☉浙江省杭州高級(jí)中學(xué)錢江校區(qū) 俞 昕

浙江省新高考已經(jīng)順利實(shí)施了兩年，細(xì)細(xì)品味這兩年的數(shù)學(xué)卷，我們可以從中得到很多啟示.兩卷中“立體幾何小題”具有共同之處.

2017年第9題：如圖1，已知正四面體D-ABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP=PB=2，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則（ ）.

圖1

A.γ＜α＜β B.α＜γ＜β C.α＜β＜γ D.β＜γ＜α

異曲同工的是2018年第8題：已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（ ）.

無獨(dú)有偶，筆者所在的高三備課組在二輪復(fù)習(xí)中通過集體備課開設(shè)了一節(jié)“立體幾何中角的大小比較”的研討課，下面把這節(jié)課與大家作簡(jiǎn)要分享，并進(jìn)行深入的分析與反思.

一、選題緣由

高中立體幾何分為傳統(tǒng)邏輯推理法和空間向量坐標(biāo)法，目前浙江卷解答題中的立體幾何問題一般都可以運(yùn)用這兩種方法來解決.在這兩種方法都可以選擇的前提下，根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，大部分學(xué)生都會(huì)選擇空間向量坐標(biāo)法，這在一定程度上削弱了學(xué)生的邏輯推理能力.因此在教學(xué)中我們應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)，高考的指揮棒也有意識(shí)地在往邏輯推理方向傾斜，而這恰好體現(xiàn)在立體幾何小題中，2017年第9題就是一個(gè)很好的范例.由此，筆者所在的高三備課組在二輪專題復(fù)習(xí)中開設(shè)“立體幾何中角的大小比較”研討課，強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用空間角的概念對(duì)三種空間角進(jìn)行定性分析，熟悉常規(guī)的空間幾何模型.

二、課例簡(jiǎn)介

1.能力測(cè)評(píng)

測(cè)評(píng)1：如圖2所示，已知正四面體P-ABC，E是PA的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)EF與PA、PB、PC所成角分別為α，β，γ，則（ ）.

A.β＞γ＞α B.γ＞β＞α C.α＞β＞γ D.α＞γ＞β

圖2

圖3

測(cè)評(píng)2：（2017年第9題）如圖3所示，已知正四面體DABC，P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點(diǎn)，AP=PB，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則（ ）.

A.γ＜α＜β B.α＜γ＜β C.α＜β＜γ D.β＜γ＜α

設(shè)計(jì)意圖：測(cè)評(píng)1僅涉及異面直線所成角（簡(jiǎn)稱線線角），通過平移將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，在三個(gè)三角形中通過簡(jiǎn)單估算便可以得到大小關(guān)系，答案為D.測(cè)評(píng)2就是2017年浙江卷第9題，此題僅涉及二面角（簡(jiǎn)稱面面角），利用三垂線法作出二面角的平面角，然后在三個(gè)直角三角形內(nèi)通過簡(jiǎn)單計(jì)算便可得到答案B，底面正三角形如果作圖精確的話，不算也能快速得到答案.可以發(fā)現(xiàn)2017年第9題是一個(gè)基本概念題，要求理解二面角的概念，同時(shí)考查直觀想象與運(yùn)算等相關(guān)素養(yǎng).此題解法雖多，但轉(zhuǎn)化為判斷△ABC的中心到△PQR各邊的距離大小，然后通過畫圖觀察較為快捷.通過兩個(gè)測(cè)評(píng)讓學(xué)生回顧空間角的概念，體會(huì)傳統(tǒng)作角的根本就是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角.

2.基于測(cè)評(píng)的提升

提升1：如圖4所示，已知三棱錐D-ABC，記二面角C-AB-D的平面角為θ，直線DA與平面ABC所成角為θ1，直線DA與BC所成角為θ2，則（ ）.

圖4

A.θ≥θ1B.θ≤θ1C.θ≥θ2D.θ≤θ2

提升2：如圖5所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、O分別在線段BD和BD上11BO，動(dòng)點(diǎn)F在線段AA上，且滿足AF=λAA11別記二面角F-OB1-E，F(xiàn)-OE-B1，F(xiàn)-EB1-O的平面角為α，β，γ，則（ ）.

圖5

圖6

圖7

設(shè)計(jì)意圖：提升1其實(shí)就是構(gòu)造“鱉臑”（三節(jié)棍型三棱錐），“鱉臑”是一個(gè)經(jīng)典立體幾何圖形，它的四個(gè)面都是直角三角形，而此題中所涉及的線線角、線面角和面面角均蘊(yùn)含在這些直角三角形中，答案是A.如圖6，取B1D1的中點(diǎn)O1，M為F在平面OB1E內(nèi)的射影，然后將三個(gè)二面角的平面角均轉(zhuǎn)化為圖7所示的平面圖形中，進(jìn)而比較線段長(zhǎng)度即可.答案是D.讓學(xué)生深入了解空間角的本質(zhì)，掌握把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決的重要思想方法，同時(shí)又熟悉“鱉臑”這類經(jīng)典立體幾何圖形，因?yàn)楹芏嗔Ⅲw幾何問題都可以在“鱉臑”中得到解決.

3.目標(biāo)檢測(cè)

圖8

目標(biāo)檢測(cè)1：如圖8所示，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（ ）.

A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α

目標(biāo)檢測(cè)2：如圖9所示，已知等腰△ABC的底邊BC上一點(diǎn)P滿足CP≤CB，將△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′-AP-B為，記直線C′A，C′B，C′P與平面ABP所成角分別為α，β，γ，則（ ）.

圖9

設(shè)計(jì)意圖：目標(biāo)檢測(cè)1和2是動(dòng)態(tài)立體幾何問題中典型的翻折問題，空間向量法在解決這樣的問題時(shí)就顯得使不上力了，因此充分體現(xiàn)了傳統(tǒng)立體幾何作角的重要性.目標(biāo)檢測(cè)1中只需作AM⊥CD，翻折以后垂直關(guān)系沒有變，即A′M⊥CD，所以∠AMA′就是二面角A′-CD-B的平面角α的補(bǔ)角，于是在△AMA′和△ADA′中比較∠AMA′和∠ADA′的大小，進(jìn)而得到答案B.目標(biāo)檢測(cè)2的關(guān)鍵仍然是二面角的平面角的作法，難點(diǎn)是確定點(diǎn)C′在平面ABP內(nèi)的射影C0的具體位置在哪里.在圖8平面圖中過點(diǎn)C作CQ⊥AP并延長(zhǎng)，翻折后形成了平面ABP的一個(gè)垂面，則點(diǎn)C′在平面ABP內(nèi)的射影C0便落在垂面內(nèi)，如圖9立體圖所示C′C0⊥平面ABP，于是要比較α，β，γ的大小，即比較圖9平面圖中線段C0A，C0B，C0P的大小，答案為C.通過分析，我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)動(dòng)態(tài)翻折問題的本質(zhì)仍然是將空間問題平面化，最后落實(shí)到比較線段長(zhǎng)度的大小問題上.

三、回首考題

讓我們回首2018年浙江省新高考卷中的立體幾何小題，其同樣蘊(yùn)含著類似的思想：立體幾何問題盡量轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來處理，通過平面化將角的大小的比較問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)線段長(zhǎng)度的比較問題.

2018年第8題：已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（ ）.

不難發(fā)現(xiàn)，此題考查基礎(chǔ)概念，對(duì)三種空間角進(jìn)行定性的分析，利用常規(guī)模型.如圖10所示的“鱉臑”中的結(jié)論：線線角θ1≥線面角θ2，如圖11所示的“鱉臑”中的結(jié)論：面面角θ3≥線面角θ2，可得題中有：面面角θ3≥線面角θ2≤線線角θ1，再由圖12知=cosθ3，過點(diǎn)O作AB的平行線MN交直線EF于點(diǎn)G，即得線線角θ1≥面面角θ3.若考生基礎(chǔ)扎實(shí)，則無需計(jì)算，通過觀察即可得到.如圖13的坐標(biāo)化處理，就感覺小題大做了.

圖10

圖11

圖12

通過以上的課例和兩年浙江省高考立體幾何小題可以發(fā)現(xiàn)，即使是較復(fù)雜的問題也能轉(zhuǎn)化為最本質(zhì)的問題，用一個(gè)詞形容就是“大道至簡(jiǎn)”.大道至簡(jiǎn)的意思是指大道理（基本原理、方法和規(guī)律）是極其簡(jiǎn)單的，簡(jiǎn)單到一兩句話就能說明白，所謂“真?zhèn)饕痪湓?，假傳萬卷書”.真正的智慧就是洞察事物的本質(zhì)和相互之間的關(guān)系，本質(zhì)的東西看起來都很簡(jiǎn)單，但本質(zhì)的來源卻是錯(cuò)綜復(fù)雜的.所以我們教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是要教會(huì)學(xué)生運(yùn)用最本質(zhì)的東西來解決復(fù)雜的問題.做到大道至簡(jiǎn)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就不再枯燥乏味、苦澀艱難，它將變成一種富含樂趣的探索過程.