王 斌，趙 慶，李巾錠

（天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津300072）

倒立擺系統(tǒng)是一種典型的多變量、 非線性、強(qiáng)耦合和快速運動自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，其精確控制的研究具有重要的工程背景和實際意義[1-2]。模糊控制在控制具有復(fù)雜性、信息量少和高標(biāo)準(zhǔn)性性能等要求的被控對象時具有一定優(yōu)勢，但模糊控制器的設(shè)計等方面還沒有得到很好的解決，對于多輸入變量被控對象，控制規(guī)則數(shù)會隨輸入變量的增多而成指數(shù)增加，嚴(yán)重制約著模糊控制器的設(shè)計與應(yīng)用[3-4]。

單級倒立擺有4 個輸入變量，若采用常規(guī)模糊控制，模糊控制器的控制規(guī)則數(shù)量非常大，難以實現(xiàn)。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]在研究單級倒立擺解耦的基礎(chǔ)上，分別建立了串級模糊控制系統(tǒng)和串級模糊PID控制系統(tǒng)，但二者并沒有研究模糊控制器的設(shè)計。本文在研究單級倒立擺控制方程解耦的基礎(chǔ)上，設(shè)計了遺傳算法優(yōu)化串級模糊控制系統(tǒng)，進(jìn)行了單級倒立擺的串級模糊控制器自動設(shè)計。

1 單極倒立擺系統(tǒng)建模

單級倒立擺結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 單極倒立擺結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Unipolar inverted pendulum structure

由式（1）可見，位置變量與角度變量為耦合關(guān)系，若直接對其進(jìn)行模糊控制，模糊控制器有4 個輸入變量，若每個輸入變量定義5 個模糊子集，則需要625 個控制規(guī)則，模糊控制難以運行。本文為了降低模糊控制的難度，對式（1）首先進(jìn)行解耦，將統(tǒng)一耦合的倒立擺狀態(tài)方程解耦為2 個獨立的狀態(tài)方程，分別為角度狀態(tài)方程和位移狀態(tài)方程：

由此，可對2 個狀態(tài)狀態(tài)方程直接進(jìn)行控制。

2 遺傳優(yōu)化模糊控制系統(tǒng)

2.1 串級模糊控制系統(tǒng)

與常用的Mamdani 型模糊推理模型相比較，TS 模糊控制推理模型更便于定量分析和數(shù)學(xué)運算，本文采用T-S 模糊控制模型，如圖2 所示。

圖2 雙閉環(huán)串級模糊控制系統(tǒng)Fig.2 Double closed loop cascade fuzzy control system

由上圖所示，串級模糊由2 個模糊控制器組成，其中內(nèi)環(huán)模糊控制器控制單級倒立擺的角度，外環(huán)模糊控制器控制單級倒立擺的位移，即運用2個模糊控制器分別控制單級倒立擺的角度和位移。

兩個模糊控制器都為二維模糊控制器，設(shè)計輸入變量都定義5 個模糊子集，每個模糊子集的隸屬度都為三角形隸屬度：

模糊控制器的規(guī)則為配置的反饋極點決定：

其中u（t）=KIx（t），即此時需要的反饋量，K 為此時的反饋控制增益矩陣，由設(shè)置的極點進(jìn)行極點配置求得。

2.2 模糊控制參數(shù)優(yōu)化

運用并行分布補(bǔ)償法設(shè)計T-S 模糊控制系統(tǒng)就是將模糊控制器分解為多個線性控制器，將T-S 模糊控制器的每條規(guī)則作為一個線性控制器處理。并行分布補(bǔ)償法可分為試湊法和直接法，運用試湊法進(jìn)行模糊控制器的設(shè)計，隨機(jī)設(shè)計每個線性控制器，將它們聚合在一起，即隨機(jī)設(shè)計T-S 模糊控制器的控制規(guī)則，若隨機(jī)設(shè)置的T-S 模糊控制系統(tǒng)符合控制要求，則作為設(shè)計的T-S 模糊控制系統(tǒng)，否則重新設(shè)計。為了實現(xiàn)T-S 模糊控制器的自動設(shè)計，采用遺傳算法與試湊法相結(jié)合的方法設(shè)計T-S 模糊控制系統(tǒng)。即將每個試湊法設(shè)計的T-S 模糊控制器轉(zhuǎn)化為遺傳算法的染色體，并運用遺傳算法對其進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

采用自適應(yīng)遺傳算法對串級模糊控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。遺傳算法的輸入和輸出隸屬度都已設(shè)計，優(yōu)化模糊控制器的控制規(guī)則。由上文可知，模糊控制器采用極點配置法進(jìn)行設(shè)計，故優(yōu)化需要的極點。遺傳算法流程如圖3 所示。其中遺傳算法適應(yīng)度函數(shù)、染色體編碼及自適應(yīng)遺傳操作需要根據(jù)實際問題設(shè)置。

圖3 遺傳算法流程Fig.3 Genetic algorithm flow chart

（1）初始種群生成

染色體編碼方式的優(yōu)劣對遺傳算法的運行有重要的影響，本文運用極點配置與并行分配補(bǔ)償法（PDC）結(jié)合的方法產(chǎn)生初始染色體。即將整個T-S模糊控制系統(tǒng)分為多個局部線性控制器，并分別運用極點配置法確定各局部線性控制器的反饋參數(shù)。雙閉環(huán)串級模糊控制器共有50 條控制規(guī)則，每條規(guī)則代表1 個狀態(tài)方程，可運用極點配置法將每個狀態(tài)方程的極點設(shè)定為所需要的。每組極點為共軛極點，具有負(fù)實部，以這組共軛極點的實部絕對值和虛部的模表示。采用十進(jìn)制編碼，每條染色體有100 個數(shù)組成。根據(jù)上述編碼方法及設(shè)定的種群中個體數(shù)量，進(jìn)行初始種群生成。

（2）適應(yīng)度函數(shù)的建立

遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)是遺傳進(jìn)化的依據(jù)，其確定直接影響著控制模型的優(yōu)化效果。單級倒立擺的控制需要具有快速性和穩(wěn)定性，通過多次仿真試探，適應(yīng)度僅函數(shù)以單級倒立擺的小車位移和擺桿角度及為參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)，確定適應(yīng)度函數(shù)中的各項參數(shù)。改進(jìn)遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)如下式：

式中：T 代表采樣周期；N 代表采樣次數(shù)，仿真時間為N*T；j 為采樣次數(shù)；x1（j）和x3（j）分別為第j 次采樣時單級倒立擺輸出的位移和角位移。

（3）自適應(yīng)遺傳操作

首先是選擇操作中采用最優(yōu)保存策略，保留上一代中的最優(yōu)個體，直接進(jìn)入下一代，代替下一代的最差個體。同時，為了解決遺傳算法的早熟問題，提高遺傳算法的魯棒性，本文采用了自適應(yīng)遺傳算法，自適應(yīng)交叉率和變異率隨著個體的適應(yīng)度在種群平均適應(yīng)度和最大適應(yīng)度之間進(jìn)行調(diào)整，并設(shè)計了自適應(yīng)交叉率和變異率：

3 實驗仿真分析

根據(jù)上文設(shè)計的模糊控制系統(tǒng)，在Matlab 環(huán)境下進(jìn)行雙閉環(huán)串級模糊控制器的設(shè)計與仿真。取倒立擺的擺桿的初始擺角位移和角度分別為0.2 rad 和0 rad/s，取位移和速度分別為0.1 m 和0.1 m/s。小車的質(zhì)量和擺桿的質(zhì)量分別為2 kg 和0.02 kg，擺桿長為0.5 m，小車的摩擦系統(tǒng)為0.1 N/m/s。將上述參數(shù)代入控制系統(tǒng)中，運用設(shè)計方法對其進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)定遺傳算法的初始種群有100 個個體，進(jìn)化終止代數(shù)為100 代，遺傳算法的優(yōu)化過程如圖4 所示。

圖4 遺傳算法優(yōu)化過程Fig.4 Genetic algorithm optimization process diagram

由上圖可知，改進(jìn)遺傳優(yōu)化過程在前30 代收斂很快，過了30 代，基本趨近穩(wěn)定，說明改進(jìn)遺傳算法有良好的優(yōu)化效果。

將優(yōu)化的控制器參數(shù)及單級倒立擺參數(shù)代入雙閉環(huán)模糊控制模型中，對其進(jìn)行仿真。同時運用同一遺傳算法優(yōu)化雙閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，將其優(yōu)化控制結(jié)果與串級模糊控制結(jié)果相比較，倒立擺的位移控制和角度控制結(jié)果圖如圖5 和圖6 所示。

由圖5 和圖6 中的雙閉環(huán)串級模糊控制系統(tǒng)和常規(guī)雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制結(jié)果對比可知，相比于常規(guī)雙閉環(huán)控制器，雙閉環(huán)串級模糊控制系統(tǒng)減小了系統(tǒng)的超高量，縮小了系統(tǒng)的輸出振蕩，縮短了穩(wěn)定時間，具有更好的動態(tài)性能。

圖5 小車位移控制對比圖Fig.5 Cart displacement control comparison diagram

圖6 擺桿角位移控制對比圖Fig.6 Pendulum angle displacement control comparison diagram

4 結(jié)語

單級倒立擺系統(tǒng)的精確控制具有重要的工程背景和實際意義，對其變量解耦以降低控制模型的復(fù)雜度和難度是一個重要的研究方向。本文以單級倒立擺控制模型的變量解耦為基礎(chǔ)，成為實現(xiàn)了單級倒立擺的雙閉環(huán)串級模糊控制，將有利于模糊控制在多變量控制模型中應(yīng)用發(fā)展。