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        一類具有B-D功能反應(yīng)和Allee效應(yīng)的非自治捕食系統(tǒng)的漸近性質(zhì)

        2019-03-29 08:16:32李佳美田寶單
        西南科技大學(xué)學(xué)報 2019年1期
        關(guān)鍵詞:效應(yīng)功能系統(tǒng)

        李佳美 張 勇 田寶單

        (西南科技大學(xué)理學(xué)院 四川綿陽 621010)

        種群生態(tài)學(xué)是生物數(shù)學(xué)中的一個重要分支,而捕食者與食餌之間的動力學(xué)關(guān)系又是種群生態(tài)學(xué)的中心研究課題之一。通常情況下對一個捕食系統(tǒng),捕食者為大個體,食餌為小個體。捕食的結(jié)果一方面將直接影響食餌的種群數(shù)量,另一方面也影響著捕食者的種群變化,兩者關(guān)系十分復(fù)雜。比如在很多捕食系統(tǒng)中,捕食者對食餌捕食的功能反應(yīng)都依賴于獵物,但在現(xiàn)實中也有許多捕食系統(tǒng)的功能反應(yīng)依賴于捕食者,特別是對于一些必須通過搜尋食物的捕食者[1],而Beddington-DeAngelis型功能反應(yīng)(以下簡稱B-D功能反應(yīng)):

        (1)

        就是一種能較好刻畫這種捕食關(guān)系的功能反應(yīng)函數(shù)[2-3]。B-D功能反應(yīng)類似于HollingⅡ型功能反應(yīng),它可以通過考慮時間的利用或捕食的空間限制來機械地導(dǎo)出,但它在分母中還多了一個額外項,從而更好地模擬了捕食者之間的相互干擾,這種功能反應(yīng)是由捕食者和獵物共同作用的,并且它還具有與比率依賴形式相同的一些定性特征,避免了一些在低密度下比率依賴模型的奇異行為。

        事實上,傳統(tǒng)的獵物依賴型和比率依賴型功能反應(yīng)都可以視為B-D型的極限情況,例如前者可視為c=0的情況,后者則可看成a=0的情況。因此,B-D型功能反應(yīng)是一種應(yīng)用更為廣泛的功能反應(yīng),從而引起了許多生物數(shù)學(xué)學(xué)者的關(guān)注。例如,文獻[4]研究了一個具有B-D功能反應(yīng)的非自治捕食系統(tǒng):

        (2)

        得到了系統(tǒng)持久生存與滅絕的充分條件、系統(tǒng)周期解存在唯一性、全局漸近穩(wěn)定性等動力學(xué)性質(zhì)。

        另一方面,文獻[5]中介紹了以生態(tài)學(xué)家Warder Clyde Allee命名的一種效應(yīng)——Allee效應(yīng),這種效應(yīng)對生態(tài)學(xué)家和數(shù)學(xué)家來說都是一個非常重要和有趣的現(xiàn)象,其特征在于能更好地描述種群規(guī)模或密度與種群平均個體適應(yīng)度之間的相關(guān)性。盡管存在著許多針對Allee效應(yīng)的生態(tài)學(xué)機制,但促成Allee效應(yīng)的促進行為主要包括配偶限制、合作防御、合作性喂養(yǎng)和環(huán)境調(diào)節(jié)等。雖然這些行為可分為不同的類別,但它們可以重疊并且僅在特定條件下才會運行,例如:只有在有捕食者或競爭對手出現(xiàn)時合作防御才會有用。近年來,對Allee理論演化而來的捕食-食餌系統(tǒng)的種群動力學(xué)模型的建立和研究備受關(guān)注。

        基于上述生態(tài)學(xué)背景,本文建立了下面的一類具有B-D功能反應(yīng)和Allee效應(yīng)的非自治捕食系統(tǒng):

        (3)

        文章下面的討論是在如下條件(4)下進行的:

        (4)

        1 系統(tǒng)的持久生存

        當x(0)>0;

        當y(0)>0時。

        引理2 設(shè)(x(t),y(t))T是系統(tǒng)(2)初始值為正的任一正解,則:

        (1) ?T1>0,使得當t>T1時有:x(t)≤M1;

        證明:(1) 由系統(tǒng)(2)的第一個方程有

        (2) 由系統(tǒng)(2)的第二個方程有

        一方面,若y(0)≤M2,則當t≥0時有y(t)≤M2;若y(0)>M2,則?T2>0,使得當t≥T2時,y(0)≤M2,即總?T2>0,使得當t≥T2時y(t)≤M2.

        定理1 系統(tǒng)(2)若滿足條件(3)和下列條件:

        (4)

        (5)

        (6)

        則系統(tǒng)(2)將最終一致持久生存,其中

        證明:當t≥T時,由系統(tǒng)(2)的第一個方程得:

        存在當T3≥T1時,使得t≥T3時有x(t)≥m1.

        再看系統(tǒng)的第二個方程,當t≥T3時,有

        于是?T4>0,使得t≥T4時總有y(t)≥m2>0 .

        取T=max{T1,T2,T3,T4},則t≥T時總有:m1≤x≤M1,m2≤y≤M2.

        2 周期解的存在性及全局漸近穩(wěn)定性

        在本節(jié)中我們將假設(shè)系統(tǒng)(2)的所有參數(shù)均為時間t的具有ω周期的正的連續(xù)函數(shù),則稱對應(yīng)的系統(tǒng)為系統(tǒng)(2)的ω-周期系統(tǒng)。

        定理2 如果周期系統(tǒng)(2)滿足式(3)-(6),則系統(tǒng)(2)至少有一個正的周期解。

        接下來考慮周期解的唯一性及全局漸近穩(wěn)定性。

        定理3 若ω-周期系統(tǒng)(2)滿足式(3)-(6)及下列條件

        (7)

        則系統(tǒng)有唯一的全局漸近穩(wěn)定的周期解。

        證明:由定理2知系統(tǒng)(2)在滿足式(3)-(6)時至少存在一個嚴格正的周期解,不妨設(shè)為U(t)={u(t),v(t)},設(shè)X(t)={x(t),y(t)}是系統(tǒng)(2)具有正初始值的任一解。由定理1知,系統(tǒng)(2)任一具有正初始值的解,最終進入K1,因此不失一般性,設(shè)U(t),X(t)∈K,t≥0,構(gòu)造Lyapunov函數(shù):V(t)=|lnx(t)-lnu(t)|+|lny(t)-lnv(t)|,則有:

        其中

        |D1(t)|≤

        |D2(t)|≤

        所以

        D+V(t)≤

        |x(t)-u(t)|+

        由條件(7)知,存在γ>0,使得

        D+V(t)≤-γ[|x(t)-u(t)|+|y(t)-v(t)|]即

        3 數(shù)值模擬

        再取兩個初值x(0)=25,y(0)=10;x1(0)=40,y1(0)=30,利用Matlab求解作圖,結(jié)果如圖1所示。從圖中可以看出,此時系統(tǒng)的兩個種群在兩組初值條件下都是一致持久生存的,并且隨著時間的增大,不同初值條件下的種群密度時間序列最終趨于吻合,這也就進一步佐證了系統(tǒng)周期系統(tǒng)(3)存在周期解,并且該周期解還是漸近穩(wěn)定的,如圖3所示。

        圖1 持久生存的數(shù)值模擬Fig.1 Numerical simulation of the persistence of the system

        圖2 出現(xiàn)滅絕的數(shù)值模擬Fig.2 Numerical simulation of the extinction of the predator

        圖3 周期性數(shù)值模擬Fig.3 Numerical simulation of the periodic solution of the system

        4 結(jié) 論

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