王春陽, 劉少英,張 月
(中國白城兵器試驗中心,吉林 白城 137001)
隨著我國武器系統(tǒng)的快速發(fā)展,靶場試驗任務(wù)對測試設(shè)備的要求越來越高[1]。光電經(jīng)緯儀作為飛行目標(biāo)外彈道測量的主要手段,具有精度高、直觀性強(qiáng)等優(yōu)點,但只能提供目標(biāo)的角度信息[2]。雷達(dá)可以提供較高精度的測距信息,但測角精度較低[3]。為充分發(fā)揮經(jīng)緯儀和雷達(dá)各自的優(yōu)點,近年來,部分靶場將光電經(jīng)緯儀和雷達(dá)聯(lián)合起來對同一飛行目標(biāo)進(jìn)行跟蹤測量,事后將雷達(dá)的測距數(shù)據(jù)和經(jīng)緯儀測角數(shù)據(jù)進(jìn)行融合,實現(xiàn)聯(lián)合交會定位[4]。
20世紀(jì)70年代初,數(shù)據(jù)融合的概念被提出,它是指將多種技術(shù)手段給出的測量信息融合處理,以獲得目標(biāo)參數(shù)的精確估值[5]。目前,國內(nèi)相關(guān)機(jī)構(gòu)對雷達(dá)光電經(jīng)緯儀多站交會方法進(jìn)行了大量研究[6-8]。文獻(xiàn)[6]根據(jù)角度、距離觀測值與目標(biāo)空間坐標(biāo)的幾何關(guān)系,建立觀測方程,并對其線性化,得到平差模型。文獻(xiàn)[7]將樣條約束方法應(yīng)用于角度、距離和速度測量數(shù)據(jù)的融合處理。文獻(xiàn)[8]利用經(jīng)緯儀測角信息和附近的雷達(dá)測距信息進(jìn)行融合,得到目標(biāo)相對于雷達(dá)的方位角和俯仰角,從而確定目標(biāo)的空間位置。上述研究的方法均將經(jīng)緯儀的測角數(shù)據(jù)和雷達(dá)的測距信息一同加入到解算模型中,充分利用經(jīng)緯儀和雷達(dá)各自的優(yōu)勢,提高了目標(biāo)的定位精度。但在處理方法上存在一些問題,如文獻(xiàn)[6]和[7]的方法只建立了函數(shù)模型,并未考慮隨機(jī)模型,角度觀測值和距離觀測值單位不同,屬于不同類型的觀測量,難以估計他們的方差,從而不能精確定權(quán)。而文獻(xiàn)[8]本質(zhì)上并沒有采用交會的算法,得出的結(jié)果僅比雷達(dá)單臺定位精度高,并且可靠性較低。
如何在聯(lián)合平差中合理地確定不同類觀測值之間的權(quán)比,是數(shù)據(jù)融合處理的關(guān)鍵。處理這類問題的一般方法是根據(jù)儀器出廠標(biāo)明的精度估算各自的方差,從而定權(quán),但實踐證明,這種方法是不夠精確的[9]。因此,許多學(xué)者將驗前定權(quán)改為驗后定權(quán),提出了方差分量估計法,它是通過迭代計算,對不同類的觀測值進(jìn)行重新定權(quán),使他們的單位權(quán)中誤差最大限度趨于一致,從而使權(quán)的分配更加合理[10]。
為了能更好地發(fā)揮雷達(dá)和光電經(jīng)緯儀各自的優(yōu)勢,使兩者采集的數(shù)據(jù)能更好進(jìn)行融合,進(jìn)而獲取精度更高的彈道三維坐標(biāo),本文提出了兩種雷達(dá)光電經(jīng)緯儀聯(lián)測數(shù)據(jù)處理方法。針對角度觀測值和距離觀測值屬于不同類型的觀測量,難以精確定權(quán)的問題,引入了基于方差分量估計的多站交會方法;為了解決方差分量估計法處理結(jié)果中出現(xiàn)的“尖刺”,提出了將最小二乘多站交會與Helmert方差分量估計結(jié)合的處理方法。最后,通過對算例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析及驗證,證明本文方法的可行性和有效性。
如圖1所示,靶場坐標(biāo)系為O-XHZ,光電經(jīng)緯儀和雷達(dá)的測量值分別為方位角Ai、高低角Ei及距離Ri。根據(jù)幾何投影關(guān)系可以得到下列關(guān)系式[11]:
(1)
圖1 雷達(dá)、光電經(jīng)緯儀與飛行目標(biāo)的關(guān)系Fig.1 Relationship between radar、 photoelectric theodolite and flight target
(2)
(3)
由于公式(1~3)是非線性方程,需要做線性化處理,對公式(1~3)在初值(x0,h0,z0)處做泰勒級數(shù)展開,省略二次以上的高階項,建立誤差方程:
(4)
系數(shù)矩陣為:
Li=(x0-xi)2+(z0-zi)2;
Ri=(x0-xi)2+(h0-hi)2+(z0-zi)2.
由高斯-馬爾可夫估計得[12]:
(5)
參數(shù)向量協(xié)方差陣為:
PX=(BTPB)-1,
(6)
得出炸點坐標(biāo)為:
x=x0+δx,y=y0+δy,z=z0+δz.
由上述的模型可以看出,觀測值分兩類,光電經(jīng)緯儀的測角觀測值和雷達(dá)的測距觀測值。假設(shè)兩類觀測值之間相互獨立,其權(quán)陣分別為P1、P2。建立誤差方程為:
(7)
(8)
式中:V1、V2、B1、B2、L1、L2代表的含義同公式(4)。
兩類觀測值的Helmert方差分量估計公式為:
(9)
m1和m2為測角觀測值數(shù)和測距觀測值數(shù)。
(10)
依據(jù)質(zhì)點運(yùn)動方程在靶場坐標(biāo)系下推算一條理論彈道,用彈道三維坐標(biāo)反推設(shè)備觀測數(shù)據(jù),采樣間隔為0.1 s,全彈道采集925個歷元。假設(shè)設(shè)備可以對彈道進(jìn)行全程跟蹤測量。選取3臺光電經(jīng)緯儀和4臺雷達(dá),每個歷元可以獲得10個觀測數(shù)據(jù),分別為4臺雷達(dá)的4個測距數(shù)據(jù)和3臺經(jīng)緯儀的6個測角數(shù)據(jù),依據(jù)設(shè)備實際精度,在測元數(shù)據(jù)中加入隨機(jī)誤差(角度誤差為40 s,距離誤差為1 m),設(shè)備與彈道軌跡的幾何關(guān)系如圖1所示,其中,3臺光電經(jīng)緯儀和4臺雷達(dá)均布設(shè)在彈道左側(cè)。
圖2 雷達(dá)、光電經(jīng)緯儀與彈道的空間幾何關(guān)系。Fig.2 Space geometric relationship between radar,photoelectric theodolite and trajectory
圖3 采用最小二乘多站交會法計算的誤差曲線Fig.3 Error curve calculated by the least square multi station intersection method
首先,采用基于最小二乘估計的多站交會法對3臺光電經(jīng)緯儀的測角數(shù)據(jù)進(jìn)行計算,結(jié)果如圖3所示,解算誤差在彈道的起始段(0~20 s)和末段(60~90 s)明顯大于中間段(20~60 s)。這是由于解算結(jié)果除了受設(shè)備測量精度影響外,還與布站幾何有關(guān),通常用幾何精度因子GDOP來描述定位精度與布站幾何之間的關(guān)系,其值越大,說明定位精度越低。GDOP計算公式為[15]:
(11)
用公式(11)計算彈道上每個測量點處的GDOP值,結(jié)果如圖4所示,可以看出,GDOP的變化趨勢與圖3中的誤差變化趨勢相一致。當(dāng)目標(biāo)處于彈道起始段和未段時,X方向誤差較大,達(dá)到10 m以上,而H方向相對穩(wěn)定,始終維持在±3 m。說明H方向的精度受布站方式的影響小于其他方向。
圖4 彈道不同位置處的GDOP值Fig.4 Value of GDOP at different positions of the trajectory
然后,采用Helmert方差分量估計法對雷達(dá)、光電經(jīng)緯儀的測角、測距數(shù)據(jù)進(jìn)行融合,解算全彈道各個歷元的三維坐標(biāo),誤差如圖5所示。
圖5 Helmert方差分量估計計算的誤差曲線Fig.5 Error curve calculated by Helmert variance component estimation
從圖5可以看出,方差分量估計不受布站幾何影響,每個歷元處的解算精度趨向穩(wěn)定,除個別點出現(xiàn)“尖刺”外,總體上誤差基本在5 m以內(nèi)。對出現(xiàn)“尖刺”處的數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),在方差分量估計過程中,單位權(quán)方差估值出現(xiàn)了負(fù)值,計算每個歷元處S矩陣(公式9中的矩陣)2范數(shù)下的條件數(shù)[16](一般認(rèn)為0~100以內(nèi)性能較好,而大于1 000性能較差,可認(rèn)為是病態(tài)矩陣)。結(jié)果如圖6所示,可以發(fā)現(xiàn)“尖刺”出現(xiàn)的時刻與條件數(shù)較大的時刻一致。因此可以證明由于S矩陣出現(xiàn)病態(tài),致使單位權(quán)方差估值出現(xiàn)了負(fù)值,影響了解算精度。而S矩陣的病態(tài)性產(chǎn)生的原因可能是模型矩陣的列向量間存在復(fù)共線性關(guān)系,這會導(dǎo)致最小二乘估計結(jié)果變得不穩(wěn)定[17-18]。
圖6 S矩陣2范數(shù)下的條件數(shù)Fig.6 Conditional number under the 2 norm of S matrix
針對S矩陣病態(tài)的問題,可采用有偏估計法對其進(jìn)行處理,但是嶺參數(shù)的確定是非常困難的,目前沒有公認(rèn)的好辦法[19]。本文提出了一種相對簡單的處理方法,即采用最小二乘多站交會法與Helmert方差分量估計法相結(jié)合法,這種方法的處理思路是,有“尖刺”的歷元數(shù)據(jù)用前者解算,其他時刻數(shù)據(jù)用后者解算。具體處理方法是,首先按照Helmert方差分量估計法處理,發(fā)現(xiàn)單位權(quán)中誤差為負(fù)值時,將P2設(shè)置為零矩陣,即除去雷達(dá)測距信息對參數(shù)估計的影響。采用此方法的解算誤差如圖7所示。
圖7 兩種方法結(jié)合計算的誤差曲線Fig.7 Error curve calculated by the combination of the two methods
對比圖5、7誤差曲線,可以看出,兩種方法結(jié)合,可以取各自的優(yōu)勢,達(dá)到理想的效果。這種處理方法計算簡單、容易實現(xiàn),不但能較好地解決“尖刺”問題,而且不受布站幾何影響,提高了解算精度的同時,也提高了誤差變化的穩(wěn)定性,精度基本控制在5 m以內(nèi)。
表1為3種方法解算結(jié)果的均方根RMS,對比發(fā)現(xiàn),方差分量估計法受“尖刺”影響,總體精度下降很多,變得不穩(wěn)定;而最小二乘多站交會法在起始段和末段精度較差,也不穩(wěn)定;將兩種方法相結(jié)合,解算精度在X、H、Z方向均小于1 m,明顯優(yōu)于分別處理的結(jié)果。
表1 不同方法解算結(jié)果的均方根Tab.1 RMS results of different methods
對算例進(jìn)行分析可以總結(jié)出:
(1)基于最小二乘估計的多站交會法受布站幾何影響較大,當(dāng)GDOP值較高時,微小的誤差也會對參數(shù)估值產(chǎn)生較大的影響,而Helmert方差分量估計法利用雷達(dá)測距信息能有效改善這種影響。
(2)Helmert方差分量估計法存在一個問題,在估計過程中,單位權(quán)方差估值經(jīng)常出現(xiàn)負(fù)值,致使誤差曲線呈現(xiàn)一定數(shù)量的“尖刺”,“尖刺”的位置與單位權(quán)方差出現(xiàn)負(fù)值的位置一一對應(yīng)。
(3)將最小二乘多站交會法與Helmert方差分量估計法結(jié)合,取兩種算法各自的優(yōu)點,不但可以有效降低布站幾何的影響,又能去除“尖刺”,該方法在X、H、Z方向的解算精度均小于1 m。
(4) 當(dāng)觀測值中只含有角度信息時,可靠性指標(biāo)受布站幾何影響較大,觀測值中較小的誤差會對參數(shù)估值產(chǎn)生很大的影響,尤其是水平角,影響更為明顯。
(5) 造成Helmert方差分量估計產(chǎn)生“尖刺”的原因是S矩陣呈現(xiàn)病態(tài),模型矩陣的列向量間存在復(fù)共線性關(guān)系。
通過算例數(shù)據(jù)對基于Helmert方差分量估計、最小二乘多站交會與Helmert方差分量估計相結(jié)合兩種方法進(jìn)行了分析和驗證。結(jié)果證明:最小二乘多站交會與Helmert方差分量估計結(jié)合法,受布站幾何的影響較小,還可以去除“尖刺”現(xiàn)象,在X、H、Z方向上的解算精度均小于1 m。