畢亞峰1,2 賈 晗1,2?楊 軍1,2

(1中國(guó)科學(xué)院噪聲與振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(聲學(xué)研究所) 北京 100190)

(2中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

0 引言

后向反射器，是一種能將入射波按照入射方向進(jìn)行反射的器件。由于它可以顯著地增加散射截面和回波強(qiáng)度，所以有著廣泛的應(yīng)用。通常情況下，后向反射器表現(xiàn)為角反射器[1?3]的形式，通過(guò)兩個(gè)互相垂直的反射面將入射聲(電磁)波多次反射，最終實(shí)現(xiàn)出射聲(電磁)波的反向傳播。然而由于體積和形狀的限制，很多情況下角反射器難以實(shí)用，往往需要平面或者較為扁平的幾何結(jié)構(gòu)去實(shí)現(xiàn)類似的反射效果，而變換聲學(xué)[4?8]則為此提供了可能。變換聲學(xué)將空間坐標(biāo)的變換與器件的材料屬性兩者關(guān)聯(lián)起來(lái)，從而可以設(shè)計(jì)出許多新型聲學(xué)器件，如隱身衣[9?12]、聲學(xué)彎管[13?15]、透鏡等等[16?18]。利用變換理論設(shè)計(jì)的反射器也已出現(xiàn)[19?23]，但是這些器件大多參數(shù)極端，不均勻而且各向異性，因此難以實(shí)現(xiàn)。本文提出一種基于線性坐標(biāo)映射的反射器，在這種映射下，反射器的參數(shù)變得均勻，僅僅需要各向異性的超材料即可實(shí)現(xiàn)。結(jié)合Biot流體理論[24]，這種反射器可以由周期層狀流體構(gòu)成。有限元仿真結(jié)果證明了該結(jié)構(gòu)的有效性，對(duì)于不同頻率的聲波，該反射器也具有較好的性能。這種基于變換聲學(xué)的反射體更具有實(shí)用性，為超材料的具體應(yīng)用帶來(lái)了可能。

1 映射關(guān)系與變換聲學(xué)

二維的聲反射器的映射關(guān)系如圖1所示。圖1(a)中，y=0界面為硬地面，在地面上放置藍(lán)色三角形的反射器。根據(jù)角反射器的原理[1?3]，兩個(gè)互相垂直的反射面，在45?范圍內(nèi)可以將入射波按照原方向反射，因此，在圖1(b)中v<0的區(qū)域需要構(gòu)建出一個(gè)直角空間，并將紅色虛線設(shè)置為反射邊界。聲波在該空間中的傳播如黃色箭頭所示，入射波將被反射回相應(yīng)的方向。聲反射器實(shí)物所處的空間為圖1(a)，稱為實(shí)空間；它所表現(xiàn)出的聲學(xué)性質(zhì)應(yīng)該與圖1(b)所示的空間一致，因此圖1(b)所處的空間稱為虛空間。

利用以下數(shù)學(xué)關(guān)系，可以將實(shí)空間與虛空間中的藍(lán)色區(qū)域進(jìn)行相互映射：

其中，±分別對(duì)應(yīng)u<0與u>0的情況。在該映射下，虛空間(u,v,w)中藍(lán)色的四邊形區(qū)域被壓縮至實(shí)空間中(x,y,z)的藍(lán)色三角形區(qū)域。紅色虛線邊界則對(duì)應(yīng)到實(shí)空間中的x軸。該映射的雅克比矩陣A為

根據(jù)變換聲學(xué)理論[8]，反射器的密度和模量為

其中，ρ0和κ0分別為背景流體的密度和模量。將公式(2)中的雅克比矩陣A帶入，可得

該密度矩陣與模量即為實(shí)現(xiàn)聲反射器所需的參數(shù)。

圖1 聲反射器的空間映射關(guān)系Fig.1 The mapping rules of the acoustical retrodirective ref l ector

2 單元與反射器模型

為了更清晰地說(shuō)明聲反射器的設(shè)計(jì)過(guò)程，此處將其幾何參數(shù)設(shè)定為a=160 cm，b=20 cm。該反射器為一個(gè)放置于地面上的鈍角三角形，空氣的密度和模量分別為ρ0=1.21 kg/m3和κ0=142.36 kPa。根據(jù)前文所述的變換聲學(xué)方法，可以求得其密度矩陣和模量為

可見(jiàn)，此時(shí)密度矩陣存在非對(duì)角項(xiàng)，這是因?yàn)樵谧儞Q聲學(xué)的計(jì)算過(guò)程中，選取的是笛卡爾坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系與密度矩陣的主軸方向存在一定的夾角，所以在矩陣中出現(xiàn)了非對(duì)角分量。因此，需要將密度矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)α=6.42?，從而將其中的非對(duì)角項(xiàng)消除[9]，得到密度矩陣的特征值：

此時(shí)，可以得到密度矩陣的主軸坐標(biāo)系：將x-y坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α=6.42?后所得到的x′-y′坐標(biāo)系，如圖2(a)所示。由求出的密度矩陣可知，在聲反射器中，各個(gè)方向表現(xiàn)出的密度并不一樣，所以需要各向異性密度的流體進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。然而在自然界中并不存在天然各向異性的流體，因此需要引入人工周期介質(zhì)，Biot流體理論[6,24]則為此提供了可能。假設(shè)有兩種不同的各向同性的流體介質(zhì)(A和B)，其密度和模量分別為ρA，ρB和κA，κB。在兩種介質(zhì)分層厚度d相等的情況下，將其周期交錯(cuò)排列(圖2(b))，于是在長(zhǎng)波極限條件下可以得到該結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)：

圖2 反射器結(jié)構(gòu)Fig.2 The model of the acoustical retrodirective ref l ector

對(duì)于公式(6)中的介質(zhì)而言，利用分層流體可以在長(zhǎng)波極限下獲得等效的各向異性密度。假設(shè)每層厚度d=0.5 mm，則單元大小L=1 mm。結(jié)合公式(6)和公式(7)，計(jì)算可得ρA=21.99 kg/m3，ρB=0.07 kg/m3和κA=2.62 MPa，κB=7.93 kPa。將流體A與流體B周期交錯(cuò)排列形成單元，并利用參數(shù)檢索法[25]得到它的等效參數(shù)，以驗(yàn)證設(shè)計(jì)的單元的有效性。檢索結(jié)果如圖3所示，圖3(a)為厚度L=1 mm的單元等效密度隨頻率變化圖，其中方塊和圓點(diǎn)標(biāo)志為單元所體現(xiàn)出的密度，直線為器件設(shè)計(jì)所需的密度。可見(jiàn)在100 Hz～4000 Hz范圍內(nèi)，單元兩個(gè)方向的密度隨頻率改變很小，而且與設(shè)計(jì)所需的密度相吻合。兩個(gè)方向上密度的巨大差別也體現(xiàn)出了該單元密度各向異性的特點(diǎn)。圖3(b)為單元等效模量隨頻率變化圖，同樣的，方塊和圓點(diǎn)為單元表現(xiàn)出的模量，而直線為器件設(shè)計(jì)所需模量。圖3(b)中，低頻情況下兩個(gè)方向上的模量幾乎完全一致，隨著頻率增加，模量值逐漸有所偏差，一直到4000 Hz時(shí)，兩個(gè)方向上的模量相差達(dá)到10%。整體而言，兩個(gè)方向上的模量與器件所需模量吻合，因此該單元具有密度各向異性，模量各向同性的特點(diǎn)。

圖3 單元參數(shù)隨頻率變化Fig.3 Ef f ective parameters of the unit cell from 100 Hz to 4000 Hz

該單元的穩(wěn)定性也能從它的能帶曲線中體現(xiàn)出來(lái)。對(duì)于文中所述的厚度為1 mm、兩種介質(zhì)周期分層的單元，圖4給出了它的能帶曲線。圖4中，橫坐標(biāo)為波矢k，波矢垂直于分層方向(圖2(b)中的y′方向)，縱坐標(biāo)為頻率f。黑色點(diǎn)線為單元的能帶曲線，而紅色虛線為沿y′方向理論上設(shè)計(jì)所需要的聲速。在能帶曲線中，相速度cp=2πf/k，所以黑色點(diǎn)線的斜率與單元聲速直接相關(guān)，而且斜率的穩(wěn)定性也可以反映出單元的工作帶寬。在圖4中，頻率低于4 kHz時(shí)，黑色點(diǎn)線與紅色虛線幾乎完全重合，因此在這段頻率范圍內(nèi)，該單元都可以穩(wěn)定有效地工作。此時(shí)聲波波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于單元的尺寸，兩種流體被視為一個(gè)整體做運(yùn)動(dòng)，所以在低頻條件下，單元會(huì)體現(xiàn)出穩(wěn)定的特性。隨著頻率的增加，黑色點(diǎn)線逐漸偏離紅色虛線，單元參數(shù)不再穩(wěn)定，這時(shí)單元內(nèi)聲波波長(zhǎng)與流體的層厚越來(lái)越接近，兩種流體不能再被視為一個(gè)整體，所以頻率高于4 kHz后單元開(kāi)始慢慢失效。

綜上所述，該單元的參數(shù)在較寬頻率范圍內(nèi)且與設(shè)計(jì)的參數(shù)相吻合，因此可以進(jìn)一步利用其構(gòu)建超材料聲反射器。

圖4 單元能帶曲線Fig.4 Band structure of the layered unit

3 仿真分析

使用有限元軟件COMSOL可以對(duì)實(shí)現(xiàn)的器件進(jìn)行聲場(chǎng)仿真，其中，聲反射器的結(jié)構(gòu)尺寸為a=160 cm，b=20 cm。按照?qǐng)D2(a)所示進(jìn)行分層，藍(lán)色層為介質(zhì)A(ρA=21.99 kg/m3，κA=2.62 MPa)，黃色層為介質(zhì)B(ρB=0.07 kg/m3，κB=7.93 kPa)，層狀結(jié)構(gòu)與x軸夾角α =6.42?。每層厚度為t=0.5 mm，形成厚度為1 mm的分層介質(zhì)單元。將聲反射器放置于硬地面上，以保證理想的全反射邊界，如圖5所示，其余的邊界設(shè)置為吸收邊界，以減小周圍反射的影響。

頻率為3 kHz的仿真聲場(chǎng)如圖5所示。圖5(a)中，左邊一束高斯波從上向下垂直入射(0?)，進(jìn)入反射器之后在其內(nèi)部傳播，然后通過(guò)結(jié)構(gòu)右側(cè)再次向外輻射，反射方向?yàn)樨Q直向上(入射方向的反方向)。圖5(a)中用紅色箭頭在反射器內(nèi)部標(biāo)出了聲波的傳播路徑，聲波進(jìn)入結(jié)構(gòu)后，受到密度各向異性介質(zhì)的影響，波束傳播方向發(fā)生偏折，斜入射在硬地面上，反射后又再次斜向右上方傳播。由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，聲波的傳播路徑也是相應(yīng)對(duì)稱的。經(jīng)過(guò)地面的反射，波束變寬，能量密度下降，所以反射波的幅度會(huì)有所降低。圖5(b)則為一定小傾斜角入射情況下的聲場(chǎng)分布，可見(jiàn)當(dāng)入射角增加到20?，反射聲波也仍然可以保持回向傳播的特點(diǎn)，隨著傾斜角的增加，反射波束會(huì)逐漸向入射波束靠近；當(dāng)傾斜角增加到45?時(shí)(圖5(c))，此時(shí)反射波束與入射波束基本重合。繼續(xù)增加傾斜角到60?，如圖5(d)所示，此時(shí)入射波與反射波的方向存在一定的夾角，反射波已經(jīng)不再向入射波的方向回向傳播，所以在該角度下聲反射器失效。

對(duì)于一個(gè)理想的角反射器而言(圖1(b))，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系可知，兩塊相互正交的反射面可以將45?以內(nèi)的入射波按照原方向進(jìn)行反射(圖1(b)中黃色箭頭)。如果入射角度大于45?，反射波就會(huì)逐漸偏離入射方向。該現(xiàn)象與文中所設(shè)計(jì)的反射器的效果一致，因此證明了這種正面凸起向上的超材料結(jié)構(gòu)也能夠達(dá)到角反射器的效果。

圖5 聲反射器的有限元聲場(chǎng)仿真Fig.5 Simulated acoustic pressure f i elds of the retrodirective ref l ector by FEM

圖6 不同頻率下的仿真聲場(chǎng)Fig.6 Simulated acoustic pressure f i elds of the retrodirective ref l ector at dif f erent frequencies

為了驗(yàn)證結(jié)構(gòu)的寬頻有效性，圖6給出了聲波以10?入射情況下，使用不同頻率的高斯波束作用于聲反射器的仿真聲場(chǎng)。圖6(a)～圖6(d)分別對(duì)應(yīng)于頻率為1 kHz、2 kHz、3 kHz、4 kHz的聲場(chǎng)，圖中左側(cè)為入射波束，以10?小角度入射到結(jié)構(gòu)表面，然后經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)內(nèi)部將聲波引導(dǎo)至右側(cè)，仍然以10?斜向左上方傳播。對(duì)于1 kHz、2 kHz、3 kHz、4 kHz的聲波，其反射波都保持回向傳播的特點(diǎn)，因此該反射器在這段頻率范圍內(nèi)都能有較好的效果。它的工作頻帶與圖3中單元所表現(xiàn)出的穩(wěn)定區(qū)間一致，實(shí)際上整體結(jié)構(gòu)是由一系列單元按照特定的方式排布而成的，很顯然單元的特點(diǎn)也就決定了反射器的特性。在本文中，單元具有寬頻且穩(wěn)定的各向異性的特點(diǎn)，因此設(shè)計(jì)的反射器也就相應(yīng)的能夠在寬頻、多角度下工作。圖5中的仿真證明了結(jié)構(gòu)的有效工作角度范圍，而圖6中的仿真則驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)的寬頻有效性，這與上述結(jié)論相符。

4 結(jié)論

利用變換聲學(xué)理論，本文提出了一種線性變換的聲反射器。這種聲反射器需要利用密度各向異性的超材料進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。結(jié)合Biot流體理論，本文設(shè)計(jì)了一種具有強(qiáng)各向異性的超材料單元，并利用其構(gòu)建了聲反射器。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該反射器可以改變反射聲波的傳播方向，在45?范圍內(nèi)，無(wú)論聲波從任何角度入射，反射波都會(huì)朝入射方向進(jìn)行回向傳播，從而顯著增加回波強(qiáng)度。此外，仿真實(shí)驗(yàn)同樣驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)的寬頻有效性?；诔牧系穆暦瓷淦骺烧{(diào)性強(qiáng)，寬頻有效，易于安裝布放，因此具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。