馬建軍, 秦紫果, 劉豐軍， 高笑娟

(河南科技大學 土木工程學院, 河南 洛陽 471023)

彈性地基梁理論在土木工程中應用廣泛，適用于條形基礎(chǔ)、樁基礎(chǔ)等結(jié)構(gòu)的靜動力學性能分析。為滿足工程需要，國內(nèi)外學者在彈性地基梁的建模理論和計算方法方面進行了深入研究，并取得了豐富成果[1-5]。其中，Winkler地基模型以其概念簡潔、計算高效、結(jié)果準確等特點，在工程實踐中應用最廣泛[6-10]。

隨著理論研究和工程應用的發(fā)展，Winkler地基梁的線性及非線性動力響應研究日益受到重視[11-14]。然而在已有的研究中，普遍用地基反力來表示W(wǎng)inkler地基對其支承梁的作用。在進行靜力學分析時，這種簡化方式是合理的，所得結(jié)果精確可信。但在進行動力學分析時，由于土-結(jié)構(gòu)動力相互作用的影響，一定深度內(nèi)的地基將與結(jié)構(gòu)共同運動，此時土體運動對其支承梁的動力學特性將產(chǎn)生影響[15-16]。因此，有必要開展考慮土體運動的Winkler地基梁的動力響應研究。

本文擬基于經(jīng)典Winkler地基理論，考慮有限深度土體運動的影響，建立包含地基運動的彈性地基上有限長梁的線性動力學模型。利用分離變量法，求解梁的運動微分方程，通過數(shù)值計算揭示彈性地基梁的自由振動特性，分析土體質(zhì)量、地基深度、阻尼系數(shù)等對彈性地基梁動力學特性的影響，獲得對工程應用有理論指導意義的結(jié)論。

1 計算模型

如圖1所示，本文的研究對象為彈性地基上有限長梁，其中H為地基深度，L，b，h分別為梁的長、寬、高。為便于分析，以未變形梁的端點為坐標原點O，中軸線為x軸建立平面直角坐標系Oxy。p(x,t)=Pcosωpt為簡諧動荷載，其中P和ωp分別為外激勵幅值和頻率。u(x,t)和v(x,t)分別為梁沿著x軸和y軸方向的位移，w(x,y,t)為有限深度彈性地基沿y軸方向的位移。

由于通常可忽略彈性地基梁類結(jié)構(gòu)的軸向位移，本研究僅考慮其豎向位移v(x,t)。利用Winkler地基模型和Euler-Bernoulli梁理論，可得梁的線性運動方程

(1)

式中：c為單位長度梁的黏滯阻尼系數(shù)；q(x,t)為地基反力；m=ρA為單位長度梁的質(zhì)量，ρ和A分別為梁的密度和橫截面積；E和I分別為梁的彈性模量和慣性矩；?/?x和?/?t分別為對變量x和t的偏導。

圖1 彈性地基梁模型Fig.1 Beam on elastic foundation

設(shè)地基土體為線彈性各向同性體，則有限深度Winkler地基的運動方程為

(2)

式中：ρs為單位長度梁下單位深度土體質(zhì)量；cs為單位長度梁下單位深度土體的黏滯阻尼系數(shù)；kf為Winkler地基剛度系數(shù)；wr(x,y,t)為梁與地基間的相對位移。進而，地基反力可表示為

(3)

為便于分析，引入下列無量綱參數(shù)

(4)

將式(4)代入式(1)，可得梁的無量綱運動方程

(5)

式中：“′”為對變量x*的一階導數(shù)；“·”為對變量t*的一階導數(shù)。

同樣，可得地基的無量綱運動方程

(6)

考慮梁與地基變形的連續(xù)性及工程實際，彈性地基位移w*(x*,y*,t*)應滿足

w*(x*,0,t*)=v*(x*,t*);
w*(x*,H*,t*)=0

(7)

(8)

式中：γ為衰減系數(shù)，本文取γ=0.01。邊界條件為

φ(0)=1;φ(H*)=0

(9)

將式(8)代入式(6)，并在y∈(0,H*)內(nèi)積分可得

(10)

將式(10)代入式(5)，可得

(11)

其中，為便于表述，在式(11)及后續(xù)研究中均忽略無量綱參數(shù)的上標。

由式(11)可知，此時Winkler地基上有限長梁的運動方程中包含了地基質(zhì)量、深度和阻尼系數(shù)等。顯然地基運動對梁的動力學特性將有影響，有必要對其進行深入研究。

2 計算方法

為研究梁的自由振動響應，需略去式(11)中的外激勵項。采用分離變量法，令v(x,t)=φ(x)Y(t)，則梁的自由振動是幅值按振動函數(shù)隨時間變化，按模態(tài)構(gòu)型φ(x)進行的運動[18]?？傻?/p>

(12)

引入常數(shù)a4，可得

(13)

進而，可得常微分方程

φ′?(x)-α4φ(x)=0

(14a)

(14b)

求解式(14a)，可得彈性地基梁第階模態(tài)構(gòu)型函數(shù)φi(x)的一般表達式

φi(x)=C1cosαix+C2sinαix+
C3coshαix+C4sinhαix

(15)

式中：C1～C4為待定系數(shù)。以彈性地基上固支-自由梁為例，其邊界條件為

φ(0)=0;φ′(0)=0;φ″(L)=0;φ?(L)=0

(16)

將式(15)代入式(16)，可得

[M]{Ci}=0, (i=1, 2, 3, 4)

(17)

式中：[M]為系數(shù)矩陣。

(18)

為求得非全為零的常系數(shù)Ci，令矩陣[M]的行列式為零，可得超越方程

1+coshαLcosαL=0

(19)

求解式(19)可得梁的第i階固有頻率ωi，相應的第i階模態(tài)構(gòu)型φi(x)為

φi(x)=C(cosαix-ξisinαix-coshαix+ξisinhαix)

(20)

式中：C為待定系數(shù)，可由模態(tài)構(gòu)型規(guī)范化條件求得；ξi=(coshαiL+cosαiL)/(sinhαiL+sinαiL)。

由于彈性地基梁系統(tǒng)屬于低阻尼體系，則振動函數(shù)Y(t)的一般表達式為

(21)

式中:G1和G2均為與動力響應初值相關(guān)的待定系數(shù)。經(jīng)變換可得

(22)

進而，可得梁位移函數(shù)v(x,t)的一階近似表達式

v(x,t)=a1(cosα1x-ξ1sinα1x-coshα1x+
ξ1sinhα1x)cos(ωD1t+θ)e-ηt

(23)

3 數(shù)值計算

為進行數(shù)值計算，表1給出了計算所需的梁和地基的尺寸和物理參數(shù)。

表1 梁和地基的尺寸和物理參數(shù)

3.1 方法驗證

為驗證本文正確性，在忽略土體運動影響的情況下與已有文獻進行對比。以彈性地基上簡支梁為例，梁的物理參數(shù)取表1中各變量值，彈性地基剛度系數(shù)為[19]：kf=16.55 MPa。表2給出了按文獻[6，12，14，19]和本文方法求得的彈性地基上簡支梁的前4階固有頻率。表2表明，由本文方法求得的固有頻率與已有文獻結(jié)果一致，表明本文方法正確。

表2 彈性地基上簡支梁的固有頻率

3.2 β的影響分析

利用表1中的物理參數(shù)，可得β=17.1，為分析其影響效應，計算時分別取β=0,β=5.0,β=10.0,β=20.0,β=30.0。表3給出了參數(shù)β取不同值時彈性地基梁的前5階固有頻率。由表3中固有頻率隨參數(shù)β的變化情況可知，若不考慮地基質(zhì)量(β=0.0)的影響，計算出的各階固有頻率均較大；與實際情況(β=17.1)相比，各階固有頻率值均增大3倍以上。由此可知，若忽略有限深度地基運動的影響，求得的彈性地基梁系統(tǒng)整體剛度偏大。隨參數(shù)β增大，系統(tǒng)的整體剛度逐漸降低，各階固有頻率相應減小。而且參數(shù)β增大到一定程度后，其對彈性地基梁系統(tǒng)固有頻率的影響顯著降低。此時地基質(zhì)量在系統(tǒng)總質(zhì)量中所占比例較大，彈性地基梁的動力學特性在一定程度上取決于地基的基本特征。

表3 參數(shù)β對彈性地基上梁固有頻率的影響

令式(23)中θ=0，圖2給出了Winkler地基上有限長梁中點處的位移時程曲線，其中參數(shù)β分別取為0，5.0，17.1。如圖2所示，三種情況下彈性地基梁動力響應的周期分別用T1，T2，T3標注出來。對比可知，若將土體運動引入彈性地基梁的動力學模型，系統(tǒng)的響應周期將增長。理論上講，這在一定程度上證實了土-結(jié)構(gòu)動力相互作用效應能改善結(jié)構(gòu)的抗震性能。由阻尼參數(shù)η定義可知，參數(shù)β的變化將引起η值改變。在t∈[150, 160]的某一臨近時間段內(nèi)，圖2中用Δ1,Δ2,Δ3分別表示三種情況下梁中點處位移最大值與初始值間的差值。顯然，參數(shù)β的增大將減慢響應幅值衰減速度，延長了有阻尼自由振動持續(xù)時間。

圖2 參數(shù)β對位移時程曲線的影響Fig.2 Effect of parameter β on the midpoint displacement

3.3 λ的影響分析

由工程實際可知，結(jié)構(gòu)靜動力響應引起的土體位移或變形均隨地基深度衰減。當?shù)鼗疃冗_到一定值后，其下部土體的變形將十分微弱，可忽略不計。因此在對地基深度的影響進行分析時，僅考慮λ≤3.00的情況。

利用表1中的物理參數(shù)，計算可得λ=1.64，本研究僅由地基深度變化實現(xiàn)參數(shù)λ的改變。表4給出了λ=0.50,λ=1.00,λ=3.00時系統(tǒng)的前5階固有頻率。由表4可知，隨參數(shù)λ增大，彈性地基梁的各階頻率均減小。由頻率ω隨參數(shù)λ的變化情況可知，在參數(shù)λ值較小時，其對系統(tǒng)動力學特性影響顯著；當參數(shù)λ值較大時，其影響效應相對較弱。因此在計算分析時，結(jié)合實際情況僅考慮有限深度土體運動的影響即可。

表4 參數(shù)λ對彈性地基上梁固有頻率的影響

圖3給出了彈性地基梁中點處的位移時程曲線，其中參數(shù)λ分別取為0.50，1.00，1.64。如圖3所示，隨參數(shù)λ增大，彈性地基梁系統(tǒng)的響應周期增長。由于地基深度增加，參與到系統(tǒng)動力響應中的土體質(zhì)量相應增加，圖3中位移曲線的變化也符合參數(shù)β對系統(tǒng)動力響應影響的分析結(jié)論。對比響應幅值的衰減情況可知，若λ≥1.00，其對阻尼參數(shù)η的影響微弱，Δ2與Δ3之間的差異很小。

圖3 參數(shù)λ對位移時程曲線的影響Fig.3 Effect of parameter λ on the midpoint displacement

3.4 η的影響分析

圖4給出了彈性地基梁中點處位移時程曲線隨參數(shù)η變化的情況，其中η=2.099×10-4為表1中參數(shù)計算所得。若η=0，則為無阻尼自由振動，彈性地基梁將發(fā)生響應幅值不變的穩(wěn)態(tài)周期運動。對于低阻尼體系而言，參數(shù)η對周期T的影響非常微弱，可忽略不計。隨參數(shù)η值增大，彈性地基梁動力響應幅值的衰減速度增快，即在相同時間點出現(xiàn)Δ3>Δ2的情況。可以預見，當參數(shù)η增大到臨界值時，系統(tǒng)自由振動的時程曲線將呈單調(diào)衰減。

圖4 參數(shù)η對位移時程曲線的影響Fig.4 Effect of parameter η on the midpoint displacement

4 結(jié) 論

本文基于Winkler地基模型，考慮有限深度土體運動的影響，建立了彈性地基上有限長梁的線性動力學模型，利用分離變量法計算了梁的固有頻率和有阻尼自由振動響應，研究了地基質(zhì)量、深度、阻尼等對梁動力學特性的影響。通過參數(shù)分析，得到如下結(jié)論：

(1) 隨著與有限長梁動力響應相關(guān)的地基質(zhì)量增大，Winkler地基上梁的固有頻率減小，有阻尼自由振動響應幅值衰減速度減慢。

(2) 隨著地基深度在有效范圍內(nèi)增大，Winkler地基上梁的固有頻率迅速減小，但地基深度對系統(tǒng)阻尼效應發(fā)揮的影響較弱。

(3) 在合理的參數(shù)范圍內(nèi)，阻尼系數(shù)對Winkler地基上梁動力響應周期的影響可忽略不計，但對響應幅值衰減速度的影響非常顯著。

另外，需要注意的是：本文模型僅適用于線彈性、理想化Winkler地基上有限長梁的動力響應分析，而未考慮地基主要參數(shù)隨深度變化等情況。為促進研究及應用的發(fā)展，有必要繼續(xù)進行考慮復雜地基條件下彈性地基梁的建模研究，以期精確分析有限深度地基上梁的動力學特性。