安徽省滁州中學(xué) (239000)

張 泓 王 圣

文[1]項衛(wèi)華老師對2018年全國新課標(biāo)試卷第19題作了引申推廣，本文從轉(zhuǎn)化的角度探究2018年全國新課標(biāo)卷第19題試題命制的本質(zhì).

圖1

1 真題再現(xiàn)

(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

2 轉(zhuǎn)化途徑的開發(fā)

當(dāng)直線AB斜率不存在時，(2)問結(jié)論明顯成立.下面主要考慮直線AB斜率存在的情況.重點是落實到∠OMA=∠OMB的等價轉(zhuǎn)化上.通過不同角度的轉(zhuǎn)化、聯(lián)想、探究，使得不同模塊的知識串聯(lián)起來，加強知識模塊的綜合，提升學(xué)生綜合解決問題的能力，在探究的過程中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

轉(zhuǎn)化途徑一：角的相關(guān)問題，結(jié)合高中知識模塊，容易往向量數(shù)量積角度轉(zhuǎn)化，屬于常規(guī)轉(zhuǎn)化，思維技巧較小，學(xué)生也比較容易切入，運算量相對較大.

轉(zhuǎn)化途徑三：原命題等價于證明FM為角∠AMB的平分線，可以將幾何圖形的特征，利用相似，轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式.

圖2

如圖2，不妨假設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)分別在x軸上下方，即y1>0,y2<0.若能證明ΔAA′M與ΔBB′M相似，則命題得證.

?[x1k(x2-1)+x2k(x1-1)-2(k(x1-1)+k(x2-1))]=0，?2x1x2-3(x1+x2)+4=0.

轉(zhuǎn)化途徑四：原命題等價于證明FM為角∠AMB的交平分線，從角平分線的定義角度進行轉(zhuǎn)化，也比較貼切學(xué)生的思維特點.

P(p，0)到直線AM，BM的距離分別記為d1,d2，則可得原命題轉(zhuǎn)化為以下證明：

轉(zhuǎn)化途徑五：可以結(jié)合角平分線的定義，通過幾何圖形對稱轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系式.

轉(zhuǎn)化途徑六：學(xué)生進入到高中，平面解析幾何的入門知識即為直線的傾斜角與斜率，很自然地把角度問題轉(zhuǎn)化為斜率問題來處理，且運算量相對較小.即有：

事實上，也可以設(shè)直線的參數(shù)方程

轉(zhuǎn)化途徑七：涉及到斜率和中點相關(guān)解析幾何問題我們經(jīng)常考慮使用“點差法”，事實上，點動成線，線動成面，平面解析幾何中很多問題都可以歸結(jié)到點的本質(zhì)屬性研究.所以我們也可以從點的角度加以轉(zhuǎn)化，通過對偶式的代數(shù)運算，最終解決問題.

由題設(shè)條件可得

設(shè)x1y2+x2y1=m(4)，(4)+(3)?2x1y2=m+(y1-y2)(5)；(4)-(3)?2x2y1=m-(y1-y2)(6).

轉(zhuǎn)化途徑八：在途徑六的轉(zhuǎn)化過程中，我們顯然可以對點坐標(biāo)進行優(yōu)化，可以考慮從橢圓的參數(shù)方程角度，引入三角函數(shù)作為輔助工具解決問題.

圖3

?RT△AA′M與RT△BB′M相似,即∠A′AM=∠B′BM

?∠AMO=∠BMO，原命題得證.

3 命題推廣及本質(zhì)

圖4

證明：如圖4所示，連接CB,AD交于點N，在極點三角形FMN中，點F的極線是直線MN，即為準(zhǔn)線.又F(AD,MN)=-1,FM⊥FN,所以FM平分∠AFD.