宋佳謙,劉小華,鄭任翔

(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

非線性微分方程大多用來描述重要的非線性自然現(xiàn)象,隨著非線性數(shù)學(xué)模型和方程的逐步建立和完善,許多求解非線性微分方程的經(jīng)典求解方法也日益發(fā)展和建立起來,比如:Backlund變換法[1]、Hirota雙線性法[2]、Darboux變換法[3]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[4]等,輔助方程法是一種常用于求解非線性微分方程精確解的方法,Ma等[5]利用輔助方程法考慮了Zakharrov-Kuznetsov方程的精確解.Liu等[6]用此方法得到了(2+1)維色散長波方程的精確行波解.

本文主要探討(1+1)維積分微分Ito方程:

(1)

1 奇點(diǎn)分析和相圖

在方程(1)中做變換u=vx,可將積分微分Ito方程(1)轉(zhuǎn)換成如下的等價(jià)方程

vttx+vxxxxt+6vxxvxt+3vxvxxt+3vxxxvt=0,

(2)

對(duì)方程(2)進(jìn)行行波變換,令v(x,t)=v(ξ),其中ξ=x-kt,k是波速,方程(2)可化為

(3)

(4)

做變換w=vξ,方程(4)可化為如下等價(jià)的方程

3w2+wξξ-kw=0.

(5)

綜上推導(dǎo)可知,方程(5)的解為w=vξ,而方程(1)的解為u=vξ,顯然方程(1)的解與方程(5)的解具有相同形式.為此我們下面只須對(duì)方程(5)的有界行波解進(jìn)行分析.

令wξ=xξ,w′ξ=yξ,則方程(5)等價(jià)于如下平面動(dòng)力系統(tǒng)

(6)

易求得系統(tǒng)(6)具有首次積分為

(7)

為討論方程(5)的有界行波解,下面對(duì)平面動(dòng)力系統(tǒng)(6)進(jìn)行有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)分析.

由圖1(a)、(b)的相圖和軌跡分布可知,系統(tǒng)(6)存在無數(shù)條閉軌,2條同宿軌,無數(shù)條有界軌.由于平面動(dòng)力系統(tǒng)理論和方法系統(tǒng)(6)的同宿軌對(duì)應(yīng)著方程(5)的鐘狀孤波解,閉軌對(duì)應(yīng)著方程(5)周期解,有界軌對(duì)應(yīng)著方程(5)的有界行波解.

綜上分析可得,方程(5)的有界行波解如性質(zhì)1所述.

性質(zhì)1 1)當(dāng)k>0時(shí),方程(5)存在一個(gè)鐘狀孤波解u(ξ),u(ξ)→0,ξ→±∞ ,無數(shù)個(gè)周期解和無數(shù)個(gè)有界行波解.

2 方程(1)的精確行波解

由上節(jié)的定性分析結(jié)論,本節(jié)將利用輔助方程法對(duì)方程(1)的精確行波解進(jìn)行研究.首先給出輔助方程法的步驟.

2.1 輔助方程法

考慮如下的常微分方程為

Pwm,wm-1,…,w′,w=0.

(8)

步驟1 假設(shè)(8)有如下形式的解

(9)

其中ai(i=0,1,…,s)為待定系數(shù),F(ξ)滿足如下方程

(10)

其中方程(10)的精確解見文獻(xiàn)[11];

步驟2 由齊次平衡法確定方程(9)中的s,求出w(n),w(n-1),…w1,w,代入方程(8),得到一個(gè)關(guān)于a0,a1,…as的代數(shù)方程組;

步驟3 求解代數(shù)方程組,得到待定系數(shù)a0,a1,…as的值,然后根據(jù)方程(9)和方程(10),可得出方程(5)的精確行波解.

2.2 方程(1)的精確行波解

根據(jù)方程(1)與方程(5)解之間的關(guān)系,先用輔助方程法對(duì)方程(5)的精確行波解進(jìn)行研究.假設(shè)方程(5)有解形如

(11)

在方程(5)中,由于wξξ與w2的平衡原則,n+2=2n可得n=2,從而方程(11)可變?yōu)?/p>

w(ξ)=a0+a1F(ξ)+a2F2(ξ).

(12)

利用方程(10)和方程(12)可計(jì)算出

(13)

(14)

把方程(12～14)代入方程(5)合并同類項(xiàng),令Fmξ(m=0,1,2,3,4)的系數(shù)等于0,得到關(guān)于a0,a1,a2的代數(shù)方程組為

(15)

經(jīng)計(jì)算可得方程組(15)的解有以下3種情形:

(16)

其中τ=1或者0.

情形2 當(dāng)k=±a,c=0,有

(17)

其中τ=0或者1.

情形3 當(dāng)k=±4a,b=0,有

(18)

其中τ=0或者1.

根據(jù)a0,a1,a2的解(16),以及(12)和方程(10)的精確解可知:

定理1 若波速k=±a,a,b,c為任意參數(shù)且滿足256ac-35b2=0,ε=±1,Δ=b2-4ac,則方程(1)的16個(gè)精確行波解為:

1)當(dāng)a>0時(shí),

(19)

(20)

2)當(dāng)a>0,Δ>0時(shí),有

(21)

3)當(dāng)a<0,Δ>0時(shí),有

(22)

(23)

4)當(dāng)a>0,c>0時(shí),有

(24)

(25)

5)當(dāng)a>0時(shí),

(26)

注:1)表達(dá)式(19～26)中,“+”時(shí),τ取0,“-”時(shí),τ取1.

2)文獻(xiàn)[9]的解(24)可以作為本文解(26)的一個(gè)推論.

根據(jù)a0,a1,a2的解(17),以及(12)和方程(10)的精確解可知:

定理2 若波速k=±a,a,b為任意參數(shù),ε=±1,Δ=b2-4ac,則方程(1)有如下2個(gè)鐘狀孤波解和10個(gè)有界行波解:

1)當(dāng)a>0時(shí),有

(27)

(28)

2)當(dāng)a>0,Δ>0時(shí),有

(29)

3)當(dāng)a<0,Δ>0時(shí),有

(30)

(31)

4)當(dāng)a>0時(shí),有

(32)

需要注意幾點(diǎn):

1)表達(dá)式(27～32)中,“+”時(shí),τ取0,“-”時(shí),τ取1.

2)τ取0時(shí),鐘狀孤波解(27)變?yōu)?/p>

(33)

鐘狀解(32)對(duì)應(yīng)著圖2中的同宿軌.

3)τ取1時(shí),鐘狀孤波解(27)變?yōu)?/p>

(34)

鐘狀解(33)對(duì)應(yīng)著圖1中的同宿軌.

4)文獻(xiàn)[9]的解(21)可以作為本文結(jié)論(32)式的一個(gè)推論.

根據(jù)a0,a1,a2的解(18),以及(12)和方程(10)的精確解可知:

定理3 若波速k=±4a,a,c為任意參數(shù),ε=±1,則方程(1)有如下4個(gè)有界行波解:

1)當(dāng)a>0時(shí),有

(35)

2)當(dāng)a>0,b=0時(shí),有

(36)

其中，表達(dá)式(35～36)中,“+”時(shí),τ取0,“-”時(shí),τ取1.

文獻(xiàn)[9]的解(18)可以作為本文結(jié)論(36)式的一個(gè)推論.

3 結(jié)語

本文利用輔助方程法求解了(1+1)維積分微分Ito方程,成功地得到了2個(gè)鐘狀孤波解和若干新的有界行波解精確表達(dá)式,而且文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論可以作為本文結(jié)論的推論.