福建省莆田第五中學(xué) (351100)

黃海霞

文【1】給出了有心圓錐曲線與頂點(diǎn)有關(guān)的兩個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)，即以下的性質(zhì)1、2、3.，讀后頗受啟發(fā)，但覺意猶未盡.本文擬對(duì)這兩個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)進(jìn)行推廣及拓展.先把文【1】的性質(zhì)1、2、3抄錄如下：

以上性質(zhì)揭示了有心圓錐曲線與頂點(diǎn)有關(guān)的兩個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)，下面對(duì)這兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行推廣及拓展.

1.性質(zhì)的縱向推廣

以上性質(zhì)中的點(diǎn)A、B分別是有心圓錐曲線的頂點(diǎn)，即橢圓長軸或短軸、雙曲線實(shí)軸的兩端點(diǎn)，我們不禁要問：如果A、B分別是橢圓、雙曲線任一定直徑的兩端點(diǎn)，那么有什么相應(yīng)的結(jié)論？

這就得到了性質(zhì)1、2的推廣：

(2)kAM·kBN=e2-1.

類似地，可以把性質(zhì)3推廣為

2.性質(zhì)的逆向推廣

3.性質(zhì)的拓展

以上關(guān)于雙曲線的性質(zhì)3.1、3.2均只涉及“直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N”的情形.由于雙曲線C沒有上、下頂點(diǎn)，故文【1】關(guān)于雙曲線的性質(zhì)沒有涉及“直線PA、PB分別與x軸交于點(diǎn)M、N”的情形.現(xiàn)我們已把雙曲線C的實(shí)軸兩端點(diǎn)推廣到任一定直徑的兩端點(diǎn)，那么，關(guān)于雙曲線的性質(zhì)就可以拓展到“直線PA、PB分別與x軸交于點(diǎn)M、N”的情形.

這就得到了性質(zhì)3.1的拓展：

類似性質(zhì)2.2的探究，可得性質(zhì)4.1的逆命題成立.

至此，我們完成了對(duì)文【1】的性質(zhì)1、2、3的推廣及拓展.