☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 紀(jì)定春

☉四 川 省 資 陽(yáng) 市 教 科 所 盧勇剛

2009年5月，《數(shù)學(xué)通報(bào)》發(fā)表了《高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的幾個(gè)特點(diǎn)》一文，文章重點(diǎn)介紹了高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的特點(diǎn)，即立意的鮮明性、背景的深刻性、情境的新穎性、設(shè)問(wèn)的靈活性［1］.近10年以來(lái)的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題仍體現(xiàn)了這些特點(diǎn).但也有一些新的變化，一是增加了數(shù)學(xué)文化，這體現(xiàn)了新課改對(duì)數(shù)學(xué)文化的強(qiáng)化；二是增加了條件（結(jié)論）的開(kāi)放性試題；三是10年前以分省命題為主又變?yōu)橐越逃棵}中心命題為主；四是國(guó)家提出了“三個(gè)第一”，即“發(fā)展是第一要?jiǎng)?wù)，創(chuàng)新是第一動(dòng)力，人才是第一資源”，對(duì)教育來(lái)講，“創(chuàng)新”和“人才”占了“兩個(gè)第一”，這無(wú)疑對(duì)培養(yǎng)和選拔創(chuàng)新人才提出了新的要求.

一、立意的鮮明性

立意是指高考試題考查的目的［1］.高考命題一般以立意為中心.自1999年起，高考命題就強(qiáng)調(diào)“能力立意”，“能力立意”就是首先確定考查能力的內(nèi)容和類(lèi)型，然后根據(jù)考查能力的層次（了解、理解、掌握等）的具體要求來(lái)確定所要考查的知識(shí)內(nèi)容，最后設(shè)計(jì)出符合知識(shí)要求和能力要求的試題.高考數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單地講，主要是四考：考基礎(chǔ)知識(shí)，考思想方法，考能力素養(yǎng)，考數(shù)學(xué)意識(shí)（應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)）.高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題是根據(jù)能力素養(yǎng)來(lái)立意命題的指導(dǎo)思想，并用來(lái)衡量考生的發(fā)展性和創(chuàng)造性的新穎試題［1-2］.以能力素養(yǎng)來(lái)立意的數(shù)學(xué)試題一般以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法為載體，以考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算和基本方法為主要形式.

1.考查基礎(chǔ)知識(shí)的靈活應(yīng)用

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是形成和發(fā)展數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)的必要基礎(chǔ)，是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想的重要載體.高考對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查不是知識(shí)的機(jī)械記憶和簡(jiǎn)單模仿，而是側(cè)重于考查對(duì)基本概念的理解及基本思想方法的運(yùn)用.考查基礎(chǔ)知識(shí)的試題一般都含有教材背景，但解答這類(lèi)試題所用到的思想方法和能力素養(yǎng)又略高于教材，因此這類(lèi)試題既體現(xiàn)了基礎(chǔ)性又有一定的綜合性.

例1（2017年全國(guó)卷Ⅲ理科第17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=，b=2.

（1）求c的值；

（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

評(píng)注：本題考查了輔助角公式、正弦定理、余弦定理、勾股定理、面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，是一道考查基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用和綜合應(yīng)用的好題，該題既源于教材又高于教材.

2.考查數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中最有價(jià)值的核心素養(yǎng)，歷來(lái)都是高考立意的基本原則．

例2（2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x．

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

分析：?jiǎn)栴}（1）考查了含參變量函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，主要涉及分類(lèi)討論及單調(diào)性的判定．當(dāng)a≤0時(shí)，可知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，當(dāng)a>0時(shí)，有f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1，令f′（x）=0，可得x=-lna，故可得f（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減，f（x）在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增．

問(wèn)題（2）是對(duì)問(wèn)題（1）中函數(shù)最值的深入考查，通過(guò)問(wèn)題（1）可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)不符.則只能當(dāng)a>0時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．要使函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合f（x）先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，等價(jià)于函數(shù)的最小值小于零．故f（-lna）<0，即a-1+alna<0，則a<1，綜上可得a∈（0，1）．

評(píng)注：本題考查了含參變量函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、參數(shù)討論、函數(shù)最值、函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，涉及轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，集中體現(xiàn)了高考對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查．

3.考查應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)

應(yīng)用型試題是考查考生“綜合實(shí)力”的試題，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力和素養(yǎng)的好題型［1］．“考查應(yīng)用意識(shí)”也是命題組長(zhǎng)期堅(jiān)持的命題方針，其中應(yīng)用意識(shí)表現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模、用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題等方面．試卷既突出概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用性，也重視函數(shù)（含數(shù)列）、三角等知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用．應(yīng)用性試題、探究性試題、開(kāi)放性試題是創(chuàng)新型試題的基本題型，擔(dān)負(fù)著考查創(chuàng)新意識(shí)的重任．面對(duì)應(yīng)用性試題、探究性試題、開(kāi)放性試題等創(chuàng)新型試題時(shí)最好的辦法就是組織學(xué)生適當(dāng)?shù)亻_(kāi)展研究性學(xué)習(xí)［1］，有意識(shí)地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的整個(gè)過(guò)程，并且在這個(gè)過(guò)程中教師要積極地調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地觀(guān)察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，收集與整理數(shù)學(xué)材料，提出、分析并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，探究數(shù)學(xué)規(guī)律，猜想數(shù)學(xué)命題，制定解題方案，回顧心路歷程，提煉數(shù)學(xué)思想方法等．

例3（2017年上海卷第19題）根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第n（n∈N*）個(gè)月共享單車(chē)的投放量和損失量分別為an和bn（單位：輛），其中，第n 個(gè)月底共享單車(chē)的保有量是前n個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差．

（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底共享單車(chē)保有量.

（2）已知該地共享單車(chē)停放點(diǎn)第n個(gè)月底單車(chē)容納量為Sn=-4（n-46）2+8800（單位：輛）．設(shè)在某月底，共享單車(chē)的保有量達(dá)到最大，問(wèn)：該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車(chē)容納量？

分析：對(duì)于問(wèn)題（1），首先明確共享單車(chē)保有量是累計(jì)投放量與累計(jì)損失量之差，然后將n=1，2，3，4代入an，bn，算出前4個(gè)月累計(jì)投放量之和與累計(jì)損失量，差值即為保有量，即（a1+a2+a3+a4）-（b1+b2+b3+b4）=965-30=935.

對(duì)于問(wèn)題（2），由題意可知，當(dāng)投放量大于損失量時(shí)，共享單車(chē)保有量增加，根據(jù)an和bn列出不等式，求出n的最大值為42，再算出當(dāng)n=42時(shí)的最大保有量8782輛，同時(shí)算出當(dāng)n=42時(shí)的最大容納量8736輛，最后比較最大保有量與最大容納量的大小，即8782>8736，所以，此時(shí)保有量超過(guò)了容納量.

評(píng)注：本題背景鮮活，具有生活氣息，還是人們所關(guān)注的熱點(diǎn)話(huà)題．命題者用社會(huì)熱點(diǎn)作為切入點(diǎn)，將其與日常生活中共享單車(chē)的投放和損失聯(lián)系起來(lái)，巧妙設(shè)問(wèn)，主要考查學(xué)生的社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)、閱讀理解能力、分段函數(shù)值的求解，保有量、投放量和損失量之間的關(guān)系，以及投放量與實(shí)際環(huán)境容納量等，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力、邏輯運(yùn)算能力及數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)等．通過(guò)理解各要素之間的數(shù)量關(guān)系，然后進(jìn)行邏輯運(yùn)算，進(jìn)而可以對(duì)問(wèn)題作出迅速、準(zhǔn)確的解答．

二、背景的深刻性

1.高等數(shù)學(xué)背景

高考命題專(zhuān)家多以非常熟悉高等數(shù)學(xué)的大學(xué)教授為主，他們善于用高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景設(shè)計(jì)創(chuàng)新型試題，因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)中的思想方法、思維方式對(duì)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)極為有用．因此研究高考試題的高等數(shù)學(xué)背景對(duì)提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和復(fù)習(xí)應(yīng)考水平是有益的．

例4（2017年全國(guó)卷Ⅲ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx．

（1）若f（x）≥0，求a的值；

分析：對(duì)于問(wèn)題（1），先根據(jù)重要不等式lnx≤x-1在x>0時(shí)恒成立，可以“猜測(cè)”出a=1，然后進(jìn)行嚴(yán)格的證明．

思路1：導(dǎo)數(shù)法.可以直接利用求導(dǎo)找到函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，然后根據(jù)條件找出f（x）的最小值，最后使得最小值非負(fù)，即可求出a的值．

評(píng)注：?jiǎn)栴}（1）考查含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，命題以重要不等式lnx≤x-1為背景，在具體求解方法上，又具有靈活多樣的特點(diǎn)，若直接使用導(dǎo)數(shù)求解，解題思路不失一般性，但過(guò)程較為煩瑣，如直接使用法1或法2即可簡(jiǎn)潔獲解；問(wèn)題（2）是在問(wèn)題（1）的基礎(chǔ)上深入考查lnx≤x-1的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)、等比數(shù)列求和等，屬于橫向知識(shí)的大“融合”，是考查考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和綜合能力素養(yǎng)的好題目，具有一定的挑戰(zhàn)性和區(qū)分度．值得注意的是，在平常的教學(xué)中也可以結(jié)合考題的高等數(shù)學(xué)背景，適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充高等數(shù)學(xué)知識(shí)，切不可過(guò)多補(bǔ)充，以免增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和壓力．

以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的試題很多．常見(jiàn)的有拉格朗日中值定理、柯西中值定理（2015年全國(guó)卷理科第15題和2016年四川卷理科第21題都有柯西、拉格朗日中值定理背景）、柯西不等式（2012年四川卷理科第12題，2017年全國(guó)卷Ⅱ理科第23題）、洛必達(dá)法則（2016年新課標(biāo)卷Ⅰ數(shù)學(xué)第21題）、函數(shù)凹凸性（2012年福建卷理科第12題、2018年全國(guó)卷Ⅲ理科第21題）、零點(diǎn)存在定理（2012年陜西卷理科第21題、2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第21題）、麥克勞林展開(kāi)式（2008年全國(guó)卷Ⅱ理科第22題、2018年全國(guó)卷Ⅲ理科第21題）、重要不等式（2016年全國(guó)卷文科第21題）等，這些命題背景都值得注意．

2.數(shù)學(xué)文化背景

例5（2018年全國(guó)卷Ⅰ理科第10題）圖1來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個(gè)圖形中任意取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別為記為p1，p2，p3，則（ ）．

圖1

分析：可以設(shè)出直角三角形的三邊長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形和圓的面積公式依次計(jì)算出各自的面積即可，解答過(guò)程略．最后結(jié)果為A．

評(píng)注：該題目以“古希臘數(shù)學(xué)家”研究的幾何圖形為背景，結(jié)合高中的概率進(jìn)行考查．考題情境十分新穎，頗有數(shù)學(xué)文化氣息，對(duì)考生的數(shù)學(xué)文化具有熏陶作用．本題考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、觀(guān)察分析能力、邏輯運(yùn)算能力等，也充分體現(xiàn)了新課改中數(shù)學(xué)文化滲透的重要性．

三、情境的新穎性

數(shù)學(xué)情境是數(shù)學(xué)問(wèn)題的載體，是實(shí)現(xiàn)命題立意的中介系統(tǒng)．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)考試的基本形式，也是數(shù)學(xué)考查的重要手段．情境的新穎性是創(chuàng)新型數(shù)學(xué)試題的共同特征［1］，體現(xiàn)了高考的公平、公正．考生面對(duì)情境新穎的試題時(shí)，一般需要具備閱讀理解能力、信息篩選能力、問(wèn)題分析能力、問(wèn)題探究能力和問(wèn)題解決能力．

例6（2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第16題）如圖2，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_(kāi)_____．

圖2

分析：對(duì)于圓中動(dòng)態(tài)變化的三角形圍成的三棱錐的體積最大值問(wèn)題，平時(shí)在練習(xí)中較為少（罕）見(jiàn)，在初次接觸此題時(shí)，沒(méi)有現(xiàn)成的公式和公理可以直接套用．但注意到圍成三棱錐的四個(gè)三角形都是較為特殊的三角形，那么可以通過(guò)圓的半徑來(lái)引入未知量，然后借助其中的等量關(guān)系，表示出三棱錐的體積，最后可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)或者均值不等式來(lái)解決．

評(píng)注：本題情境新穎、背景深刻、設(shè)計(jì)獨(dú)特，具有很強(qiáng)的抽象性和綜合性．從試題的情境來(lái)看，本題以三角形的重心、三角形的高、折疊前后的不變性、勾股定理、三棱錐的體積、函數(shù)最值等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為素材，經(jīng)過(guò)精心的打磨和包裝，以求解（動(dòng)態(tài)）最值的形式呈現(xiàn)出來(lái)，此類(lèi)型試題在常規(guī)的參考書(shū)籍中較難見(jiàn)到，給了考生一個(gè)全新的問(wèn)題情境，該試題具有較強(qiáng)的橫向知識(shí)融合性，又考查學(xué)生閱讀理解能力、隱含條件（關(guān)系）挖掘能力、數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)能力等．這類(lèi)以綜合性知識(shí)為背景的創(chuàng)新型問(wèn)題，能有效考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛質(zhì)，其已成為高考數(shù)學(xué)試題的亮點(diǎn)和熱點(diǎn)，值得關(guān)注．該題目是一道很好的創(chuàng)新型試題，對(duì)該類(lèi)型試題的解決可以按照“情境提取信息—綜合分析信息—選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具—轉(zhuǎn)化問(wèn)題—問(wèn)題獲解”的步驟進(jìn)行．

此外，情境新穎性問(wèn)題還有很多．如高等數(shù)學(xué)的概念、新定義性問(wèn)題、歸納猜想問(wèn)題、合情推理問(wèn)題等，都可以增加試題的情境新穎性．如：2008年福建卷理科第16題數(shù)域的概念與性質(zhì)；2012年福建卷文科第9題和理科第7題和2015年湖北卷理科第6題以特殊函數(shù)（狄利克雷函數(shù)、符號(hào)函數(shù)）為素材；2014年山東卷理科第15題，新定義“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”；2016年上海卷理科第23題，“無(wú)窮數(shù)列”；2016年四川卷理科第15題，新定義“伴隨點(diǎn)”；2016年北京卷理科第20題，新定義“G時(shí)刻”與數(shù)列結(jié)合；2015年山東卷理科第11題，考查歸納猜理；2018年江蘇卷第19題，考查新定義“S點(diǎn)”等，這些都屬于情境新穎性試題，值得仔細(xì)品味．

四、設(shè)問(wèn)的靈活性

設(shè)問(wèn)是試題表現(xiàn)的具體形式，是需要解決和回答的目標(biāo)問(wèn)題．高考解答題從設(shè)問(wèn)的數(shù)量來(lái)看，一般為兩問(wèn)或三問(wèn)．從各個(gè)小題的關(guān)系上來(lái)看，問(wèn)與問(wèn)之間相互銜接，存在邏輯關(guān)系，有時(shí)表現(xiàn)為上問(wèn)為下問(wèn)起鋪墊作用，后問(wèn)是對(duì)前問(wèn)的深化和拓展.靈活的問(wèn)題設(shè)計(jì)往往蘊(yùn)含了命題者深刻的命題意蘊(yùn)，值得思考與體會(huì)．

例7（2015年江蘇卷第20題）設(shè)a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d（d≠0）的等差數(shù)列．

（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；

（3）是否存在a1，d及正整數(shù)n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由．

評(píng)注：本題將等差數(shù)列與等比數(shù)列結(jié)合在一起，用巧妙而靈活的設(shè)問(wèn)，使問(wèn)題與問(wèn)題之間層層推進(jìn)，步步深入．本題綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，屬于縱向深入考查型試題，具有挑戰(zhàn)性和區(qū)分度．本題考查了數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)推理能力、邏輯運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力，同時(shí)考查了代數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想．問(wèn)題（1）為常規(guī)的等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合型試題，若將指數(shù)2換成任意常數(shù)或參數(shù)m，可以加大辨別難度．問(wèn)題（2）和問(wèn)題（3）可以運(yùn)用反證法，利用等比數(shù)列的性質(zhì)和題設(shè)條件推出矛盾．這是高考數(shù)列性質(zhì)深入考查的好題之一，值得研究和品味．

高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題既要考查知識(shí)點(diǎn)的橫向交匯性，又要考查具體知識(shí)點(diǎn)的縱向深刻性，它是集知識(shí)、方法、思想、能力于一體的新穎性問(wèn)題．在創(chuàng)新型試題備考的過(guò)程中，要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，適當(dāng)開(kāi)展一些研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對(duì)創(chuàng)新型試題的特點(diǎn)有明確的認(rèn)識(shí)，把握其命題的規(guī)律和試題的特征．這樣不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生解答創(chuàng)新型試題的能力和素養(yǎng)，而且有利于學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)和發(fā)展．