福建省龍巖市第一中學(xué) (364000)

胡寅年

什么是有效課堂？

有效課堂，指能夠有效地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，并促使學(xué)生有效學(xué)習(xí)的教學(xué)．衡量一節(jié)課是否有效，在于學(xué)生學(xué)到了什么？學(xué)到了多少？特別是在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力方面收獲了多少？有效課堂的核心，是在課堂教學(xué)活動(dòng)中，在效應(yīng)和效率上追求“有效”，變“接受式”學(xué)習(xí)為主動(dòng)的探究性學(xué)習(xí)．明晰的教學(xué)目標(biāo)、科學(xué)的教學(xué)預(yù)測(cè)、精彩的課堂生成、探究性學(xué)習(xí)的過程是有效課堂的基本特征．

一言以蔽之，構(gòu)建有效課堂的核心，就是要讓學(xué)生動(dòng)起來——?jiǎng)幽X(積極思維)、動(dòng)口(踴躍發(fā)言)、動(dòng)手(探索發(fā)現(xiàn))、動(dòng)腳(社會(huì)實(shí)踐)，乃至動(dòng)心→心動(dòng)．

那么，在課堂(例題)教學(xué)中，我們?nèi)绾尾拍茏非蟮叫?yīng)和效率上的“有效”呢？以經(jīng)典問題為中心的探究活動(dòng)，不失為一條切實(shí)可行的途徑，它應(yīng)當(dāng)成為構(gòu)建有效課堂的一個(gè)著力點(diǎn)．

圖1

性質(zhì)1 如圖1,設(shè)拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交Γ于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC∥x軸，則直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

以上是拋物線焦點(diǎn)弦的一個(gè)幾何性質(zhì)，它曾經(jīng)兩次(2001全國(guó)、1987廣東)被當(dāng)作高考試題，實(shí)在罕見！一方面，本題來源于《平面解析幾何》的兩道習(xí)題，難易適中，思路很寬，內(nèi)涵也十分豐富，區(qū)分性能又很好；另一方面，由于拋物線的幾何性質(zhì)深刻地揭示了拋物線的本質(zhì)特征，是拋物線基本性質(zhì)的進(jìn)一步發(fā)展，而拋物線幾何性質(zhì)的證明，又能很好地體現(xiàn)解析幾何的思想與方法，因而它得到了高考命題專家的(如此)青睞，勘稱高中數(shù)學(xué)的一個(gè)經(jīng)典問題．由此，在課堂(例題)教學(xué)中，我們把上述經(jīng)典問題作為一個(gè)典型例子，引導(dǎo)學(xué)生從多角度(一題多解)、多層次(一題多變)、多方面(一題多思)進(jìn)行以下深入的探究．

性質(zhì)2 如圖2,過拋物線Γ:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線交Γ于A、B兩點(diǎn)，記準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，則x軸為∠AHB的內(nèi)角平分線．

圖2

圖3

性質(zhì)3 如圖3，過拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交Γ于A、B兩點(diǎn)，自A,B向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為A1,B1，O1為線段A1B1的中點(diǎn)．記準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，直線A1F與AO1交于點(diǎn)P，直線B1F與BO1交于點(diǎn)Q，直線AA1、BB1分別與y軸交于點(diǎn)M、N．則

①點(diǎn)P，Q分別落在y軸上；

②四邊形PFQO1是一個(gè)矩形；

③O1A，O1B分別是Γ的切線；

④ΔAO1B，ΔA1FB1，ΔA1PA，ΔO1FA等分別是射影定理三角形；

⑤以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切于點(diǎn)O1．以A1B1為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)F．以AF為直徑的圓與y軸相切于點(diǎn)P．

這是一組非常實(shí)用的幾何性質(zhì)，也讓咱們感受了一下曲線之中平面圖形的魅力，限于篇幅，證明略去．

例2 (2013年全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為( ).

A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8x

C．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x

例3 (2018年全國(guó)Ⅲ卷)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)．若∠AMB=90°，則k=．

簡(jiǎn)析：本題與例1如出一轍，根據(jù)性質(zhì)3④，容易算得k=2．

例4 (2018年全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)拋物線C:y2=2x，點(diǎn)A(2,0)，B(-2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．

(Ⅰ)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

(Ⅱ)證明：∠ABM=∠ABN．

簡(jiǎn)析：明顯地，本題的第(Ⅱ)問取材于上述性質(zhì)2，是拋物線焦點(diǎn)弦?guī)缀涡再|(zhì)的引申，主要考查解析幾何的思想與方法，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，以及考查學(xué)生分析問題的能力等(證明過程略)．

例5 (2018年全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，|AB|=8．

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

圖4

簡(jiǎn)析：如圖4，本題的第(Ⅰ)問，由拋物線的定義等，容易求得l的方程為y=x-1．第(Ⅱ)問似由性質(zhì)3⑤改造而成，主要考查學(xué)生的思維品質(zhì)，以及分析問題的能力等．事實(shí)上，由(Ⅰ)可得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為H(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0)，則

從以上實(shí)例可以看出，高考命題專家對(duì)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)是十分青睞的，或作為小題直接考查學(xué)生對(duì)性質(zhì)的認(rèn)知(如例3)，或作適當(dāng)改造、包裝，使之成為一道難易適中的解答題(如例5)．啟迪我們要通過對(duì)它們卓有成效的教學(xué)，提升學(xué)生的探究能力及核心素養(yǎng)．