介明達(dá)

引入“虛構(gòu)”的數(shù)，開啟一個(gè)全新的數(shù)學(xué)世界。

當(dāng)?shù)谝淮斡龅健疤摌?gòu)”的數(shù)時(shí)，你可能會自問：“我何時(shí)會用上這個(gè)？”畢竟，有什么能比虛構(gòu)的數(shù)更不切實(shí)際的呢？

事實(shí)上，虛數(shù)以及它們與實(shí)數(shù)組成的復(fù)數(shù)是非常有用的，它們在數(shù)論、幾何學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。它們還是進(jìn)入不同的數(shù)學(xué)世界的第一步?，F(xiàn)在，讓我們來看看這些“虛構(gòu)”的數(shù)是如何植根于我們所熟悉的數(shù)的，同時(shí)，也來了解一下它們的不同之處。

虛構(gòu)出來的數(shù)

實(shí)數(shù)是我們最熟悉的數(shù)系（數(shù)的集合），它們都可以用十進(jìn)制數(shù)字來表示，比如5、8.2、-13.712、0、10.33333…和π≈3.1415926…。我們可以加減乘除這些實(shí)數(shù)，在課堂上和日常生活中，我們經(jīng)常用它們來處理各種問題。但是，實(shí)數(shù)并不足以解決所有的數(shù)學(xué)問題。

16世紀(jì)時(shí)，意大利學(xué)者、“解方程大師”吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾正試圖求解多項(xiàng)式方程。他求解諸如x2-8x+12=0這樣的方程是沒有問題，因?yàn)楹苋菀渍业絻蓚€(gè)數(shù)總和為8且乘積為12的數(shù)，即2和6。這意味著x2-8x+12可以被分解為（x-2）（x-6），這樣就把這個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為兩個(gè)因子的乘積，使得解此方程變得容易。

但是，對于諸如x2-3x+10=0這樣的方程來說，這樣做并不容易。找到兩個(gè)數(shù)總和為3且乘積為10，似乎是一件不可能的事情。如果這兩個(gè)數(shù)的乘積是正數(shù)，那么它們必須具有相同的符號，并且因?yàn)樗鼈兊暮褪钦龜?shù)，這意味著它們都必須是正數(shù)。但如果兩個(gè)正數(shù)總和為3，則兩者必須小于3，這意味著它們的乘積將小于3×3=9，不可能會等于10。所以說，這個(gè)方程似乎無解。

然而，卡爾達(dá)諾發(fā)現(xiàn)，如果允許，即-1的平方根的數(shù)出現(xiàn)的話，那么就可以求解類似上面的方程。這是一個(gè)令人困惑的發(fā)現(xiàn)。一個(gè)數(shù)k的平方根，或者，就是一個(gè)乘以它自身后等于k的數(shù)。當(dāng)你對一個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行平方時(shí)，結(jié)果永遠(yuǎn)不會是負(fù)的。例如，3×3=9，（-1.2）×（-1.2）=1.44和0×0=0。這意味著沒有實(shí)數(shù)乘以它自己可以等于-1。卡爾達(dá)諾使用來求解他的實(shí)數(shù)方程，但是本身肯定不是實(shí)數(shù)。

當(dāng)時(shí)的卡爾達(dá)諾卻認(rèn)為，關(guān)于這種數(shù)的算術(shù)是毫無用處的。17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾將負(fù)數(shù)的平方根命名為“虛數(shù)”，之所以起這個(gè)名字，其實(shí)是表達(dá)對這種數(shù)的貶低之意。直到18世紀(jì)，因兩大數(shù)學(xué)家——瑞士數(shù)學(xué)家歐拉和德國數(shù)學(xué)家高斯——對虛數(shù)的相關(guān)研究，虛數(shù)才被數(shù)學(xué)家廣泛接受。

復(fù)數(shù)的加減乘除

虛數(shù)與實(shí)數(shù)一起組合成了復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)通常的形式是a+bi，其中a和b都是實(shí)數(shù)，而i=，也稱為“虛數(shù)單位”。實(shí)數(shù)a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，而b叫做復(fù)數(shù)的虛部。實(shí)數(shù)可以被認(rèn)為是虛部為零的復(fù)數(shù)。

復(fù)數(shù)還可以看作二維平面上的點(diǎn)。做一個(gè)二位坐標(biāo)軸，可以把x-軸稱為實(shí)軸，y-軸稱為虛軸，一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部用沿著x-軸的位移表示，虛部用沿著y-軸的位移表示。這樣，所有的復(fù)數(shù)都可以在這個(gè)平面上表示出來。這個(gè)平面被稱為復(fù)平面。

復(fù)數(shù)起初可能看起來很奇怪，但我們完全可以把虛單位i看作一個(gè)代數(shù)，把復(fù)數(shù)的加減乘除看作一元多項(xiàng)式的加減乘除。例如，對復(fù)數(shù)進(jìn)行加減，你只需把實(shí)部和虛部彼此結(jié)合起來即可，這類似于對多項(xiàng)式進(jìn)行合并同類項(xiàng);復(fù)數(shù)的乘法，可以借助適用于分配律來完成的。對于除法，我們完全可以轉(zhuǎn)換為乘法，只不過乘上去的是除數(shù)的倒數(shù)。

跟實(shí)數(shù)一樣，復(fù)數(shù)的乘法遵循乘法交換律，這意味著當(dāng)你以任意順序乘以兩個(gè)復(fù)數(shù)時(shí)，其結(jié)果是相同的。此外，復(fù)數(shù)的乘法也遵循乘法結(jié)合律，這意味著將兩個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘時(shí)，你可以自由選擇先乘哪一對。但是正如我們將在后面看到的，對于某些數(shù)系來說，乘法的交換律或結(jié)合律并不總是適用的。

虛數(shù)的引入，開啟了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)世界。這是一個(gè)奇怪的世界，平方可以是負(fù)的，但是它的算術(shù)與我們熟悉的實(shí)數(shù)非常相似。但對實(shí)數(shù)的擴(kuò)展，這只是一個(gè)開始。

有3個(gè)虛單位的四元數(shù)

復(fù)數(shù)可以看作二維平面上的點(diǎn)，那么更高維度上的點(diǎn)對應(yīng)著什么數(shù)呢？19世紀(jì)愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·哈密頓正嘗試把復(fù)數(shù)擴(kuò)展到更高維度，他無法找到三維空間上的例子，但他發(fā)現(xiàn)，四維空間上的點(diǎn)可以創(chuàng)造出一種新的數(shù)系，叫做四元數(shù)

四元數(shù)的結(jié)構(gòu)類似于復(fù)數(shù)，但-1的平方根除了i以外還有兩個(gè)，哈密頓稱之為j和k。每個(gè)四元數(shù)都具有a+bi+cj+dk這種形式，其中a、b、c和d是實(shí)數(shù)，i2=j2=k2=-1。類似于復(fù)平面，建立一個(gè)包含四個(gè)坐標(biāo)軸的四維空間，那么其中的每個(gè)點(diǎn)都可以對應(yīng)一個(gè)四元數(shù)。

就像建立一個(gè)游戲，你得首先設(shè)定好游戲規(guī)則一樣，為了確保四元數(shù)能夠進(jìn)行加減乘除，而不會導(dǎo)致各種矛盾的出現(xiàn)，哈密頓必須設(shè)定這3個(gè)虛單位之間如何進(jìn)行乘法。哈密頓一直苦思冥想，直到1843年的某一天，他跟他的妻子在都柏林的皇家運(yùn)河上散步時(shí)，終于找到了解決方案，于是他就把自己的想法刻在了所經(jīng)過的布魯穆橋上：

i2=j2=k2=i×j×k=-1

盡管哈密頓的石刻早已風(fēng)化不清了，但自1989年以來，愛爾蘭國家大學(xué)每年都會在那里舉辦一起徒步活動，行程由鄧辛克天文臺起始，到皇家運(yùn)河結(jié)束，以紀(jì)念哈密頓的這個(gè)發(fā)現(xiàn)。

哈密頓設(shè)定的虛單位之間的關(guān)系，允許我們對四元數(shù)進(jìn)行加減乘除，但這個(gè)設(shè)定反而導(dǎo)致了四元數(shù)的乘法不再遵守乘法交換律。也就是說，用不同的順序乘兩個(gè)四元數(shù)，得到結(jié)果可能不再相同。放棄交換律是一個(gè)大損失，畢竟交換律是一種很有用的性質(zhì)。但是放棄這個(gè)，我們就能得到一個(gè)新的數(shù)系，并且我們可以類似對復(fù)數(shù)那樣進(jìn)行加減乘除。

和復(fù)數(shù)一樣，四元數(shù)也是非常有用的。它們可以用來描述物體如何在三維空間旋轉(zhuǎn)，這使得它們在渲染3D視頻，以及定位和校準(zhǔn)物體（如宇宙飛船和手機(jī)）方面具有不可估量的價(jià)值。

有7個(gè)虛單位的八元數(shù)

根據(jù)哈密頓的思路，一位漢密爾頓的同事還提出了八元數(shù)，對應(yīng)于八維空間上的點(diǎn)。它有7個(gè)虛單位（e1、e2、e3…e7），。你也可以對八元數(shù)進(jìn)行加減乘除。就像四元數(shù)一樣，我們需要一些特殊的規(guī)則來決定虛單位之間如何相乘。像四元數(shù)一樣，這些規(guī)則導(dǎo)致了八元數(shù)乘法不遵守交換律。此外，八元數(shù)的乘法也不再遵守結(jié)合律。也就是說，當(dāng)3個(gè)八元數(shù)x、y和z相乘時(shí)，（x×y）×z=x×（y×z）不一定成立。

所以現(xiàn)在我們有一個(gè)數(shù)系，不再遵守交換律和結(jié)合律，而-1的平方根總共有7個(gè)。那么，這種數(shù)系有什么應(yīng)用呢？一些物理學(xué)家認(rèn)為，在描述強(qiáng)核力、弱核力和電磁力如何作用于夸克、輕子及其相應(yīng)的反粒子時(shí)，八元數(shù)可能是一個(gè)極為有用的工具。如果這是真的，這將有助于解決粒子物理學(xué)中許多難題。

通過添加一個(gè)或多個(gè)“虛構(gòu)”的數(shù)，我們可以把實(shí)數(shù)拓展為復(fù)數(shù)、四元數(shù)和八元數(shù)。這些數(shù)系看似遠(yuǎn)離了現(xiàn)實(shí)，但是它們能給我們帶來思考數(shù)學(xué)世界的新的方式，而且，我們總能給它們找到用武之地。