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        一個(gè)全平面上非齊次核的Hilbert型不等式

        2019-03-30 02:20:48有名輝
        關(guān)鍵詞:雙曲實(shí)數(shù)常數(shù)

        有名輝

        (浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,浙江杭州 310053)

        設(shè)f(x) ,g(x)≥0,且,則

        其中π是滿足(1)式的最佳常數(shù)因子[1].不等式(1)即經(jīng)典的Hilbert不等式,以它為代表的Hilbert型不等式在分析學(xué)中有著重要的作用[2-3].

        近年來(lái),通過(guò)對(duì)積分核進(jìn)行推廣、演變,并借助實(shí)分析及復(fù)分析的相關(guān)技巧,研究者們建立了一系列定義在R+R+× 的Hilbert型不等式[4-9].與此同時(shí),一些定義在全平面上Hilbert型不等式也零星地出現(xiàn)在各類文獻(xiàn)中[10-12].如2013年,文[13]建立了如下一個(gè)核為雙曲余割函數(shù)的Hilbert型積分不等式:

        本文將建立如下核為雙曲余割函數(shù),定義在R×R上的Hilbert型積分不等式:

        1 引 理

        引理1 設(shè)r,s,β>0,,x,y≠0,則

        其中

        證明:令xy=t,則

        利用K(1,t)t∈(0,+∞)的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi),可得

        令u=[(r+s)k+r]t,則

        類似地,令u=t-,可得

        結(jié)合(8)式和(9)式,并利用(6)式,可得

        把(10)式代入(7)式,即得(4)式.

        類似可證(5)式.引理1證畢.

        引理2 設(shè)r,s>0,φ(x):=cotx,n∈N+,Cβ(r,s)如引理1定義,則

        證明:由φ(x)=cotx的部分分式展開(kāi)形式(見(jiàn)[14]p 397):

        對(duì)(12)式兩邊求2n-1階導(dǎo)數(shù),得

        因此(11)式成立,引理2得證.

        引理3Bn(n∈N+)是Bernoulli數(shù)[14]:φ(x):=cotx,則

        證明:在(11)式中,令r=s,則

        注意到[15]可得

        結(jié)合(15)和(16)兩式,可得(14)式.引理3得證.

        證明:

        令xy=t,由Fubini定理,可知

        類似地,令xy=-t,由Fubini定理,可算得

        結(jié)合(18)、(19)和(20)三式,可得

        2 定 理

        其中Cβ(r,s)如引理1定義,且 Γ(β+ 1)Cβ(r,s)是滿足(21)式的最佳常數(shù)因子.特別地,當(dāng)β=2n-1,n∈N+時(shí),有

        證明:由H?lder不等式和引理1,可知

        若(23)式取等號(hào),則有不全為零的實(shí)數(shù)A與B,使得

        于是,有常數(shù)C,使得

        不妨假設(shè)A≠0,則a.e.于(-∞,+∞).這與<∞矛盾.故(23)式不取等號(hào),(21)式得證.下證(21)式中的Γ(β+1)Cβ(r,s)為最佳常數(shù)因子.事實(shí)上,若此常數(shù)因子不為最佳,則有實(shí)數(shù)k(0<k<Γ(β+1)Cβ(r,s)),使得(21)式中的常數(shù)因子換成k后(21)式仍成立.即

        用引理4中定義的fε和gε分別取代(24)式中的f和g,則

        把引理4的結(jié)果代入上式,得: Γ(β+1)Cβ(r,s)+o(1)<k.

        令ε→0+,則k≥Γ(β+1)Cβ(r,s),這與k<Γ(β+1)Cβ(r,s)矛盾.故(21)式中的常數(shù)因子為最佳值.

        特別地,令β=2n-1,n∈N+,利用(11)式,并注意到 Γ(2n)=(2n-1)!,可得(22)式.定理1證畢.

        3 推 論

        在(22)式中,令r=s,由引理3,得

        特別地,在(25)式中,令n=r=1,并注意到,可得(3)式.

        在(22)式中,令r=p,s=q,可得

        推論2 設(shè)p>1,,n∈N+,φ(x):=cotx,f(x) ,g(x)≥0,滿足

        特別地,在(26)式中,令n=1,則

        推論3 設(shè)p>1,,φ(x) :=cotx,f(x) ,g(x)≥0,滿足

        特別地,在(27)式中,令n=1,則

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