邵 永

(安徽省碭山中學(xué),安徽 碭山 235300)

1 引言

高三復(fù)習(xí)既要針對(duì)學(xué)生的實(shí)際和教材的重點(diǎn),復(fù)習(xí)和鞏固已學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),又要培養(yǎng)和提高學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用已學(xué)知識(shí)的基本技能,發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力,因此上好復(fù)習(xí)課對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量是十分重要的．在高三復(fù)習(xí)中選擇、設(shè)計(jì)習(xí)題是上好課的關(guān)鍵,而高考試題是經(jīng)命題專(zhuān)家反復(fù)論證過(guò)的,濃縮了眾多專(zhuān)家的智慧,能起到很好的引領(lǐng)作用．因此我們?cè)诮虒W(xué)中要從深層次剖析高考的命題立意,明確其立意、探知其內(nèi)涵、感悟其發(fā)展,從一個(gè)問(wèn)題引申到一類(lèi)問(wèn)題,讓學(xué)生在不斷的探究中感悟知識(shí)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò),更要把握通性通法對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)理念等進(jìn)行“整合”．牽連運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)合成與分解中的難點(diǎn),尤其是牽連加速的關(guān)系,下面從一道高考題設(shè)計(jì)的合理性談牽連物體間的關(guān)系．

2 高考試題及解析

圖1

題目.(2018年江蘇高考題)如圖1所示,釘子A、B相距5l,處于同一高度.細(xì)線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊,另一端繞過(guò)A固定于B.質(zhì)量為m的小球固定在細(xì)線上C點(diǎn),B、C間的線長(zhǎng)為3l.用手豎直向下拉住小球,使小球和物塊都靜止,此時(shí)BC與水平方向的夾角為53°.松手后,小球運(yùn)動(dòng)到與A、B相同高度時(shí)的速度恰好為0,然后向下運(yùn)動(dòng).忽略一切摩擦,重力加速度為g,取sin53°=0.8,cos53°=0.6.求

(1) 小球受到手的拉力大小F;

(2) 物塊和小球的質(zhì)量之比M∶m;

(3) 小球向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),物塊M所受的拉力大小T．

解析:(1) 設(shè)小球受AC、BC的拉力分別為F1、F2,有

F1sin53°=F2cos53°,

F+mg=F1cos53°+F2sin53°,

且F1=Mg,聯(lián)立以上各式解得

(3) 根據(jù)機(jī)械能守恒定律,小球回到起始點(diǎn)時(shí)速度恰好為0．設(shè)此時(shí)AC方向的加速度大小為a,重物受到的拉力為T(mén),對(duì)小物塊使用牛頓運(yùn)動(dòng)定律得Mg-T=Ma, 小球受AC的拉力T′=T,由小球使用牛頓運(yùn)動(dòng)定律得T′-mgcos53°=ma,聯(lián)立以上各式解得

3 高考試題的引領(lǐng)作用

從提供的高考試題答案中可以看出，在第(3)問(wèn)中對(duì)于繩上拉力的計(jì)算使用了兩個(gè)物體沿繩的加速度是等大的．高考試題的命制是經(jīng)命題專(zhuān)家反復(fù)論證過(guò)的,濃縮了眾多專(zhuān)家的智慧,往往是從一個(gè)問(wèn)題引申到一類(lèi)問(wèn)題,起到很好的引領(lǐng)作用．由于在牽連運(yùn)動(dòng)中力的分解形式和運(yùn)動(dòng)的分解形式不同,而且兩物體沿繩的加速度經(jīng)常是不等的,所以專(zhuān)家們出這道高考題的目的不是要求記住遇到這種形式就按這種方式進(jìn)行分解,而是要全面分析牽連運(yùn)動(dòng)中牽連物體之間的速度關(guān)系和加速度關(guān)系,是通性通法對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)理念等進(jìn)行的一次“整合”,做到探知其內(nèi)涵、感悟其發(fā)展．下面通過(guò)一道幾乎所有高三復(fù)習(xí)資料中都有的題目逐步進(jìn)行分析．

4 牽連速度的關(guān)系

圖2

題目.如圖2所示,某人沿水平地面以速度v向左做勻速直線運(yùn)動(dòng),利用跨過(guò)定滑輪的輕繩將一物體A沿豎直方向放下,在此過(guò)程中,下列結(jié)論正確的是

(A) 人的速度和物體A的速度大小相等.

(B) 物體A做勻變速直線運(yùn)動(dòng).

(C) 物體A的加速度不斷減小.

(D) 細(xì)繩對(duì)A的拉力大于重力,且逐漸增大.

由于在牽連運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)的分解形式和以前所學(xué)的力的分解形式不同,學(xué)生往往不太理解,只是機(jī)械記住把人的運(yùn)動(dòng)分解成沿繩的運(yùn)動(dòng)和垂直于繩的運(yùn)動(dòng),這不是教育的真正目的．下面通過(guò)3種方式分析牽連運(yùn)動(dòng)中物體之間速度的關(guān)系．

4.1 按運(yùn)動(dòng)效果分解

圖3

合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)是效果上的等效替代,由于人實(shí)際是沿水平運(yùn)動(dòng)的,水平速度v是合速度．如圖3所示,當(dāng)人向前運(yùn)動(dòng)一段距離可以看出發(fā)生了兩個(gè)方面的變化:右邊繩子變短了,繩子與豎直方向的夾角變小了,所以可以把人的運(yùn)動(dòng)分解成沿繩的運(yùn)動(dòng)和垂直于繩的運(yùn)動(dòng)．設(shè)繩子與水平方向的夾角為α,所以vA=vcosα．

4.2 微元法的應(yīng)用

圖4

如圖4所示,人在非常短的時(shí)間內(nèi)向前運(yùn)動(dòng)了一小段距離,以繩子上端點(diǎn)為圓心,后來(lái)的繩長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,連接圓與繩的兩個(gè)交點(diǎn)．由于t很短,所以圖中實(shí)線和虛線之間夾角很小,因此下側(cè)的三角形可看成直角三角形．由于右邊繩子變短了vAt,人向前走了vt,所以有vAt=vtcosα,因此vA=vcosα．

4.3 能量守恒規(guī)律的應(yīng)用

由于功是能量轉(zhuǎn)化的量度,輕繩是不計(jì)質(zhì)量的,所以繩子只是在做功中起到橋梁和紐帶的作用,即作用在繩兩端的功是等大的．設(shè)繩上拉力為T(mén),如圖2所示,有TvA=Tvcosα,所以vA=vcosα．

由以上多角度分析均得到vA=vcosα,由于人是勻速運(yùn)動(dòng)的,α角不斷變大,所以vA不斷變小,可知上題中(A)不對(duì),而且可以看出兩物體沿繩的加速度并不相等,所以上述高考題中按沿繩的加速度相等求解并不具有通性,那么上題中(B)、(C)、(D)哪個(gè)正確,沿繩的加速度間到底是怎樣的關(guān)系呢?

5 牽連加速度的關(guān)系

5.1 極限分析法的應(yīng)用

假設(shè)物體是從無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)過(guò)來(lái)的,在無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí),拉人的繩子可以近似看成水平的,此情況下人的速度和物體的速度可看成等大,兩物體均做勻速運(yùn)動(dòng),所以物體的加速度為0．在上述的分析中得到A物體做的是減速運(yùn)動(dòng),由于物體的加速度是從0變?yōu)椴粸?,所以物體A的加速度是變大的,結(jié)合超失重知識(shí)得(D)是對(duì)的．

5.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

圖5

如圖5所示,人在非常短的時(shí)間內(nèi)向前運(yùn)動(dòng)了一小段距離

vA=vcosα=

由于加速度是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),所以

其中負(fù)號(hào)反映加速度的方向,由于α角不斷增大,所以物體A的加速度是不斷增大的．

5.3 等效法的應(yīng)用以及等效的解釋

圖6 圖7

這個(gè)結(jié)果與使用微元法推導(dǎo)的結(jié)果是一樣的,說(shuō)明確實(shí)可以這樣分析,為什么能這樣等效呢?其實(shí)這與繩子特點(diǎn)和各加速度的作用效果有關(guān)．在曲線運(yùn)動(dòng)中切向加速度改變的是切向速度的大小,向心加速度改變的是切向速度的方向,而本情景中人沿繩的速度大小也是變化的,還需要有一個(gè)沿繩的加速度．由于繩子是不可伸長(zhǎng)的,所以?xún)晌矬w沿繩的速度始終相同,正因?yàn)檠乩K的速度是相同的,沿繩的速度又是變化的,所以?xún)晌矬w沿繩的用于改變沿繩速度大小的加速度也應(yīng)該相同的．因此如果物體有向心加速度,它只是改變了切線速度的方向,所以實(shí)際的沿繩加速度減去向心加速度才會(huì)始終相等．在2018年江蘇高考題中,要求計(jì)算的是最低點(diǎn),此時(shí)兩物體的速度均為0,因此速度為0沒(méi)有向心加速度,所以?xún)晌矬w的沿繩加速度一定是相同的,題目的設(shè)計(jì)是合理的．如果物體速度不為0就應(yīng)該按上述規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．

綜上所述可得，在牽連運(yùn)動(dòng)中,由于輕繩的長(zhǎng)度是不變的,所以?xún)晌矬w沿繩的速度一定相同,用于改變沿繩速度大小的加速度一定相同,即實(shí)際的沿繩加速度減去向心加速度后的值一定是相同的．