☉清華大學(xué)附屬中學(xué) 劉 慶

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求學(xué)生獲得學(xué)習(xí)知識的能力，而作為高中數(shù)學(xué)教師，需要具備培養(yǎng)學(xué)生自主獲得新知的能力.于是，在教學(xué)中需要深入淺出、以點帶面地對知識點進行逐步加深，并給學(xué)生舉一反三，從多角度及多維度思考問題，進而找出問題的本質(zhì).

一、理論基礎(chǔ)

一般認為，“素養(yǎng)與知識（或認知）、能力（或技能）、態(tài)度（或情意）等概念的不同在于，它強調(diào)知識、能力、態(tài)度的統(tǒng)整，超越了長期以來知識與能力二元對立的思維方式，凸顯了情感、態(tài)度、價值觀的重要性，強調(diào)了人的反省思考及行動與學(xué)習(xí).”“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關(guān)心、會思考的公民需要具備的認識，并理解數(shù)學(xué)在自然、社會生活中的地位和能力，做出數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動的能力.”可見，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的品質(zhì)，通常是在人們與周圍環(huán)境產(chǎn)生相互作用時所表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略.人們所遇到的問題可能是數(shù)學(xué)問題，也可能不是那么明顯的數(shù)學(xué)問題，而具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人可以從數(shù)學(xué)的角度看待問題，可以用數(shù)學(xué)的思維思考問題，可以用數(shù)學(xué)的方法解決問題.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達到的有特定意義的綜合性能力，核心素養(yǎng)不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力，核心素養(yǎng)是基于數(shù)學(xué)知識、技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識、技能，反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性.

二、實例研究——函數(shù)的零點

1.基本問題基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積累

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)老師需要注重培養(yǎng)學(xué)生逐步理解問題、分析問題并解決問題的能力，并有意識地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維與創(chuàng)造性思維，善于從不同的角度去理解同一問題.本文主要以高一教材必修1中函數(shù)的零點作為切入點，探討在教學(xué)中如何滲透培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維.下面我們將通過幾個典型的例題來展開我們的論述.

題型一：設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax有兩個零點，求a的取值范圍.

解：令f（x）=0，得x=0或x=a，那么f（x）有兩個零點意味著a≠0，從而a∈（-∞，0）∪（0，+∞）.

此題是求二次函數(shù)的零點問題，可以直接根據(jù)零點的定義將二次函數(shù)所有的零點求出來，再根據(jù)題意得到a的取值范圍.

本例是根據(jù)函數(shù)零點的定義直接進行計算，但是，往往在教學(xué)活動中并不是所有的找函數(shù)零點問題都可以通過直接求得零點來解決，而是需要學(xué)生從不同的角度靈活地運用所學(xué)的知識找到解決問題的途徑.一般來說，函數(shù)的零點可以通過數(shù)形結(jié)合的方式求得，尤其是通過簡單的加減乘除運算將基本函數(shù)組合在一塊的函數(shù).

題型二：判斷函數(shù)f（x）=|x-2|-lnx的零點個數(shù).

解：f（x）的零點可以視為函數(shù)y1=|x-2|與y2=lnx（x>0）的圖像交點的橫坐標(biāo)，y1，y2的圖像如圖1所示，顯然y1與y2的圖像有兩個不同交點.從而f（x）=|x-2|-lnx有兩個不同零點.

圖1

顯然，本例中的函數(shù)并不是我們熟知的函數(shù)，嘗試用直接找零點的方式確定零點的個數(shù)不太現(xiàn)實，于是需要引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)式進行變形.最容易聯(lián)想到的是對函數(shù)式進行移項，這樣會得到等式|x-2|=lnx，對于這個兩邊都含有x的式子而言，很容易使學(xué)生聯(lián)想到，我們可以構(gòu)造兩個函數(shù)，然后通過尋找這兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)的個數(shù)來判斷本題中函數(shù)零點的個數(shù)，于是引導(dǎo)學(xué)生得到以上解法.

這樣將求函數(shù)零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)交點的個數(shù)，是我們在學(xué)習(xí)函數(shù)零點的過程中常用的方式，有時在求參數(shù)的取值范圍的過程中將零點轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)與一個常函數(shù)的交點也很常見.參見下例：

題型三：設(shè)函數(shù)y=x2-|x|+a有四個零點，求a的取值范圍.

解：f（x）的零點可以視為函數(shù)y1=x2-|x|與y2=-a的圖像交點的橫坐標(biāo)，其中y2的圖像隨a的變化而上下移動.如圖2所示，則若要y1，y2的圖像有四個不同的交點，則

圖2

本例中一個非常好的現(xiàn)象是當(dāng)將原題中的函數(shù)分割成兩個函數(shù)時，一個以二次函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來的偶函數(shù)是固定的，也就是說這個偶函數(shù)的圖像可以完全確定地畫出來，此時我們只需讓常函數(shù)動起來，然后通過判斷交點的個數(shù)來求解參數(shù)a的取值范圍即可，而常函數(shù)的移動是學(xué)生比較容易想象的.

2.在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

求解函數(shù)的零點的個數(shù)常?？梢愿匠痰母膫€數(shù)或者兩個函數(shù)的交點的個數(shù)聯(lián)系起來，而在實際的教學(xué)過程中，我們常常會碰到的一類問題是函數(shù)式的變形并不是唯一的，也就是說，會從多個不同的角度，利用不同函數(shù)的性質(zhì)和圖像解決問題.那么在啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的過程中，教師應(yīng)更加注重拓展學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生做出不同的變形并求解.一般來說，函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖像的交點時，盡量讓一個函數(shù)已知另一個函數(shù)動起來找參數(shù)的取值范圍，那么結(jié)合學(xué)生現(xiàn)在已有的基礎(chǔ)來看，盡量讓復(fù)雜的圖像固定住，比如二次函數(shù)與一次函數(shù)相交的話，盡量讓二次函數(shù)固定住，如果還有分段函數(shù)的話，也盡量讓分段函數(shù)固定住.下面我們用一個例子來說明如何培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

例已知函數(shù)f（x）=ax2-|x|+a有四個零點，求a的取值范圍.

解法1：從最直觀的概念入手并觀察出此函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，若函數(shù)有四個零點，只需要保證函數(shù)有兩個正的零點即可，對應(yīng)的函數(shù)一定會存在兩個負的零點，于是函數(shù)有四個零點的條件就得以保證.這樣分析的話，不但讓零點個數(shù)變得簡單，而且在研究函數(shù)只具有正零點的時候函數(shù)里的絕對值可以被去掉，從而得到一個學(xué)生熟悉的類似于二次函數(shù)的形式，具體解答如下，

首先，a=0顯然不滿足要求，因此a≠0，此時0不是f（x）的零點.注意到f（x）是偶函數(shù)，因此f（x）有四個零點?f（x）有兩個正的零點?ax2-x+a=0有兩個正根?

解法2：本題依舊可以引導(dǎo)學(xué)生通過對原題中復(fù)雜的函數(shù)式進行變形，將此問題轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)交點的問題，最簡單的變形即移項，于是得到以下解答.

圖3

f（x）的零點可以視為函數(shù)y1=|x|與y2=a（x2+1）的圖像交點的橫坐標(biāo)，其中y2的圖像隨a的變化而變化.則f（x）有四個零點?y1，y2的圖像有四個不同的交點.如圖3所示，a≤0時，顯然不滿足條件.a＞0時，要滿足條件，y2圖像的開口必須比相切時候的開口要大.而y1，y2圖像相切?ax2-x+a=0有兩個重根（舍），又根據(jù)二次函數(shù)圖像的特點知a越小開口越大，從而

解法3：在解法2中，兩個函數(shù)都不是特別簡潔，而且在討論一個帶絕對值的函數(shù)和二次函數(shù)的交點過程中，是二次函數(shù)的開口在發(fā)生變化，這種變化使學(xué)生在定量地尋找參數(shù)關(guān)系時感覺比較復(fù)雜，于是我們考慮到另外一種方式，即能否讓二次函數(shù)固定，而線性的絕對值函數(shù)動起來呢？只需要將參數(shù)移項即可做到，于是得到如下解法，

首先，a=0顯然不滿足要求，因此a≠0.類似解法2，f（x）的零點可以視為函數(shù)y1=與y2=x2+1的圖像交點的橫坐標(biāo)，其中y1的圖像隨a的變化而變化.則f（x）有四個零點?y1，y2有四個不同交點.如圖4所示，a＜0時，顯然不滿足條件.a＞0時，若要滿足條件，y2的圖像開口必須比相切時的開口要大.而y1，y2圖像相切?ax2-x+a=0有兩個重根?Δ=1-4a2=0?a=（舍），從而

圖4

從這個例子中可以了解到，具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)有助于學(xué)生發(fā)散性思維、創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)，而且在整個解決問題的過程中，適當(dāng)?shù)赝貙捔撕瘮?shù)的基本面，也可以隨時復(fù)習(xí)不同函數(shù)的不同性質(zhì)，讓學(xué)生的思維得到了極大的鍛煉，久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)便會在不知不覺中得到培養(yǎng).W