線l斜率的取值范圍是(-,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(過程略)

        所以

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