葉梅燕 石志新 羅玉峰,3

(1.南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 南昌 330031； 2.南昌大學(xué)理學(xué)院， 南昌 330031；3.華東交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院， 南昌 330013)

0 引言

構(gòu)型綜合的前提和關(guān)鍵在于對(duì)末端構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特征的完整描述和準(zhǔn)確分析。末端運(yùn)動(dòng)特征既是構(gòu)型綜合的設(shè)計(jì)目標(biāo)，又是分析判定所得機(jī)構(gòu)是否符合要求的依據(jù)，因此其表達(dá)類型的完整性直接決定綜合結(jié)果的完備性，其分析方法的準(zhǔn)確性與難易程度直接關(guān)系到綜合方法的有效性。

目前已形成4種理論方法：螺旋理論方法[1-6]、位移子群/流形方法[7-11]、方位特征集方法[12-19]和GF集理論方法[20-23]。上述理論方法推動(dòng)了機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)的迅猛發(fā)展，然而仍然存在一些問(wèn)題：①運(yùn)動(dòng)特征信息不完整，機(jī)構(gòu)類型表達(dá)不全面。現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)特征指標(biāo)中僅含運(yùn)動(dòng)類型、運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)空間維數(shù)這3類信息，缺少運(yùn)動(dòng)空間整體形態(tài)信息。②現(xiàn)有理論方法大多依賴現(xiàn)代代數(shù)工具。這些代數(shù)方法較為抽象，不易理解，且難以確定運(yùn)動(dòng)空間的整體形態(tài)，因此有必要提出簡(jiǎn)單、直觀的幾何化方法。③矢量線性運(yùn)算規(guī)則不適用于彎曲平移運(yùn)動(dòng)特征。方位特征集理論采用矢量描述構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)方向，并且利用矢量線性相關(guān)性制定了各種運(yùn)算規(guī)則。對(duì)于具有彎曲平移特征的機(jī)構(gòu)而言，其移動(dòng)方向時(shí)刻變化，難以采用矢量進(jìn)行描述，因此相應(yīng)的矢量線性運(yùn)算規(guī)則不再適用。

本文提出基于高斯幾何學(xué)的幾何化描述與分析方法。首先借鑒高斯幾何學(xué)將直線、曲線、平面以及曲面等均視作可描述末端運(yùn)動(dòng)特征的獨(dú)立空間，進(jìn)而建立基于高斯幾何學(xué)的運(yùn)動(dòng)特征描述模型；然后基于該描述模型制定末端運(yùn)動(dòng)特征的求并和求交運(yùn)算規(guī)則；最后結(jié)合實(shí)例提出機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)特征的分析方法。

1 末端構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特征的描述方法

機(jī)器人末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)屬于剛體運(yùn)動(dòng)，它包括平移運(yùn)動(dòng)(簡(jiǎn)稱移動(dòng))和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng))2種運(yùn)動(dòng)類型。因此機(jī)器人末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征應(yīng)由轉(zhuǎn)動(dòng)特征和移動(dòng)特征共同組成，即

(1)

式中M——末端構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特征集

TC——末端構(gòu)件移動(dòng)特征

RC——末端構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)特征

1.1 移動(dòng)特征

為了清晰描述機(jī)器人末端構(gòu)件的移動(dòng)特征，給出如下定義：

定義1：末端構(gòu)件作平移運(yùn)動(dòng)(姿態(tài)保持不變)時(shí)，構(gòu)件上任意一點(diǎn)的軌跡均相同，該軌跡稱為末端構(gòu)件的移動(dòng)空間(記為T)。

值得注意的是，移動(dòng)空間包括平直空間(即軌跡為直線或平面)和彎曲空間(即軌跡為曲線或曲面)2種情況。如平行四邊形機(jī)構(gòu)中連桿作圓周曲線平移運(yùn)動(dòng)，連桿上任意一點(diǎn)的軌跡均為圓周曲線，因此其移動(dòng)空間為彎曲空間。

對(duì)于平直空間而言，其維數(shù)和基向量可直接反映獨(dú)立移動(dòng)數(shù)目及方向。然而由于彎曲空間不存在基向量，因此除了維數(shù)外，還應(yīng)給出其整體形態(tài)和生成方式等信息。考慮到平直空間屬于彎曲空間的特例，采用統(tǒng)一模型來(lái)描述移動(dòng)特征，其形式為

TC=tp(T)=tp(w,N)

(2)

式中t——移動(dòng)

p——移動(dòng)空間維數(shù)

w——移動(dòng)空間整體形態(tài)

N——移動(dòng)空間生成方式

值得注意的是：①基于高斯幾何學(xué)的基本思想，直線和曲線被視為1維獨(dú)立空間，平面和曲面被視為2維獨(dú)立空間。②0維和3維移動(dòng)空間無(wú)需記錄整體形態(tài)和生成方式，因此其移動(dòng)特征可分別表示為t0和t3。

1.2 轉(zhuǎn)動(dòng)特征

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可利用旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行刻畫，因此旋轉(zhuǎn)軸的數(shù)目和方向可反映機(jī)器人末端構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)特征。為了清晰描述轉(zhuǎn)動(dòng)特征，給出如下定義：

定義2：末端構(gòu)件所有允許的旋轉(zhuǎn)方向單位矢量的集合稱為轉(zhuǎn)動(dòng)特征集(記為S)。

根據(jù)定義2不難發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)特征集中向量的個(gè)數(shù)和向量的方向可直接分別反映旋轉(zhuǎn)軸的數(shù)目和方向。因此轉(zhuǎn)動(dòng)特征可表示為

RC=rq(S)

(3)

式中r——轉(zhuǎn)動(dòng)

S——轉(zhuǎn)動(dòng)特征集

q——轉(zhuǎn)動(dòng)特征集維數(shù)

轉(zhuǎn)動(dòng)特征集表示方法包括：①0維轉(zhuǎn)動(dòng)特征集表示末端構(gòu)件不存在任何方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，故轉(zhuǎn)動(dòng)特征可表示為r0。②1維轉(zhuǎn)動(dòng)特征集可表示為r1(l)，其中l(wèi)為1維轉(zhuǎn)動(dòng)軸線方向單位矢量。③ 2維轉(zhuǎn)動(dòng)特征集可表示為r2(l1,l2)，其中l(wèi)1和l2為轉(zhuǎn)動(dòng)軸線方向單位矢量。④ 3維轉(zhuǎn)動(dòng)特征集表示末端構(gòu)件可繞任意方向作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此轉(zhuǎn)動(dòng)特征可表示為r3。

2 串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征

由于串聯(lián)機(jī)構(gòu)是由若干個(gè)運(yùn)動(dòng)副依次串聯(lián)而成，因此串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征集是各運(yùn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)輸出特征的并集，即可表示為

(4)

式中Ms——串聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征集

Mi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的輸出特征

2.1 單個(gè)運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)輸出特征

機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副類型較多，常見運(yùn)動(dòng)副包括：轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副、球副、胡克鉸、圓柱副等。為了分析方便，可采運(yùn)動(dòng)副等效替換的方法將它們簡(jiǎn)化為只含轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副2種。例如，球副等效為3個(gè)軸線匯交于1點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副，胡克鉸等效為2個(gè)軸線垂直正交的轉(zhuǎn)動(dòng)副，圓柱副等效為共軸的轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副。

(1)移動(dòng)副(P副)的運(yùn)動(dòng)輸出特征。由于P副僅產(chǎn)生直線平移運(yùn)動(dòng)，其移動(dòng)空間整體形態(tài)為直線，并且該移動(dòng)空間由P副生成，因此根據(jù)式(2)可知，移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)輸出特征可表示為t1(直線,P)，其中P為P副的方向矢量。

(2)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R副)的運(yùn)動(dòng)輸出特征。轉(zhuǎn)動(dòng)副不僅能產(chǎn)生繞其軸線的運(yùn)動(dòng)，而且可衍生出垂直于軸線方向的圓周曲線平移運(yùn)動(dòng)，即其運(yùn)動(dòng)特征具有二重性。可按如下規(guī)則選?。孩賰?yōu)先取旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)作為運(yùn)動(dòng)輸出特征，記為r1(R)，其中R為R副軸線方向矢量。②若已有運(yùn)動(dòng)副產(chǎn)生了與該轉(zhuǎn)動(dòng)副旋轉(zhuǎn)方向相同的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則該轉(zhuǎn)動(dòng)副將會(huì)衍生圓周曲線平移(圖1)，此時(shí)應(yīng)取衍生圓周曲線平移作為其運(yùn)動(dòng)輸出特征，記為t1(圓,R)。

圖1 R‖R機(jī)構(gòu)的移動(dòng)空間Fig.1 Structure diagrams of R‖R mechanism

2.2 運(yùn)動(dòng)特征求并運(yùn)算規(guī)則

2.2.1轉(zhuǎn)動(dòng)特征的求并運(yùn)算規(guī)則

根據(jù)定義1可知，轉(zhuǎn)動(dòng)特征是方向矢量的集合，因此轉(zhuǎn)動(dòng)特征RC可利用矢量線性相關(guān)性進(jìn)行分析確定，具體運(yùn)算規(guī)則如下。

(1)r0與r1的求并運(yùn)算規(guī)則

r0∪r1(R)=r1(R)

(2)r1與r1的求并運(yùn)算規(guī)則

當(dāng)R1‖R2時(shí)，r1(R1)∪r1(R2)=r1(R1)，否則求并結(jié)果為r2(R1,R2)。

(3)r2與r1的求并運(yùn)算規(guī)則

當(dāng)R3可由向量組(R1,R2)線性表示時(shí)，r2(R1,R2)∪r1(R3)=r2(R1,R2)，否則求并結(jié)果為r3。

(4)r3與r1的求并運(yùn)算規(guī)則

r3∪r1(R)=r3

2.2.2移動(dòng)特征的求并運(yùn)算規(guī)則

移動(dòng)特征求并運(yùn)算共存在如下4條規(guī)則：

(1)t0與t1的求并運(yùn)算規(guī)則

t0∪t1(w,N)=t1(w,N)

(2)t1與t1的求并運(yùn)算規(guī)則

按移動(dòng)空間類型劃分，存在如下3種情況：

①t1(直線,P1)∪t1(直線,P2)。若P1‖P2則TC=t1(直線,P1)，否則TC=t2(平面,n)，其中n為該平面的法向量。

②t1(直線,P)∪t1(圓,R)?？紤]直線和圓所在平面全部可能的方位關(guān)系及布置順序，其移動(dòng)特征TC存在3種情況，具體包括：t2(平面,R)、t2(圓柱面,P+R)和t2(圓錐面,P+R)，其中P+R表示該移動(dòng)空間由P副和R副產(chǎn)生的平移經(jīng)運(yùn)動(dòng)合成而成(下同)。其詳細(xì)求并結(jié)果和相應(yīng)示例如表1所示。

假定孤石為完整塊體，內(nèi)部無(wú)節(jié)理裂隙，只考慮重力作用，孤石相對(duì)于周圍殘積土剛度足夠大，相互作用過(guò)程中可以不考慮變形作用，與孤石接觸的周圍土體，為均質(zhì)、各向同性體，不考慮作用過(guò)程中土體各向異性和非線性作用對(duì)孤石與土體相互作用的影響。孤石重力作用的穩(wěn)定計(jì)算考慮疊石、完全出露、部分出露、完全埋入4種情況。

③t1(圓,R1)∪t1(圓,R2)?？紤]兩圓所在平面的全部可能方位關(guān)系，其移動(dòng)特征TC存在3種情況，具體包括：t2(平面,R1)、t2(環(huán)面,R1+R2)和t2(球面,R1+R2)。其詳細(xì)求并結(jié)果和相應(yīng)示例如表2所示。

表1和表2中部分示例機(jī)構(gòu)的移動(dòng)空間如圖2所示。

(3)t2與t1的求并運(yùn)算規(guī)則

一般而言，t2與t1的求并結(jié)果為t3，但存在3種特殊情況：

①t2(平面,n)∪t1(直線,P)。若P⊥n則移動(dòng)特征TC=t2(平面,n)，否則TC=t3。

②t2(平面,n)∪t1(圓,R)。若R‖n則移動(dòng)特征TC=t2(平面,n)，否則TC=t3。

③t2(圓柱面,P1+R)∪t1(直線,P2)。若P1‖P2則TC=t2(圓柱面,P1+R)，否則TC=t3。

t3∪t1(w,N)=t3

2.3 串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征分析方法及實(shí)例

2.3.1串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征分析方法

串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征分析方法和步驟如下：

(1)賦初值。將轉(zhuǎn)動(dòng)特征集和移動(dòng)特征集的初值均賦為空集，即RC=r0，TC=t0。

(2)確定運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)輸出特征。①當(dāng)?shù)趇個(gè)

表1直線平移和圓周平移的求并運(yùn)算規(guī)則
Tab.1Unionoperationrulesoflinetranslationandcirculartranslation

表2 兩圓周平移經(jīng)求并運(yùn)算后的移動(dòng)特征Tab.2 Union operation rules of two circular translation

運(yùn)動(dòng)副為移動(dòng)副Pi時(shí)，其運(yùn)動(dòng)輸出特征唯一，并且運(yùn)動(dòng)輸出特征為t1(直線,Pi)。②當(dāng)?shù)趇個(gè)運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri時(shí)，優(yōu)先取其旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)作為運(yùn)動(dòng)輸出特征，判斷矢量Ri能否由轉(zhuǎn)動(dòng)特征集S中的向量線性表示，若否，則取其運(yùn)動(dòng)輸出特征為r1(Ri)；若是，則取其衍生平移運(yùn)動(dòng)t1(圓,Ri)作為運(yùn)動(dòng)輸出特征。

(3)運(yùn)動(dòng)特征集的更新。根據(jù)2.2節(jié)介紹的求并運(yùn)算規(guī)則，更新運(yùn)動(dòng)特征集。

(4)循環(huán)。從i=1開始，重復(fù)步驟(2)和(3)，直到i=n終止，其中n為經(jīng)運(yùn)動(dòng)副等效替換后機(jī)構(gòu)所有運(yùn)動(dòng)副數(shù)目之和。

(5)結(jié)束。輸出最終的轉(zhuǎn)動(dòng)特征RC和移動(dòng)特征TC，得到末端構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特征集M。

圖2 表1和表2中部分機(jī)構(gòu)的移動(dòng)空間Fig.2 Translation spaces of some mechanisms in Tab.1 and Tab.2

2.3.2實(shí)例分析

圖3 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖(例1)Fig.3 Structure diagrams of example 1

例1：利用上述運(yùn)動(dòng)特征分析方法，分析圖3串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征。

根據(jù)上述串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征分析方法，圖3a機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征分析步驟及結(jié)果如下：

(1)賦初值

RC=r0TC=t0

(2)確定運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)輸出特征

當(dāng)i=1時(shí)，第1個(gè)運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副R1，此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)特征集RC=r0，轉(zhuǎn)動(dòng)特征集S為空集，故方向矢量R1不能被S中的向量線性表示，因此轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的運(yùn)動(dòng)輸出特征為r1(R1)。

(3)運(yùn)動(dòng)特征集的更新

由轉(zhuǎn)動(dòng)特征求并運(yùn)算規(guī)則(1)可知，轉(zhuǎn)動(dòng)特征集RC=r0∪r1(R1)=r1(R1)，移動(dòng)特征集TC保持上步結(jié)果t0不變。

(4)循環(huán)(重復(fù)步驟(2)和(3))

當(dāng)i=2時(shí)，第2個(gè)運(yùn)動(dòng)副為R2，由于R2‖R1，故R2能被R1線性表示，因此R2的運(yùn)動(dòng)輸出特征取為衍生平移運(yùn)動(dòng)t1(圓,R2)。由移動(dòng)特征求并運(yùn)算規(guī)則(1)可知：TC=t0∪t1(圓,R2)=t1(圓,R2)。RC保持上步結(jié)果r1(R1)不變。

當(dāng)i=3時(shí)，第3個(gè)運(yùn)動(dòng)副為R3，由于R3‖R1，故其運(yùn)動(dòng)輸出特征取為t1(圓,R3)。由于R2‖R3，根據(jù)移動(dòng)特征求并運(yùn)算規(guī)則(2)中的情況③可知：TC=t1(圓,R2)∪t1(圓,R3)=t2(平面,R2)。RC保持上步結(jié)果r1(R1)不變。

當(dāng)i=4時(shí)，第4個(gè)運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副R4。由于R4與R1不平行，R4不能被R1線性表示，故其運(yùn)動(dòng)輸出特征取為r1(R4)，因此根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)特征求并運(yùn)算規(guī)則(2)可知RC=r1(R1)∪r1(R4)=r2(R1,R4)。TC保持上步結(jié)果t2(平面,R2)不變。

當(dāng)i=5時(shí)，第5個(gè)運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副R5。由于R5‖R4，故R5能被向量組(R1,R4)線性表示，因此其運(yùn)動(dòng)輸出特征取為t1(圓,R5)。由于R2與R5不平行，依移動(dòng)特征求并運(yùn)算規(guī)則(3)中的情況②可知：TC=t2(平面,R2)∪t1(圓,R5)=t3。RC保持上步結(jié)果r2(R1,R4)不變。

(5)輸出末端構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特征集M

(5)

圖3b機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征主要分析步驟及結(jié)果如下：首先，容易分析得到R1‖R2‖R3的轉(zhuǎn)動(dòng)特征和移動(dòng)特征分別為r1(R1)和t2(平面,R2)。其次，不難判定平行四邊形機(jī)構(gòu)(4R)和運(yùn)動(dòng)副R4的運(yùn)動(dòng)輸出特征分別為t1(圓,R)和r1(R4)。最后，依求并運(yùn)算規(guī)則可知：該機(jī)構(gòu)移動(dòng)特征集為TC=t2(平面,R2)∪t1(圓,R)=t3，轉(zhuǎn)動(dòng)特征集為RC=r1(R1)∪r1(R4)=r2(R1,R4)。因此該機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特征集亦為式(5)。

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特征

3.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)特征的分析方法

由于動(dòng)平臺(tái)是在各支鏈共同作用下進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，因此并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特征是各支鏈末端運(yùn)動(dòng)特征的交集。

3.1.1動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)特征的分析方法

根據(jù)定義2可知，轉(zhuǎn)動(dòng)特征集是轉(zhuǎn)動(dòng)軸線方向單位向量的集合，因此分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)特征的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為確定各支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)特征集的公共向量問(wèn)題，具體分析方法如下：

設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)有m條支鏈組成，各支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)特征集及其維數(shù)分別記為Sj和qj，其中j=1, 2,…,m,則并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)特征RC可表示為

(6)

由于式(6)中m個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)特征集均為單位向量的集合，因此由線性代數(shù)知識(shí)不難確定它們的公共向量(記為S)，進(jìn)而得公共向量S的維數(shù)q，從而得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)特征。

3.1.2各支鏈末端移動(dòng)特征的求交運(yùn)算規(guī)則

根據(jù)定義1可知，移動(dòng)空間不屬于線性空間，不能利用線性相關(guān)性得到求交運(yùn)算結(jié)果。由于各支鏈移動(dòng)空間的整體形態(tài)特征已知，因此可采用幾何方法分析確定出求交運(yùn)算結(jié)果。

(1)t0與其他移動(dòng)特征的求交運(yùn)算規(guī)則

t0∩tp(w,N)=t0

(2)t1與t1的求交運(yùn)算規(guī)則

按移動(dòng)空間類型劃分，存在如下3種情況：

①t1(直線,P1)∩t1(直線,P2)?？臻g兩直線的位置關(guān)系存在平行、相交和交叉3種情況。當(dāng)且僅當(dāng)兩直線相互平行時(shí)，二者交集為一段連續(xù)的位移空間，故P1‖P2時(shí)TC=t1(直線,P1)，否則TC=t0。

②t1(直線,P)∩t1(圓,R)。由于直線和圓的交集不是一段連續(xù)的位移空間，因此TC=t0。

③t1(圓,R1)∩t1(圓,R2)。如表3所示，二者的求交結(jié)果一般為t0，但存在如下特殊情況：當(dāng)兩圓所在平面平行，兩圓大小相等，且機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件分別聯(lián)接在兩圓的對(duì)應(yīng)位置點(diǎn)上時(shí)，二者的求交結(jié)果為TC=t1(圓,R1)。

表3兩圓周平移的求交運(yùn)算規(guī)則
Tab.3Intersectionoperationrulesoftwocirculartranslation

值得注意的是，兩圓大小相等需要由構(gòu)件的尺寸保證，但在進(jìn)行機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析與綜合時(shí)，一般不考慮構(gòu)件的具體尺寸，因此本文后續(xù)求交運(yùn)算規(guī)則中均不考慮構(gòu)件尺寸對(duì)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)特征的影響，即默認(rèn)各支鏈移動(dòng)空間的大小不相等。

(3)t1與t2的求交運(yùn)算規(guī)則

按移動(dòng)空間類型劃分，存在如下7種情況：

①t1(直線,P)∩t2(平面,n)。當(dāng)且僅當(dāng)直線和平面平行(即P⊥n)時(shí)，二者交集為一段連續(xù)的位移空間，求交結(jié)果為TC=t1(直線,P)，否則TC=t0。

②t1(直線,P1)∩t2(圓柱面,P2+R)。當(dāng)且僅當(dāng)直線和圓柱面的素線平行(即P1‖P2)時(shí)，求交結(jié)果為TC=t1(直線,P1)，否則TC=t0。

③t1(直線,P1)∩t2(圓錐面,P2+R)。當(dāng)且僅當(dāng)直線和圓錐面的素線平行(即P1‖P2)時(shí)，二者交集TC=t1(直線,P1)，否則TC=t0。

④t1(直線,P)∩t2(環(huán)面,R1+R2)。由幾何知識(shí)可知直線和環(huán)面的交集不是一段連續(xù)的位移空間，因此二者求交結(jié)果為TC=t0。

⑤t1(直線,P)∩t2(球面,R1+R2)。由于直線和球面的交集不是一段連續(xù)的位移空間，因此二者求交結(jié)果為TC=t0。

⑥t1(圓,R)∩t2(平面,n)。當(dāng)且僅當(dāng)圓周所在平面和平面平行(即R‖n)時(shí)，二者交集為一段連續(xù)的位移空間，求交結(jié)果為TC=t1(圓,R)，否則TC=t0。

⑦不考慮構(gòu)件的具體尺寸，即默認(rèn)各支鏈移動(dòng)空間的大小不相等時(shí)，圓周與圓柱面、圓錐面、環(huán)面以及球面的交集都不是一段連續(xù)的位移空間，因此t1(圓,R)與t2(圓柱面,P+R)，t2(圓錐面,P+R)，t2(環(huán)面,R1+R2)以及t2(球面,R1+R2)的求交結(jié)果均為TC=t0。

(4)t2與t2的求交運(yùn)算規(guī)則

由于2維移動(dòng)空間的整體形態(tài)包括平面和曲面(圓柱面、圓錐面、環(huán)面、球面)2種類型，因此存在如下3種情況：

①t2(平面,n1)∩t2(平面,n2)。當(dāng)n1‖n2時(shí)二者求交結(jié)果為TC=t2(平面,n1)；否則求交結(jié)果為TC=t1(直線,n1×n2)。

②平面和曲面求交。可知，平面和曲面的交集為截交線。截交線形狀包括橢圓、圓、拋物線、雙曲線等，但它們均為平面曲線。因此這類移動(dòng)空間均為1維平面曲線，其整體形態(tài)均可稱為截交線。例如，2維移動(dòng)特征t2(平面,n)與t2(圓柱面,P+R)的求交結(jié)果可表示為TC=t1(截交線,n)。

③曲面和曲面求交。可知，曲面和曲面的交集為相貫線。相貫線屬于空間曲線。因此這類移動(dòng)空間為1維空間曲線，其整體形態(tài)可統(tǒng)稱為相貫線。例如，2維移動(dòng)特征t2(圓柱面,P1+R1)與t2(圓錐面,P2+R2)的求交結(jié)果可表示為TC=t1(相貫線,(P1+R1)∩(P2+R2))。

(5)t3與其他移動(dòng)特征的求交運(yùn)算規(guī)則

t3∩tp(w,N)=tp(w,N)

3.2 實(shí)例分析

例2：分析確定圖4a[15]和圖4b[17]并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)特征集。

圖4 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖(例2)Fig.4 Structure diagrams of example 2

圖4a所示機(jī)構(gòu)由4條支鏈組成，并且支鏈Ⅰ和Ⅱ的結(jié)構(gòu)特征均為R‖R‖R⊥R‖R；支鏈Ⅲ和Ⅳ的結(jié)構(gòu)特征均為R-S-S。聯(lián)接在靜平臺(tái)上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副方位特征為R11‖R31‖R41⊥R21；聯(lián)接在動(dòng)平臺(tái)上的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副方位特征為R15‖R25。該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)特征分析步驟及結(jié)果如下：

由例1可知，支鏈Ⅰ和Ⅱ的移動(dòng)特征均為t3；轉(zhuǎn)動(dòng)特征分別為r2(R11,R14)和r2(R21,R24)。將支鏈Ⅲ和Ⅳ中的球副等效為軸線匯交于1點(diǎn)的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副后，利用上述串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征分析方法不難發(fā)現(xiàn)，二者的移動(dòng)特征和轉(zhuǎn)動(dòng)特征分別為t3和r3。

根據(jù)3.1節(jié)介紹的運(yùn)動(dòng)特征求交運(yùn)算規(guī)則，動(dòng)平臺(tái)的移動(dòng)特征為TC=t3∩t3∩t3∩t3=t3。由于R14‖R15‖R25‖R24但R11⊥R21，故向量組(R11,R14)和(R21,R24)的公共向量為R14，因此轉(zhuǎn)動(dòng)特征為RC=r2(R11,R14)∩r2(R21,R24)∩r3∩r3=r1(R14)。圖4a所示機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)特征集M為

(7)

式(7)表明，該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)具有在3維平移以及繞R14方向旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)輸出能力。這與文獻(xiàn)[15]分析結(jié)果一致。

圖4b所示機(jī)構(gòu)由4條相同支鏈組成，其結(jié)構(gòu)特征均為R‖R(-4R-)‖R⊥R。聯(lián)接在靜平臺(tái)上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的方位特征為R11‖R31⊥R21‖R41；聯(lián)接在動(dòng)平臺(tái)上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的方位特征為R14‖R24‖R34‖R44。該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)特征分析步驟及結(jié)果如下：

由例1可知，4條支鏈的移動(dòng)特征均為t3，轉(zhuǎn)動(dòng)特征為r2(Ri1,Ri4)，i=1,2,3,4。

由于R14‖R15‖R25‖R24但R11‖R31⊥R21‖R41，故向量組(R11,R14)、(R21,R24)、(R31,R34)、(R41,R44)的公共向量為R14。根據(jù)3.1節(jié)介紹的運(yùn)動(dòng)特征求交運(yùn)算規(guī)則，該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的移動(dòng)特征TC和轉(zhuǎn)動(dòng)特征RC為

(8)

式(8)表明，該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)具有在3維平移以及繞R14方向旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)輸出能力。這與文獻(xiàn)[17]分析結(jié)果一致。

例3：分析確定圖5所示并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特征。

圖5 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖(例3)Fig.5 Structure diagram of example 3

圖5所示機(jī)構(gòu)由2條支鏈組成，支鏈1的結(jié)構(gòu)特征為R11‖P12‖R13，支鏈2的結(jié)構(gòu)特征為R21‖P22‖R23。

利用串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征分析方法可得：支鏈1的轉(zhuǎn)動(dòng)特征和移動(dòng)特征分別為r1(R11)和t2(圓柱面,P12+R13)；支鏈2的轉(zhuǎn)動(dòng)特征和移動(dòng)特征分別為r1(R21)和t2(圓柱面,P22+R23)。

由3.1節(jié)的支鏈運(yùn)動(dòng)特征求交運(yùn)算規(guī)則可得：由于R11和R21不平行，故動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)特征RC=r1(R11)∩r1(R21)=r0，移動(dòng)特征TC為t1(相貫線,(P12+R13)∩(P22+R23))。因此圖5所示機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特征集M為

(9)

式(9)表明，該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)僅能沿兩圓柱面的相貫線作平移運(yùn)動(dòng)。

例4：分析確定圖6所示并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特征。

圖6 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖(例4)Fig.6 Structure diagram of example 4

圖6所示機(jī)構(gòu)由3條支鏈組成。支鏈1的結(jié)構(gòu)特征為R11‖P12‖R13‖R14，支鏈2的結(jié)構(gòu)特征為R21‖P22‖R23，支鏈3由4個(gè)運(yùn)動(dòng)副依次串聯(lián)，結(jié)構(gòu)特征為P31‖R32‖R33‖R34，并且各支鏈聯(lián)接在機(jī)架上的3個(gè)運(yùn)動(dòng)副滿足R11‖R21‖P31。

利用串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征分析方法可得：支鏈1的轉(zhuǎn)動(dòng)特征和移動(dòng)特征分別為r1(R11)和t3；支鏈2的轉(zhuǎn)動(dòng)特征和移動(dòng)特征分別為r1(R21)和t2(圓柱面,P22+R23)；支鏈3的轉(zhuǎn)動(dòng)特征和移動(dòng)特征分別為r1(R32)和t3。

由于R11‖R21‖P31‖R32，故其轉(zhuǎn)動(dòng)特征RC為r1(R11)∩r1(R21)∩r1(R32)=r1(R11)，移動(dòng)特征TC為t3∩t2(圓柱面,P22+R23)∩t3=t2(圓柱面,P22+R23)。圖6所示機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特征集M為

(10)

式(10)表明，該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)具有在2維空間(整體形態(tài)為圓柱面)上平移以及繞R11方向旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)輸出能力。

4 結(jié)論

(1)提出的基于高斯幾何學(xué)的描述方法可以準(zhǔn)確、完整地描述機(jī)器人末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征。

(2)運(yùn)動(dòng)空間整體形態(tài)是運(yùn)動(dòng)特征的重要信息之一，根據(jù)運(yùn)動(dòng)空間整體形態(tài)對(duì)機(jī)構(gòu)類型作進(jìn)一步細(xì)分，有利于豐富和完善現(xiàn)有機(jī)構(gòu)類型庫(kù)。

(3)與代數(shù)方法相比，機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)特征幾何化分析方法具有簡(jiǎn)單、直觀等優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于具有彎曲移動(dòng)特征的機(jī)構(gòu)而言，該方法的優(yōu)勢(shì)更為顯著。