李 倩，王立凱，張生貴

（中國飛機強度研究所，陜西?西安?710065）

隨著現(xiàn)代航空技術的發(fā)展，大展弦比機翼飛機不斷涌現(xiàn)，加上先進復合材料在飛機上的廣泛運用，飛行器設計中的動力學問題已越來越引起人們的關注。飛機的結構設計除了需要滿足規(guī)定的功能要求外，也不能忽視結構的使用強度、剛度、穩(wěn)定性與可靠性。隨著飛行器結構強度設計分析技術和試驗技術的發(fā)展，飛機結構的靜力破壞在使用中逐漸減少，而疲勞引起的裂紋和斷裂所占的比例明顯增多。究其原因，很大一部分是由于振動、沖擊等一些動載荷所引起的振動而造成疲勞破壞或動強度破壞[1]。在飛機的實際使用中，由于振動而引起設備、系統(tǒng)的功能失效或降低的事故屢見不鮮。根據(jù)國內(nèi)飛機設計經(jīng)驗，有些構件在設計時強度指標達到要求，運行不久便出現(xiàn)疲勞破壞。通常做法是在哪個部位斷裂，就在哪里加固，這種方法不僅增加維護成本自重，而且不能把問題從根本上消除。

結構動力學的發(fā)展得益于各種通用型結構動力學分析[2]軟件在航空領域的應用，例如 Ansys、Abaqus、MSC/Nastran。這些專業(yè)軟件兼容性強，內(nèi)置元素庫多，基本上能滿足現(xiàn)有動力學分析的所有內(nèi)容，而且可與各類CAD軟件、實體模型生成軟件實現(xiàn)無縫對接。然而，這些通用軟件由于其通用性，存在和實際工程領域聯(lián)系不緊密的缺點。值得一提的是，我國也自主研制開發(fā)了航空結構強度分析與優(yōu)化設計軟件系統(tǒng)（HAJIF），它是中航工業(yè)強度所研制推出的國內(nèi)航空界功能最為全面的大型CAE軟件系統(tǒng)，以強度試驗數(shù)據(jù)庫為支撐，提供飛行器結構靜強度、動強度、熱強度、氣動彈性、結構優(yōu)化設計等基本求解功能，以及飛機結構細節(jié)強度校核、耐久性等特色分析功能。系統(tǒng)還提供可滿足用戶特殊需求的開放式定制環(huán)境，并設計有與多種主流CAE軟件的接口，具備獨立的前后置處理功能。

本文就HAJIF軟件中的動力學分析的流程進行詳細介紹，對常用特征值分析方法、動力矩陣裝配展開具體研究。最后以一個典型的大展弦比機翼為例，對其進行動力學建模與分析，將得到結果與NASTRAN結果對比，驗證其正確性。

1??HAJIF 中動力分析的一般流程

動力問題分析的模態(tài)法[3]，在選定的頻率范圍內(nèi)，把結構的振動模態(tài)用作自由度，這就降低了自由度數(shù)目而又保持了在該頻率范圍內(nèi)的計算精度。在直接法中，自由度僅僅是網(wǎng)格節(jié)點的位移。在不同場合下，為了取得最好的效果，結合使用動力問題的模態(tài)法和直接法有很重要的意義。在有些問題中，當只需一小部分模態(tài)就足以得到理想的精度或者當直接剛度矩陣帶寬較大時，采用模態(tài)法會更有效。對于直接剛度矩陣（direct stiffness matrix）較小的問題以及有動力耦合，需要較多的振動模態(tài)才能獲得欲想的計算精度的一些問題，通常采用直接法會更有效。對于非動力耦合問題，亦即對于用模態(tài)描述的各種矩陣（matrix of the modal formulation）是對角線的問題，模態(tài)法常常會更有效些，盡管計算中需要大量的模態(tài)。當然，方法的選擇取決于用戶。HAJIF中動力分析的一般流程如圖1所示。

2??特征值分析

實的與復的特征值分析在HAJIF中是以各自的模塊分別執(zhí)行的，正如圖1所示。根據(jù)程序的靜力學程序所產(chǎn)生的對稱的質(zhì)量矩陣[Maa]和對稱的剛度矩陣[kaa]，利用實特征值分析模塊READ可獲得結構的振動模態(tài)，而根據(jù)彈性剛度矩陣[kaa]和微分剛度矩陣可獲得屈曲模態(tài)。所有其它的特征值問題，即具有由其它原因形成矩陣項的特征值問題，其求解用復特征值分析模塊CEAD。這樣的例子包括有阻尼系統(tǒng)的振動模態(tài)，具有氣動耦合（aexodynamic coupling）作用的或者具有控制系統(tǒng)之反饋的結構穩(wěn)定性分析顫振分析以及微分剛度矩陣中具有非對稱項的結構屈曲問題。

圖1 HAJIF中動力分析的一般流程

用READ求得的特征值可用來形成模態(tài)坐標以便進一步用模態(tài)法作動力分析。另一方面CEAD的解，也是最后結果。關于實特征值模塊與復特征值模塊的組織下面分節(jié)討論。

2.1??實特征值分析

用戶可以選擇兩種方法求解屈曲問題，可以選擇3種方法求解振動模態(tài)問題。HAJIF提供了多種方法以便使不同類型問題的計算效率最佳，同時也是為了彌補萬一在特定情況下單獨用某種方法所得結果的不足。振動模態(tài)特征值問題的一般形式是：

此處，特征值λi=wi2是固有振動頻率（natural vibration frequency）的平方。模塊執(zhí)行計算的結果是得到特征值λi和相應于此的經(jīng)過可供選擇的3種方法之一正則化了的特征向量{ai}。據(jù)用戶的要求，模態(tài)質(zhì)量矩陣按正交模態(tài)進行計算和檢查：

屈曲特征值問題的一般形式是：

此處特征值λi是載荷因子，乘此因子后的靜力載荷條件必將導致屈曲。該模塊執(zhí)行計算的結果是得到特征值λi及相應的特征向量[ai]。對于任何一類特征值問題，用戶都必須選擇待求的特征值λ的數(shù)目或者待求的λ的范圍。剛體振動模態(tài)用另外一個，由用戶指定一組反作用點（支座）ur的程序計算，這樣做，是為了改進計算效率，在某些情況下還可改善計算可靠性。在計算其它特征值時，不需要對結構指定這種支座，如果用戶沒有指定反力點（或者指定的反力點數(shù)目不夠），則（多余的）剛體模態(tài)將要用對有限頻率模態(tài)（the finite frequency modes）選定的方法進行計算。

與反力點有關的剛體質(zhì)量矩陣[mr]，以及方程

上式中的變換矩陣[D]都在這套程序的靜力部分計算過了，這個方程建立了多余自由度ue和ur的關系。剛體模態(tài)是一組向量。

要使方程（15）的喬萊斯基（Cholesky）方程成為可能，必須要求[Maa]是正定矩陣。對于很多問題，[Maa]實際上是奇異的，例如，在轉(zhuǎn)動坐標下當轉(zhuǎn)動慣性可被忽略時就是這樣。在這種情況下，如果采用三對角法，為消去最小質(zhì)量的自由度，必須采取Guyam減縮（Guyam reduction）。

當[C]是三角形矩陣時，其求逆并不難實現(xiàn)。而若網(wǎng)格節(jié)點間沒有質(zhì)量耦合也沒有推廣應用Guyam減縮法時，[C]-1將成為帶狀矩陣。

實特征值分析模塊所執(zhí)行的最后運算：是要使特征向量正則化；如果用戶需要，還要執(zhí)行質(zhì)量正交化檢查。該檢查要求

此處ε是用戶提出的，而已被正則化為單位廣義質(zhì)量，即：

如果檢查不合格，則程序?qū)⑻峁z查不合格的成對的模態(tài)數(shù)目以及對角線外的項之最大值。

應該指出，即使不通過正交化檢查，很精確很一致的特征值所對應的特征向量大致上也是精確的。用負冪法（inverse power method）獲得的特征向量是相對于所有預先求得的特征值進行正交化的。如果選擇的是行列式法（determinant method），則特征值的精確度可以預先檢查：

如果一部分相鄰的特征值滿足精度條件，則正交性檢查條件方程（21）就應用于這一部分特征值。經(jīng)正交性檢查不合格的那部分特征向量用史密茲（Schmidt）處理方法進行正交化（orthogonalized）

用戶可以要求下述任何一種方式使特征向量正則化（normalization）：

（1）正則化為單位廣義質(zhì)量；

（2）將向量的最大值正則化為單位1；

（3）將向量的一部分分量正則化為單位1。

2.2??復特征值分析

復特征值問題用直接法可表示為：

此處，向量{ud}包括一組結構網(wǎng)格節(jié)點上的自由度ud和一組額外節(jié)點（extra point）的自由度。質(zhì)量矩陣[Mdd]，阻尼矩陣[Bdd]和剛度矩陣[kdd]的每一個項都可能是實數(shù)或復數(shù)，而且這些矩陣可能是對稱的或非對稱的，奇異的或非奇異的。特征值Pj對應于方程（25）的其次解：

此處aj是pj的實部，wj是pj的虛部。

復特征值問題用模態(tài)法可表示為：

此處{uh}的分量是一組模態(tài)坐標ξj（modal coordinates）和一組額外節(jié)點的坐標ue，如同直接法一樣，不存在對于方程（28）中的矩陣的限制。

提供了兩種可供選擇的特征值求解法，一種是移位負冪法（the inverse power method），一種是行列式法（determinant method）。

特征值向量正交化，可以使其最大分量的值為1，也可以使由用戶選定的某個特定的分量值為1。模態(tài)廣義質(zhì)量沒有計算，如果可以確定正交性，則正交性檢查也不進行。

2.3??動力矩陣裝配

動力綜合分配器完成若干數(shù)據(jù)分配。它產(chǎn)生定義各種位移組合中各項的標志，以及內(nèi)部和外部網(wǎng)格節(jié)點數(shù)目有關的表格，這個數(shù)目包括為了動力分析而明確引入的額外節(jié)點數(shù)，它形成傳遞函數(shù)數(shù)據(jù)和特征值求解數(shù)據(jù)，同時為動力載荷和非線性問題準備表格，并且編輯關于對瞬態(tài)分析響應量（reoponre quantities）的明細表。

直接法動力矩陣裝配器的功能是要把用不同方法，據(jù)節(jié)點位移求得的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣裝配起來。模態(tài)法動力矩陣裝配器的功能是對質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣實行模態(tài)轉(zhuǎn)換。其它執(zhí)行有關動力分析系統(tǒng)裝配功能的模塊有包括進行載荷裝配的頻率響應分析模塊和包括進行載荷與運動方程中非線性項裝配的瞬態(tài)響應分析模塊。

3??動力學分析實例

氣動彈性計算功能演示驗證，采用某型大展弦比機翼為算例，該算例為單邊機翼氣動外形和結構有限元模型，完成動力學驗證計算，圖2為某型大展弦比機翼氣動力計算模型。選用SINV方法[4]進行模態(tài)計算，計算參考尺寸如下：

（1）計算參考點：X=5.040，Y=0.0，Z=0.0。

（2）參考面積：19.0m2。

（3）縱向參考長度：2.0m。

（4）橫航向參考長度：20.0m。

有限元模型[5]包括5146個節(jié)點，8816個單元，翼面有1個后緣活動舵面（襟、副翼）；蒙皮為復合材料，鋪層共16 層：[45°,-45°，0°，90°，0°，45°，-45°，0°]s。 舵 面 為蜂窩結構，面板為復合材料（鋪層同蒙皮），蜂芯為全蜂體元。其它為金屬材料。機翼有限元模型[6]如圖2所示。

圖2 機翼動力學計算模型

分別用NASTRAN和HAJIF進行動力學計算并對比，以驗證計算的正確性。典型模態(tài)如圖3和圖4所示。

圖3 機翼典型模態(tài)（NASTRAN計算結果）

圖4 機翼典型模態(tài)（HAJIF計算結果）

將兩個軟件的固有頻率進行對比，如表1所示。

表1 固有頻率對比（Hz）

從以上可以看出，HAJIF的模態(tài)求解與NASTRAN相比：

（1）從典型模態(tài)變形圖可以看出，兩者的變形大體一致。

（2）從固有頻率可以看出，兩者差別不大，HAJIF的計算頻率值比NSATRAN整體偏大3.5%左右。

4??結論

本文采用規(guī)劃法，對一個復合材料機翼，以其結構強度、剛度為約束條件，同時對該機翼的結構尺寸和復合材料鋪層進行了優(yōu)化設計，優(yōu)化后的機翼結構重量減輕1.4%，同時顫振速度提高5.38%，減重效果明顯，性能有所提升。表明本文提出的優(yōu)化方法有效。

（1）本文介紹了自主國產(chǎn)有限元軟件HAJIF的動力學分析方法，給出了詳細的特征值數(shù)學推導過程。

（2）為了驗證分析方法的正確性 ，選用一大展弦比機翼為研究對象，利用商用軟件NASTRAN和HAJIF軟件分別進行動力學分析，從結果看，兩者固有頻率較為接近，變形也較為一致。

（3）在優(yōu)化設計過程中，建立了復合材料鋪層庫，解決了結構布局與鋪層相互影響、相互耦合的問題，實現(xiàn)了單一變量對復雜鋪層的表達。該方法還可以應用于其他與復合材料鋪層優(yōu)化相關的問題。