湖南省長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué) (410013)

廖永明

文[1]給出了一道調(diào)研試題如下：

問(wèn)題在直角ΔABC中，AC=4，AB=3，點(diǎn)P是斜邊BC上不同于B、C的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在直角邊AB、AC上的射影分別為F、E，則ΔPCE和ΔPBF的面積之和的最小值為.

文[1]作者注意到當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，ΔPCE和ΔPBF的面積之和取到最小值3，且剛好為ΔABC面積的一半，從而根據(jù)平行關(guān)系PF∥AC、PE∥AB，推廣此題得到了非常優(yōu)美的結(jié)論如下：

筆者在感慨結(jié)論優(yōu)美的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)原試題中不僅有PF∥AC,PE∥AB，還有PF⊥AB、PE⊥AC，那么垂直的情形能不能推廣？當(dāng)PF⊥AB、PE∥AB時(shí)又如何？經(jīng)過(guò)研究，筆者發(fā)現(xiàn)此題還可以進(jìn)一步拓廣得到如下結(jié)論：

圖1 圖2

圖3 圖4

證明：如圖4，過(guò)A點(diǎn)作BC邊上的高AO，以BC所在直線(xiàn)為x軸，AO所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

平行和垂直就像一對(duì)孿生兄弟，文[1]從平行的角度進(jìn)行拓廣，受其啟發(fā)，本文從垂直以及平行與垂直結(jié)合的角度切入，得到了一組簡(jiǎn)潔的性質(zhì)，有助于我們更加深刻的理解數(shù)學(xué)，提高解題研究意識(shí).同時(shí)，上述對(duì)文[1]的再拓廣，也正印證了著名數(shù)學(xué)家波利亞的一句話(huà)：沒(méi)有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過(guò)充分的探討與發(fā)現(xiàn)，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn).