沈惠平 趙一楠 許正驍 李 菊 楊廷力

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016)

0 引言

三自由度三平移(3T)機(jī)構(gòu)為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究較多的一類機(jī)構(gòu)，這類機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、有效工作空間大、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)，在工程中有較好的應(yīng)用價(jià)值。CLAVEL[1]發(fā)明了著名的三維平移Delta機(jī)構(gòu)，之后一些學(xué)者研究了Delta機(jī)構(gòu)的衍生操作手[2-4]；TSAI等[5-6]提出了一種移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)、支鏈含4R平行四邊形機(jī)構(gòu)的三自由度移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)；文獻(xiàn)[7-8]對(duì)3-RRC三平移機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間分析；KONG等[9]提出了一種三自由度3-CRR機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)性能，且沒有明顯的奇異位置；LI等[10-11]提出了3-UPU型三平移機(jī)構(gòu)，并對(duì)該機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行了分析；李仕華等[12]提出了一種新型3-RRUR三平移并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)；陸晶等[13]提出了一種3-RRRP(4R)三平移機(jī)構(gòu)，并對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間的分析；謝俊等[14]提出一種以三平移全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)為主體的茶葉篩分機(jī)，并對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和解耦性進(jìn)行了分析；ZENG等[15-16]設(shè)計(jì)了一種三平移tri-pyramid并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其位置方程的正反解、雅可比矩陣和各向同性等運(yùn)動(dòng)學(xué)特性進(jìn)行了分析；PRAUSE等[17]對(duì)多種三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)分別進(jìn)行了數(shù)綜合、邊界狀況和工作空間等特征的比較，選出了性能較好的機(jī)構(gòu)；MAHMOOD等[18]提出了一種三自由度3-[P2(US)]機(jī)構(gòu)，并對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和靈巧度分析；楊啟志等[19]設(shè)計(jì)了一種三平移并聯(lián)移栽機(jī)器人，并對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)誤差分析。

本文根據(jù)基于方位特征(Position and orientation characteristics, POC)方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)理論[20-21]，設(shè)計(jì)一種低耦合度三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)3Pa+2RSS,并對(duì)其位置正逆解、奇異位形、工作空間及其內(nèi)部奇異區(qū)域等進(jìn)行分析。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與拓?fù)浞治?/h2>

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)基于方位特征(POC)方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)理論[15]，設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

機(jī)構(gòu)動(dòng)、靜平臺(tái)由3條支鏈連接，其中，混合支鏈Ⅰ由3個(gè)4R平行四邊形機(jī)構(gòu)串聯(lián)而成，從靜平臺(tái)0到動(dòng)平臺(tái)1相連的平行四邊形RaiRbiRciRdi(i=1、2、3)分別記為①、②、③；其中，平行四邊形①、②共面連接后，與平行四邊形③垂直連接。顯然，此時(shí)平行四邊形②的輸出桿上S點(diǎn)的POC集為兩平移(2T)，而平行四邊形③末端輸出桿上T點(diǎn)的POC集為三平移(3T)，混合支鏈Ⅰ的拓?fù)涞刃ЫY(jié)構(gòu)可表示為HSOC1{P(4R)-P(4R)-P(4R)}。

而支鏈Ⅱ、Ⅲ為無約束支鏈R-S-S，其中，R21、R31轉(zhuǎn)動(dòng)副與靜平臺(tái)0相連，球副S23、S33與動(dòng)平臺(tái)1相連。

1.2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浞治?/h3>

1.2.1機(jī)構(gòu)的POC計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC方程[15]為

(1)

(2)

式中MJi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集

選定動(dòng)平臺(tái)1上任一點(diǎn)為基點(diǎn)o′，確定支路末端構(gòu)件的POC集，混合支鏈Ⅰ的POC集為

無約束支鏈Ⅱ和支鏈Ⅲ的POC集相同，分別為

確定動(dòng)平臺(tái)的POC集為

即動(dòng)平臺(tái)上任一點(diǎn)的POC集為三平移零轉(zhuǎn)動(dòng)(3T0R)。由此可知，機(jī)構(gòu)只需一條混合支鏈就可實(shí)現(xiàn)三平移的設(shè)計(jì)要求，考慮到機(jī)構(gòu)自由度為3，因此，還需要另兩條各含一個(gè)驅(qū)動(dòng)副的支鏈連接動(dòng)定平臺(tái)，因此，兩條支鏈可采用R-S-S無約束支鏈或R-T-T支鏈。

1.2.2機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全周DOF公式[15]為

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——機(jī)構(gòu)自由度

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度

m——運(yùn)動(dòng)副數(shù)

v——獨(dú)立回路數(shù)n——構(gòu)件數(shù)

ξLj——第j個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構(gòu)件POC集

確定由第Ⅰ、Ⅱ支鏈構(gòu)成的第1個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)為

確定由第Ⅰ、Ⅱ支鏈構(gòu)成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)(Sub-PM)的自由度和POC集分別為

確定由上述(Sub-PM)和支鏈Ⅲ構(gòu)成的回路的獨(dú)立位移方程數(shù)為

確定機(jī)構(gòu)的自由度為

因此，該機(jī)構(gòu)自由度為3，當(dāng)取靜平臺(tái)0上的轉(zhuǎn)動(dòng)副Ra1、R21、R31為驅(qū)動(dòng)副時(shí)，動(dòng)平臺(tái)1可實(shí)現(xiàn)3個(gè)平移的運(yùn)動(dòng)輸出。

1.2.3機(jī)構(gòu)耦合度κ的計(jì)算

由基于序單開鏈(SOC)的機(jī)構(gòu)組成原理[15]知，任一機(jī)構(gòu)可分解為約束度為正、零、負(fù)的3種有序單開鏈(SOC)，第j個(gè)SOCj的約束度定義為

(5)

式中mj——第j個(gè)SOCj的運(yùn)動(dòng)副數(shù)

Ij——第j個(gè)SOCj的驅(qū)動(dòng)副數(shù)

進(jìn)一步，一組有序的v個(gè)SOC可組成一個(gè)零自由度的獨(dú)立回路數(shù)為v的基本運(yùn)動(dòng)鏈BKC(Basic kinematics chain)，對(duì)一個(gè)BKC而言，須滿足

因此，BKC的耦合度為

(6)

在1.2.2節(jié)中，已計(jì)算出機(jī)構(gòu)兩個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)，即ξL1=ξL2=6，因此，它們的約束度分別為

耦合度為

因此，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)僅包含一個(gè)BKC，其耦合度κ=1，這樣，機(jī)構(gòu)位置正解求解時(shí)僅需建立含一個(gè)虛擬變量的非線性位置方程，并可通過一維搜索法求解該機(jī)構(gòu)的位置正解。

2 機(jī)構(gòu)位置分析

2.1 基于有序單開鏈的機(jī)構(gòu)位置正解求解原理

由基于有序單開鏈的機(jī)構(gòu)組成原理[15]可知，機(jī)構(gòu)可分解為若干個(gè)BKC，而每個(gè)BKC可分解為一系列約束度分別為正值、零、負(fù)值的單開鏈回路，因此，機(jī)構(gòu)位置正解的求解，可轉(zhuǎn)換為該BKC內(nèi)3種單開鏈回路的位置求解，而3種單開鏈回路的約束特性及其建模方法分別為：

2.2 位置正解求解

已知：輸入角θ1、θ2、θ3，求：動(dòng)平臺(tái)上o′的坐標(biāo)(x,y,z)。

2.2.1坐標(biāo)系的建立和參數(shù)標(biāo)注

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模如圖2所示，設(shè)機(jī)構(gòu)的靜平臺(tái)0為等邊三角形，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副分別位于等邊三角形的內(nèi)切圓的3個(gè)切點(diǎn)A1、A2、A3上；以靜平臺(tái)0的幾何中心o為原點(diǎn)，建立笛卡爾靜坐標(biāo)系，x軸垂直于平行四邊形①所在的平面并通過點(diǎn)A1，y軸平行于平行四邊形①平面且指向右側(cè)，z軸由右手法則確定。

圖2 3T機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模Fig.2 Kinematic modeling of 3T parallel mechanism

動(dòng)平臺(tái)1也為等邊三角形，動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)o′位于動(dòng)平臺(tái)1的中心，x′軸垂直于C2C3，且通過G1點(diǎn)，y′軸與C2C3平行，指向點(diǎn)C2側(cè)，z′軸根據(jù)右手法則確定。

設(shè)等邊三角形靜平臺(tái)0的內(nèi)切圓半徑為a，等邊三角形動(dòng)平臺(tái)的邊長(zhǎng)為l2；平行四邊形短桿2、5、8的長(zhǎng)度為l3，長(zhǎng)桿3、6、9的長(zhǎng)度為l4；平行四邊形之間的連接桿4、7的長(zhǎng)度均為l5，連接桿10的長(zhǎng)度為l6；兩條簡(jiǎn)單支鏈上的驅(qū)動(dòng)桿11、12的長(zhǎng)度為l7，連桿13、14的長(zhǎng)度為l8。

A1B1與y軸負(fù)方向的夾角為θ1；A2B2與oA2延長(zhǎng)線的夾角為θ2；A3B3與oA3延長(zhǎng)線的夾角為θ3；D1C1與y軸正方向的夾角為δ*；F1E1與x軸負(fù)方向的夾角為γ。

易知，在靜坐標(biāo)系oxyz下，各點(diǎn)的坐標(biāo)為

2.2.2Δ1>0的第一單開鏈回路的位置求解

在Δ1>0的回路上，設(shè)定虛擬變量δ*，而中間變量γ可通過方程求出為關(guān)于δ*的函數(shù)。

由2.2.1節(jié)知，由第Ⅰ、Ⅱ支鏈構(gòu)成的第1回路為

{A1-B1-C1-D1-E1-F1-G1-C2-B2-A2}

易求出點(diǎn)C1、D1、E1、F1、G1的坐標(biāo)為

(7)

同時(shí)，可計(jì)算得點(diǎn)o′的坐標(biāo)

(8)

進(jìn)一步，點(diǎn)C2、C3的坐標(biāo)，用o′點(diǎn)的坐標(biāo)表示為

(9)

(10)

由幾何約束B2C2=l8有

整理并簡(jiǎn)化得

Asinγ+Bcosγ+C=0

令tanγ/2=u，則有

其中

A=2El4-2l4zB2

顯然，γ為虛擬變量δ*的函數(shù)。

2.2.3Δ2<0的第二單開鏈回路的位置求解

第二單開鏈回路{A3-B3-C3}中：A3、B3、C3的坐標(biāo)已求得，由幾何約束C3B3=l8，建立位置約束方程

(11)

該方程中僅包含一個(gè)虛擬變量δ*，因此，可通過一維搜索，不斷改變?chǔ)?的賦值，直至滿足式(11)成立，獲得真實(shí)的δ；再代回式(7)～(10)，即可求得各個(gè)運(yùn)動(dòng)副位置的真實(shí)值，從而得到該機(jī)構(gòu)的位置正解。計(jì)算過程如圖3所示。

圖3 本機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求解流程圖Fig.3 Flow chart of forward kinematics of proposed PM

2.3 位置逆解求解

已知：動(dòng)平臺(tái)1上o′的坐標(biāo)(x,y,z)，求輸入角θ1、θ2、θ3。

由o′坐標(biāo)(x,y,z)，可求F1、E1、D1點(diǎn)的坐標(biāo)為

(12)

由式(7)、(12)，可求出γ為

另外，C2、C3的坐標(biāo)已由式(9)、(10)給出，因此，由桿長(zhǎng)條件建立位置約束方程

(13)

(14)

(15)

即可求解輸入角θ1、θ2、θ3為

(16)

其中t1=l4l5-l4zD1t2=-l7zC2t3=-l7zC3

綜上所述，當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)1上o′的坐標(biāo)(x,y,z)時(shí)，輸入角θ1、θ2、θ3各有兩組解，故逆解的數(shù)目為2×2×2=8，因此，機(jī)構(gòu)有8種構(gòu)型。

2.4 正逆解驗(yàn)證

由Matlab計(jì)算該機(jī)構(gòu)位置正解，如表1所示。

表1位置正解數(shù)值

Tab.1 Numerical values of direct kinematicsmm

取表1中第3組正解數(shù)值，代入逆解式(16)中，得到θ1、θ2、θ3的8組逆解數(shù)值，如表2所示。

表2 位置逆解數(shù)值 Tab.2 Numerical values of inverse kinematics (°)

可見，表2中第3組的逆解數(shù)據(jù)和正解求解時(shí)給定的3個(gè)輸入角一致，其最大相對(duì)誤差為0.55%；同樣，用表1中的其他正解數(shù)據(jù)，也驗(yàn)證了正、逆解公式的正確性。

3 機(jī)構(gòu)奇異性分析

3.1 雅可比矩陣

(17)

其中

f11=xD1-xC1f12=yD1-yC1f13=zD1-zC1

f21=xC2-xB2f22=yC2-yB2f23=zC2-zB2

f31=xC3-xB3f32=yC3-yB3f33=zC3-zB3

u11=-(yD1-yC1)l4sinθ1-(zD1-zC1)l4cosθ1

u22=-(xC2-xB2)l7sinθ2/2+(yC2-

u33=-(xC3-xB3)l7sinθ3/2-(yC3-

3.2 奇異性分析

依據(jù)矩陣A、B是否奇異，將機(jī)構(gòu)奇異位形分為如下3類[22]：

(1)第Ⅰ類奇異，即

detB=0

(18)

這種類型的奇異位形發(fā)生在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間邊界或者位置逆解數(shù)目發(fā)生變化時(shí)的位形，稱為串聯(lián)奇異(邊界奇異)。當(dāng)機(jī)構(gòu)發(fā)生第Ⅰ類奇異時(shí)，機(jī)構(gòu)的執(zhí)行構(gòu)件將失去某個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)能力，此時(shí)，至少有一個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈達(dá)到了工作空間的邊界。

根據(jù)式(18)有，u11u12u13=0，所以u(píng)11、u12、u13中至少有一個(gè)為零，當(dāng)u11=0，即tanθ1=-(zD1-zC1)/(yD1-yC1)，即點(diǎn)C1、D1所在直線斜率和角θ1的斜率相等，即當(dāng)Rd2Ra2和Rd1Ra1平行時(shí)如圖4a所示。

圖4 第Ⅰ類奇異位置Fig.4 The first kind of singularity

同理u22、u33為零的條件分別為

tanθ2= -(zC2-zB2)/(xC2-xB2)cos60°+

(yC2-yB2)cos30°

tanθ3= -(zC3-zB3)/(xC3-xB3)cos60°-

(yC3-yB3)cos30°

對(duì)應(yīng)的條件分別為點(diǎn)C2、B2、A2和點(diǎn)C3、B3、A3分別在A2oz和A3oz平面共線，兩個(gè)條件中，其中一個(gè)發(fā)生即為串聯(lián)奇異的第2種情況。機(jī)構(gòu)的2條RSS支鏈?zhǔn)菍?duì)稱的，因此，圖4b為其中一種情況，即一條支鏈達(dá)到工作空間邊界的情況。

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于以上任一位置時(shí)，均會(huì)發(fā)生奇異。

(2)第Ⅱ類奇異，即

detA=0

(19)

這種類型的奇異位形發(fā)生在并聯(lián)結(jié)構(gòu)的工作空間內(nèi)部，稱為并聯(lián)奇異(內(nèi)部奇異)。此時(shí)固定并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，末端執(zhí)行器仍存在瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)，表明機(jī)構(gòu)至少獲得一個(gè)瞬時(shí)自由度，這時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)失去剛度，無法承受任何承載。

由式(19)可知，將矩陣A看作3個(gè)行向量，即：A=[e1e2e3]T，detA=0存在兩種情況：

①2個(gè)向量線性相關(guān)

設(shè)ke1=e2(即e1、e2線性相關(guān))

k(f11，f12，f13)T=(f21，f22，f23)T

即桿Rc2Rb2和桿S23S22在空間內(nèi)平行，如圖5a所示。

設(shè)ke2=e3(即e2、e3線性相關(guān))

k(f21，f22，f23)T=(f31，f32，f33)T

即桿S33S32和桿S23S22在空間內(nèi)平行，如圖5b所示。

②3個(gè)向量線性相關(guān)

設(shè)e2=k1e1+k2e3(k1k2≠0)，則有

k(f21，f22，f23)T=k1(f11，f12]f13)T+k2(f31，f32，f33)T

通過Matlab計(jì)算表明，該種情況下k1、k2的解無法解出，因此，此種情況不存在。

圖5 第Ⅱ類奇異位置Fig.5 The second kind of singularity

(3)第Ⅲ類奇異，即

detA=0且detB=0

此時(shí)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)和末端執(zhí)行器都存在著瞬時(shí)互不影響的非零輸入和輸出，對(duì)應(yīng)的位姿就是第Ⅲ類奇異，處于該類奇異時(shí)，機(jī)構(gòu)將失去自由度，在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)階段應(yīng)予以避免。

4 機(jī)構(gòu)的工作空間以及內(nèi)部奇異分析

U副在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，相比于S副有著更大的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍，且結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單。因此，兩條RSS無約束支鏈，實(shí)際制作時(shí)采用RUU支鏈，自由度、輸出和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析不變，但被動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)范圍增加了很多，因此，工作空間大大增加。根據(jù)實(shí)驗(yàn)室已經(jīng)制作的使用RUU支鏈替代RSS支鏈的樣機(jī)的尺寸比例，在SolidWorks中設(shè)計(jì)虛擬樣機(jī)如圖6所示，在每一個(gè)U副上建立空間直角坐標(biāo)系uiviwi(i=1，2，3，4)，向量ai(i=2，3)表示平行于驅(qū)動(dòng)副轉(zhuǎn)動(dòng)軸線并指向靜坐標(biāo)系x軸正方向的向量；向量bi(i=2，3)表示與驅(qū)動(dòng)臂平行，并指向被動(dòng)U副的向量。

圖6 虛擬樣機(jī)設(shè)計(jì)Fig.6 Virtual prototyping design

圖7 被動(dòng)副U22建模Fig.7 Modeling of passive joint U22

圖7為支鏈Ⅱ中連接主動(dòng)臂和從動(dòng)臂的U副U22的建模圖，αu1為向量n1繞著向量u1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，距向量w1軸產(chǎn)生的偏角；αv1為向量n1繞著向量v1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，距向量w1軸產(chǎn)生的偏角；在虛擬樣機(jī)中調(diào)試動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)，得到向量u1和向量n1的夾角范圍為30°≤arccos(u1n1) ≤120°，向量v1和向量n1的夾角范圍為0°≤arccos(v1n1)≤180°。

圖8為支鏈Ⅱ中連接從動(dòng)臂和動(dòng)平臺(tái)的U副的U23建模圖，αu2為向量n2繞著向量u2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，距向量w2軸產(chǎn)生的偏角；αv2為向量n2繞著向量v2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，距向量w2軸產(chǎn)生的偏角；在虛擬樣機(jī)中調(diào)試動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)，得到向量u2和向量n2的夾角范圍為50°≤arccos(u2n2)≤150°，向量v2和向量n2的夾角范圍為90°≤arccos(v2n2)≤180°。

圖8 被動(dòng)副U23建模Fig.8 Modeling of passive joint U23

另一條RUU支鏈建模同理。

機(jī)構(gòu)的工作空間分析，采用離散化空間三維搜索法，將搜索范圍設(shè)定為：-100 mm≤x≤300 mm，-400 mm≤y≤400 mm，-450 mm≤z≤650 mm，-π≤θ≤π。

通過Matlab求得工作空間，如圖9所示。

圖9 工作空間及其奇異情況Fig.9 Workspace and singularities

串聯(lián)奇異可以通過實(shí)際控制手段避開，因此，本文主要討論并聯(lián)奇異，即第Ⅱ類奇異。根據(jù)第Ⅱ類奇異判別式(19)，利用Matlab軟件編程求解，得到如圖9所示的機(jī)構(gòu)工作空間的三維立體圖，其中，紅色的點(diǎn)為發(fā)生第Ⅱ類奇異時(shí)在工作空間內(nèi)的位置，綠色部分為無奇異區(qū)域。圖10為4個(gè)x-y截面隨著z值的改變奇異與非奇異工作空間情況，表明該工作空間內(nèi)部的無奇異工作空間較大。

圖10 工作空間內(nèi)不同x-y截面內(nèi)奇異情況Fig.10 Singularities in workspace from different x-y sections

5 結(jié)論

(1)提出了一種低耦合度三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，具有單一動(dòng)平臺(tái)，可實(shí)現(xiàn)較大范圍的三維移動(dòng)。

(2)機(jī)構(gòu)耦合度κ=1，因此，其位置正解求解僅需建立含一個(gè)虛擬變量的非線性約束方程，并用一維搜索法即可求得。

(3)給出了該機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異位置的幾何條件和工作空間內(nèi)奇異產(chǎn)生的位置，表明機(jī)構(gòu)的有效工作空間較大。