唐 星 邵 云

(1. 南京市第八中學,江蘇 南京 210003; 2. 南京曉莊學院電子工程學院,江蘇 南京 211171)

1 引言

筆者曾撰文[1]研究了人眼從空氣中看水中物體時水中物體的成像規(guī)律,本文則嘗試闡述人眼從水中看岸上物體時岸上物體的成像性質(zhì)和規(guī)律.后者更少有人撰文分析.可能很多人會認為裸眼在水下根本不可能看清楚岸上的物體,其實不然,只要在水下裸眼前放置10倍以上的高倍放大鏡,即可大體抵消眼睛角膜前的水凹透鏡的影響,從而看清岸上稍遠處的物體.對此,筆者在水下做了親眼測試,效果不錯,符合預期.本文和文獻[1]將有助于讀者對于光在水和空氣界面處的折射成像問題形成一個相對完整的認識.

2 空氣中物點在水中成像的一種常規(guī)推理思路

由姚啟鈞《光學教程》[2]可知,圖1中像點S′的坐標為

(1)

(2)

圖1 空氣中的物點S在水中的折射成像示意圖

則像點S′的軌跡方程為

(3)

根據(jù)式(3)可作出虛像S′隨入射角i的位置變化圖,見圖2,其中已設物點S的高度h=1 m,水的折射率n=4/3.

圖2 h=1 m處物點的虛像隨入射角i的位置變化圖

3 弧矢、子午虛像的由來與人眼中實際虛像的判定

由于我們的瞳孔有一定的大小,直徑在2～5 mm,因此我們需要考慮一束從光源S發(fā)出的空間細光束如何形成虛像.為此可將圖1中的折射平面Oxy繞y軸偏轉(zhuǎn)一個很小的角度θ,則三角形SAB將掃出一個空間單心發(fā)散光束.

首先討論第1種折射成像情況.

如圖3所示,當光線SA繞y軸轉(zhuǎn)動θ角時會形成無數(shù)條入射角相同的入射光線,它們的折射光線的折射角也相同.顯然,這些折射光線的反向延長線將會聚于y軸上的同一點S1(即像點).依此類推,當入射角i小幅變化時,上述單心發(fā)散光束的折射光線的反向延長線將依次會聚在y軸上的小線段S1S2范圍內(nèi),見圖4.

圖3 相同入射角的光線折射形成的虛像

圖4 視角r(或i)的變化所形成的系列虛像

接下來討論第2種折射成像情況.

圖5 成像面Oxy繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的系列虛像

然而,從圖4和圖5可以看到,人眼在水下(通過高倍放大鏡)觀察岸上的物體時,該物體的弧矢虛像必然“擋”住后面的子午虛像,因此人眼通?？吹降闹荒苁乔懊娴幕∈赶?而無法透視看到后面的子午像,自然也就不會觀察到像在很遠處的情況.當然,如果物體是極小的點或極細的線,那么此時焦線的長度理應凸顯出來,理論上人眼會同時看到不完全重疊的子午、弧矢虛像,像也理應是模糊的,即存在像散效應.但實際上,由于人眼所看到的焦線實在太短以及人眼分辨能力的緣故,這種小點與細線的像散現(xiàn)象人眼在通常的視角下很難觀察到.筆者曾在近處用裸眼去仔細觀察裝滿水的臉盆底如頭發(fā)絲般粗細的細線和小點,左看右看上看下看,基本看不出粗細和大小的明顯變化以及像散(模糊)現(xiàn)象.由此可見人眼中的子午焦線與弧矢焦線之短.這也證明了人眼所看到的只能是近處的虛像.即水下看水上的物體看到的是弧矢像,而水上看水下的物體看到的則是物體的子午像.

4 子午虛像與弧矢虛像的位置對比與分析

參照圖4,可寫出水面上方h高度處物點S的弧矢像坐標y的表達式

(4)

利用折射定律sini=nsinr可將式(4)改寫成

(5)

應用式(5)并合并圖2,可作出弧矢、子午兩種虛像位置的對比圖6,其中已令h=1 m.可見入射角i越大(即觀察視角r越大),兩種像點偏離物點越大,但弧矢像僅在y軸上有偏移且幅度相對較小,而子午像則在x、y方向上均有大幅偏移,變得又高又遠.當然,水下的人眼只能看到前面的弧矢像.

圖6顯示的是物點的位置(h)固定而觀察者的視角在變化的情形.但更常見的則是人眼處在水下的固定位置,而岸上的物體有一定高度的情形,例如水下看高樓.那么此時高樓各樓層的弧矢像和子午像位置又如何呢?

圖6 不同視角下弧矢像與子午像的位置對比圖

如圖7所示,設岸上物體的高度為h,水面下方附近的觀察點距物體的水平距離固定為l.將tani=l/h及折射定律sini=nsinr一起代入式(4)可得弧矢像的坐標y隨h及l(fā)變化的函數(shù)

圖7 岸上物點S的弧矢像S′的成像示意圖

(6)

同理,將tani=l/h代入式(1)、式(2)即得子午像坐標隨h及l(fā)的變化函數(shù)

(7)

(8)

考慮一個現(xiàn)實中可能的情形:取l=20 m,物體為一幢20層的高樓,總高60 m,則應用式(6)、式(7)和式(8)即得在水平距離l=20 m處的水面下方附近所看到的高樓各樓層的虛像(弧矢像)位置,以及其后的子午像的位置,見圖8,其中已設地平面與水平面一致.

由圖8可見,人眼所看到的樓房的弧矢像仍在原地,但各樓層普遍抬升了約20 m,增高幅度隨樓層緩慢增加.經(jīng)計算,地平面的弧矢像高度為高樓各樓層的弧矢像和子午像位置17.6 m,而20層樓頂(60 m)的弧矢像高度則為81.9 m.這些和實際觀察相符.從圖8又可見,高樓子午像的形狀十分異怪:七樓即18 m以上的子午虛像還算中規(guī)中矩,與相應的弧矢像接近;但七樓以下的子午虛像則變得越來越高、越來越遠,其中一樓即地平面的子午像竟然在無窮遠處.這就是說七樓以下樓層的子午虛像會越來越模糊.這與實際觀察的結(jié)果不符.事實上從水下看一至七層樓的虛像的清晰度差不多,這就證明了我們從水下用肉眼看岸上的物體,看到的只能是物體的弧矢像.圖9給出水下的魚眼鏡頭所拍攝的水面上方景物的照片,雖然與人眼的主動對焦及小瞳孔成像機制有顯著差異,但圖像類似.圖中的景物圓圈是由折射光線的臨界角所致.該圖也相當于魚眼中的水上世界(假設魚眼的視力足夠好的話).

圖8 l=20 m處水面下方附近看60 m

圖9 “魚眼”中的水上世界

5 結(jié)論

綜合以上分析可知,從水中觀察到的岸上物體的虛像有如下特點.

(1) 每一個物點同時產(chǎn)生兩個虛像——弧矢像點和子午像點,它們一近一遠處在同一束折射光線的反向延長線上.

(2) 子午像在物點的左上方(觀察點在物點右下方的水面下,見圖6),其位置與入射角i有關(guān),i越大即觀察者越遠,子午像向左上方移動的趨勢越大.

(3) 弧矢像在物點的正上方,其高度也和入射角i有關(guān),i越大弧矢像也越高,只是增高的幅度沒有子午像那么大,見圖6.

(4) 當人眼豎直向上觀察即i=0°時,物點的子午、弧矢像點將重合,見圖6.從式(2)和式(5)可得此時像點的最低高度同為y=nh=1.333h,稱作像似高度.

(5) 由于同一視線上的弧矢像總是遮住子午像,且人眼中的弧矢、子午焦線極短,因此人眼只能觀察到近處的弧矢像,而無法透視看到后面的子午像.通過裸眼在水中透過高倍放大鏡的觀察可驗證這一點,參見圖8和圖9.同理,從水上看水下的物體看到的則是子午像,利用裸眼的明視距離去觀測便能輕松地驗證這一點.

(6) 2003年人教版高中物理教材(必修加選修)第三冊[3]中給出的水中的魚看岸上的樹的插圖10顯然是錯誤的.它畫的是樹的子午像(參見圖8).正確的畫法應該是在樹的正上方畫一正立的弧矢像.如圖9那樣.這里從略.

6 結(jié)束語

在中學物理的教學過程中,對于物點經(jīng)平面界面折射成像的問題,一般教師僅用寥寥數(shù)語或寥寥幾筆作圖一帶而過.教師對于像的具體位置及其隨視角的變化情況或有大致的了解,但往往不夠清晰,其原理更不詳.更少有人知道虛像會有兩種,水上看水下的物體看到的是物體的子午像,反之則是弧矢像,所以中學教材中出現(xiàn)了圖10這種錯誤.雖然大學的光學教材對于界面的折射成像原理有所涉及,但均未深入討論,也鮮見有人專門撰文研究,因此筆者在研究的過程中才有了“新的發(fā)現(xiàn)”.筆者撰寫此文的目的旨在與同行們探討,本文在此權(quán)當拋磚引玉.

圖10 魚眼中岸上樹的理論意義上的子午像