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        稀奇迷人的梅森素?cái)?shù)

        2019-03-28 06:33:22編譯張翔
        世界科學(xué) 2019年3期
        關(guān)鍵詞:梅森素?cái)?shù)數(shù)學(xué)家

        編譯 張翔

        2018年12月7日,來自美國佛羅里達(dá)州的互聯(lián)網(wǎng)專家及數(shù)學(xué)愛好者帕特里克·拉羅什(Patrick Laroche)利用“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”(GIMPS)項(xiàng)目,成功發(fā)現(xiàn)第51個(gè)梅森素?cái)?shù)2∧82 589 933-1(即2的82 589 933次方減1);該素?cái)?shù)有24 862 048位,是迄今為止人類發(fā)現(xiàn)的最大素?cái)?shù)。如果用普通字號(hào)將它打印下來,其長度將超過100公里!

        眾所周知,素?cái)?shù)又叫質(zhì)數(shù),是在大于1的自然數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)。每個(gè)自然數(shù)都可以唯一地分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積,素?cái)?shù)因此構(gòu)成了自然數(shù)體系的基石。2 300多年前,古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè),并提出一些素?cái)?shù)可寫成“2∧P-1”(其中指數(shù)P也是素?cái)?shù))的形式。

        由于這種特殊形式的素?cái)?shù)具有獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)性質(zhì),千百年來,許多著名數(shù)學(xué)家以及無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者對它情有獨(dú)鐘。其中,17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家、法蘭西科學(xué)院奠基人梅森在這方面有過重要貢獻(xiàn)。為了紀(jì)念梅森,數(shù)學(xué)界在19世紀(jì)末就將“2∧P-1”型的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”。迄今為止,人類僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)。這種素?cái)?shù)稀奇而迷人,因而被稱為“數(shù)海明珠”。梅森素?cái)?shù)歷來是數(shù)論研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容,也是當(dāng)今科技探索的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。

        梅森素?cái)?shù)貌似簡單,但當(dāng)指數(shù)P值較大時(shí),其素性檢驗(yàn)的難度就會(huì)很大;它的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧,而且還需要進(jìn)行艱巨的計(jì)算。例如,享有“數(shù)學(xué)英雄”美譽(yù)的瑞士數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家歐拉1772年在雙目失明的情況下,以頑強(qiáng)毅力靠心算證明了2∧31-1(即2 147 483 647)是第8個(gè)梅森素?cái)?shù);該素?cái)?shù)有10位,堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。

        在“手算筆錄”年代,人們歷盡艱辛,共計(jì)才找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。而電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn),尤其是網(wǎng)格計(jì)算時(shí)代的到來,大大加快了梅森素?cái)?shù)探究步伐。1996年初,美國數(shù)學(xué)家及程序設(shè)計(jì)師沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序,并把它放在網(wǎng)頁上供人們免費(fèi)使用。這一計(jì)算程序就是舉世聞名的GIMPS項(xiàng)目,也是全球首個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計(jì)算項(xiàng)目。

        為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)以及促進(jìn)網(wǎng)格計(jì)算技術(shù)發(fā)展,總部設(shè)在美國的“電子前沿基金會(huì)”(EFF)于1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項(xiàng)目來尋找梅森素?cái)?shù)而設(shè)立的協(xié)同計(jì)算獎(jiǎng)。該獎(jiǎng)規(guī)定:向第一個(gè)找到超過1 000萬位數(shù)的個(gè)人或團(tuán)體頒發(fā)10萬美元;后面的獎(jiǎng)金依次為:超過1億位數(shù),15萬美元;超過10億位數(shù),25萬美元。當(dāng)然,絕大多數(shù)人參與該項(xiàng)目并不是為了金錢,而是出于樂趣、榮譽(yù)感和探索精神。

        至今人們通過GIMPS項(xiàng)目已經(jīng)找到17個(gè)梅森素?cái)?shù),其發(fā)現(xiàn)者來自美國(11個(gè))、德國(2個(gè))、英國(1個(gè))、法國(1個(gè))、挪威(1個(gè))和加拿大(1個(gè))。目前,世界上有190多個(gè)國家和地區(qū)近70萬人參加了這一項(xiàng)目,并動(dòng)用了超過182萬核中央處理器聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素?cái)?shù)??梢?,當(dāng)今的梅森素?cái)?shù)探究非常火爆;這在數(shù)學(xué)史上前所未有,在科學(xué)史上也極為罕見。

        值得指出的是,在梅森素?cái)?shù)的基礎(chǔ)研究方面,法國數(shù)學(xué)家魯卡斯和美國數(shù)學(xué)家雷默都做出了重要貢獻(xiàn);以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素?cái)?shù)素性的最佳方法。另外,中國數(shù)學(xué)家及語言學(xué)家周海中給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式;這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。

        探究梅森素?cái)?shù)具有重大意義,是發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑,有力推動(dòng)了數(shù)論的研究。另外,梅森素?cái)?shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域具有重要應(yīng)用價(jià)值——它可以用來檢測計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或程序中存在的問題。因此許多專家認(rèn)為,梅森素?cái)?shù)的研究成果一定程度上反映了一個(gè)國家的科技水平。英國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席、《素?cái)?shù)的音樂》一書作者索托伊甚至認(rèn)為,梅森素?cái)?shù)的探究進(jìn)展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志,也是整個(gè)科技發(fā)展的里程碑之一。

        資料來源 Science Daily

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