王春陽, 劉少英，張 月

(中國白城兵器試驗(yàn)中心，吉林 白城 137001)

1 引 言

隨著我國武器系統(tǒng)的快速發(fā)展，靶場試驗(yàn)任務(wù)對測試設(shè)備的要求越來越高[1]。光電經(jīng)緯儀作為飛行目標(biāo)外彈道測量的主要手段，具有精度高、直觀性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，但只能提供目標(biāo)的角度信息[2]。雷達(dá)可以提供較高精度的測距信息，但測角精度較低[3]。為充分發(fā)揮經(jīng)緯儀和雷達(dá)各自的優(yōu)點(diǎn)，近年來，部分靶場將光電經(jīng)緯儀和雷達(dá)聯(lián)合起來對同一飛行目標(biāo)進(jìn)行跟蹤測量，事后將雷達(dá)的測距數(shù)據(jù)和經(jīng)緯儀測角數(shù)據(jù)進(jìn)行融合，實(shí)現(xiàn)聯(lián)合交會定位[4]。

20世紀(jì)70年代初，數(shù)據(jù)融合的概念被提出，它是指將多種技術(shù)手段給出的測量信息融合處理，以獲得目標(biāo)參數(shù)的精確估值[5]。目前，國內(nèi)相關(guān)機(jī)構(gòu)對雷達(dá)光電經(jīng)緯儀多站交會方法進(jìn)行了大量研究[6-8]。文獻(xiàn)[6]根據(jù)角度、距離觀測值與目標(biāo)空間坐標(biāo)的幾何關(guān)系，建立觀測方程，并對其線性化，得到平差模型。文獻(xiàn)[7]將樣條約束方法應(yīng)用于角度、距離和速度測量數(shù)據(jù)的融合處理。文獻(xiàn)[8]利用經(jīng)緯儀測角信息和附近的雷達(dá)測距信息進(jìn)行融合，得到目標(biāo)相對于雷達(dá)的方位角和俯仰角，從而確定目標(biāo)的空間位置。上述研究的方法均將經(jīng)緯儀的測角數(shù)據(jù)和雷達(dá)的測距信息一同加入到解算模型中，充分利用經(jīng)緯儀和雷達(dá)各自的優(yōu)勢，提高了目標(biāo)的定位精度。但在處理方法上存在一些問題，如文獻(xiàn)[6]和[7]的方法只建立了函數(shù)模型，并未考慮隨機(jī)模型，角度觀測值和距離觀測值單位不同，屬于不同類型的觀測量，難以估計(jì)他們的方差，從而不能精確定權(quán)。而文獻(xiàn)[8]本質(zhì)上并沒有采用交會的算法，得出的結(jié)果僅比雷達(dá)單臺定位精度高，并且可靠性較低。

如何在聯(lián)合平差中合理地確定不同類觀測值之間的權(quán)比，是數(shù)據(jù)融合處理的關(guān)鍵。處理這類問題的一般方法是根據(jù)儀器出廠標(biāo)明的精度估算各自的方差，從而定權(quán)，但實(shí)踐證明，這種方法是不夠精確的[9]。因此，許多學(xué)者將驗(yàn)前定權(quán)改為驗(yàn)后定權(quán)，提出了方差分量估計(jì)法，它是通過迭代計(jì)算，對不同類的觀測值進(jìn)行重新定權(quán)，使他們的單位權(quán)中誤差最大限度趨于一致，從而使權(quán)的分配更加合理[10]。

為了能更好地發(fā)揮雷達(dá)和光電經(jīng)緯儀各自的優(yōu)勢，使兩者采集的數(shù)據(jù)能更好進(jìn)行融合，進(jìn)而獲取精度更高的彈道三維坐標(biāo)，本文提出了兩種雷達(dá)光電經(jīng)緯儀聯(lián)測數(shù)據(jù)處理方法。針對角度觀測值和距離觀測值屬于不同類型的觀測量，難以精確定權(quán)的問題，引入了基于方差分量估計(jì)的多站交會方法；為了解決方差分量估計(jì)法處理結(jié)果中出現(xiàn)的“尖刺”，提出了將最小二乘多站交會與Helmert方差分量估計(jì)結(jié)合的處理方法。最后，通過對算例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析及驗(yàn)證，證明本文方法的可行性和有效性。

2 原理及數(shù)學(xué)模型

2.1 雷達(dá)、光電經(jīng)緯儀交會測量模型

如圖1所示，靶場坐標(biāo)系為O-XHZ，光電經(jīng)緯儀和雷達(dá)的測量值分別為方位角Ai、高低角Ei及距離Ri。根據(jù)幾何投影關(guān)系可以得到下列關(guān)系式[11]：

(1)

圖1 雷達(dá)、光電經(jīng)緯儀與飛行目標(biāo)的關(guān)系Fig.1 Relationship between radar、 photoelectric theodolite and flight target

(2)

(3)

由于公式(1～3)是非線性方程，需要做線性化處理，對公式(1～3)在初值(x0,h0,z0)處做泰勒級數(shù)展開，省略二次以上的高階項(xiàng)，建立誤差方程：

(4)

系數(shù)矩陣為：

Li=(x0-xi)2+(z0-zi)2；

Ri=(x0-xi)2+(h0-hi)2+(z0-zi)2.

由高斯-馬爾可夫估計(jì)得[12]：

(5)

參數(shù)向量協(xié)方差陣為：

PX=(BTPB)-1，

(6)

得出炸點(diǎn)坐標(biāo)為：

x=x0+δx,y=y0+δy,z=z0+δz.

2.2 Helmert方差分量估計(jì)模型

由上述的模型可以看出，觀測值分兩類，光電經(jīng)緯儀的測角觀測值和雷達(dá)的測距觀測值。假設(shè)兩類觀測值之間相互獨(dú)立，其權(quán)陣分別為P1、P2。建立誤差方程為：

(7)

(8)

式中:V1、V2、B1、B2、L1、L2代表的含義同公式(4)。

兩類觀測值的Helmert方差分量估計(jì)公式為：

(9)

m1和m2為測角觀測值數(shù)和測距觀測值數(shù)。

(10)

3 算例與分析

3.1 數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)

依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程在靶場坐標(biāo)系下推算一條理論彈道，用彈道三維坐標(biāo)反推設(shè)備觀測數(shù)據(jù)，采樣間隔為0.1 s，全彈道采集925個歷元。假設(shè)設(shè)備可以對彈道進(jìn)行全程跟蹤測量。選取3臺光電經(jīng)緯儀和4臺雷達(dá)，每個歷元可以獲得10個觀測數(shù)據(jù)，分別為4臺雷達(dá)的4個測距數(shù)據(jù)和3臺經(jīng)緯儀的6個測角數(shù)據(jù)，依據(jù)設(shè)備實(shí)際精度，在測元數(shù)據(jù)中加入隨機(jī)誤差(角度誤差為40 s，距離誤差為1 m)，設(shè)備與彈道軌跡的幾何關(guān)系如圖1所示，其中，3臺光電經(jīng)緯儀和4臺雷達(dá)均布設(shè)在彈道左側(cè)。

圖2 雷達(dá)、光電經(jīng)緯儀與彈道的空間幾何關(guān)系。Fig.2 Space geometric relationship between radar，photoelectric theodolite and trajectory

3.2 觀測值不含粗差

圖3 采用最小二乘多站交會法計(jì)算的誤差曲線Fig.3 Error curve calculated by the least square multi station intersection method

首先，采用基于最小二乘估計(jì)的多站交會法對3臺光電經(jīng)緯儀的測角數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖3所示，解算誤差在彈道的起始段(0～20 s)和末段(60～90 s)明顯大于中間段(20～60 s)。這是由于解算結(jié)果除了受設(shè)備測量精度影響外，還與布站幾何有關(guān)，通常用幾何精度因子GDOP來描述定位精度與布站幾何之間的關(guān)系，其值越大，說明定位精度越低。GDOP計(jì)算公式為[15]：

(11)

用公式(11)計(jì)算彈道上每個測量點(diǎn)處的GDOP值，結(jié)果如圖4所示，可以看出，GDOP的變化趨勢與圖3中的誤差變化趨勢相一致。當(dāng)目標(biāo)處于彈道起始段和未段時(shí)，X方向誤差較大，達(dá)到10 m以上，而H方向相對穩(wěn)定，始終維持在±3 m。說明H方向的精度受布站方式的影響小于其他方向。

圖4 彈道不同位置處的GDOP值Fig.4 Value of GDOP at different positions of the trajectory

然后，采用Helmert方差分量估計(jì)法對雷達(dá)、光電經(jīng)緯儀的測角、測距數(shù)據(jù)進(jìn)行融合，解算全彈道各個歷元的三維坐標(biāo)，誤差如圖5所示。

圖5 Helmert方差分量估計(jì)計(jì)算的誤差曲線Fig.5 Error curve calculated by Helmert variance component estimation

從圖5可以看出，方差分量估計(jì)不受布站幾何影響，每個歷元處的解算精度趨向穩(wěn)定，除個別點(diǎn)出現(xiàn)“尖刺”外，總體上誤差基本在5 m以內(nèi)。對出現(xiàn)“尖刺”處的數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，在方差分量估計(jì)過程中，單位權(quán)方差估值出現(xiàn)了負(fù)值，計(jì)算每個歷元處S矩陣(公式9中的矩陣)2范數(shù)下的條件數(shù)[16](一般認(rèn)為0～100以內(nèi)性能較好，而大于1 000性能較差，可認(rèn)為是病態(tài)矩陣)。結(jié)果如圖6所示，可以發(fā)現(xiàn)“尖刺”出現(xiàn)的時(shí)刻與條件數(shù)較大的時(shí)刻一致。因此可以證明由于S矩陣出現(xiàn)病態(tài)，致使單位權(quán)方差估值出現(xiàn)了負(fù)值，影響了解算精度。而S矩陣的病態(tài)性產(chǎn)生的原因可能是模型矩陣的列向量間存在復(fù)共線性關(guān)系，這會導(dǎo)致最小二乘估計(jì)結(jié)果變得不穩(wěn)定[17-18]。

圖6 S矩陣2范數(shù)下的條件數(shù)Fig.6 Conditional number under the 2 norm of S matrix

針對S矩陣病態(tài)的問題，可采用有偏估計(jì)法對其進(jìn)行處理，但是嶺參數(shù)的確定是非常困難的，目前沒有公認(rèn)的好辦法[19]。本文提出了一種相對簡單的處理方法，即采用最小二乘多站交會法與Helmert方差分量估計(jì)法相結(jié)合法，這種方法的處理思路是，有“尖刺”的歷元數(shù)據(jù)用前者解算，其他時(shí)刻數(shù)據(jù)用后者解算。具體處理方法是，首先按照Helmert方差分量估計(jì)法處理，發(fā)現(xiàn)單位權(quán)中誤差為負(fù)值時(shí)，將P2設(shè)置為零矩陣，即除去雷達(dá)測距信息對參數(shù)估計(jì)的影響。采用此方法的解算誤差如圖7所示。

圖7 兩種方法結(jié)合計(jì)算的誤差曲線Fig.7 Error curve calculated by the combination of the two methods

對比圖5、7誤差曲線，可以看出，兩種方法結(jié)合，可以取各自的優(yōu)勢，達(dá)到理想的效果。這種處理方法計(jì)算簡單、容易實(shí)現(xiàn)，不但能較好地解決“尖刺”問題，而且不受布站幾何影響，提高了解算精度的同時(shí)，也提高了誤差變化的穩(wěn)定性，精度基本控制在5 m以內(nèi)。

表1為3種方法解算結(jié)果的均方根RMS，對比發(fā)現(xiàn)，方差分量估計(jì)法受“尖刺”影響，總體精度下降很多，變得不穩(wěn)定；而最小二乘多站交會法在起始段和末段精度較差，也不穩(wěn)定；將兩種方法相結(jié)合，解算精度在X、H、Z方向均小于1 m，明顯優(yōu)于分別處理的結(jié)果。

表1 不同方法解算結(jié)果的均方根Tab.1 RMS results of different methods

3.4 結(jié)果

對算例進(jìn)行分析可以總結(jié)出：

(1)基于最小二乘估計(jì)的多站交會法受布站幾何影響較大，當(dāng)GDOP值較高時(shí)，微小的誤差也會對參數(shù)估值產(chǎn)生較大的影響，而Helmert方差分量估計(jì)法利用雷達(dá)測距信息能有效改善這種影響。

(2)Helmert方差分量估計(jì)法存在一個問題，在估計(jì)過程中，單位權(quán)方差估值經(jīng)常出現(xiàn)負(fù)值，致使誤差曲線呈現(xiàn)一定數(shù)量的“尖刺”，“尖刺”的位置與單位權(quán)方差出現(xiàn)負(fù)值的位置一一對應(yīng)。

(3)將最小二乘多站交會法與Helmert方差分量估計(jì)法結(jié)合，取兩種算法各自的優(yōu)點(diǎn)，不但可以有效降低布站幾何的影響，又能去除“尖刺”，該方法在X、H、Z方向的解算精度均小于1 m。

(4) 當(dāng)觀測值中只含有角度信息時(shí)，可靠性指標(biāo)受布站幾何影響較大，觀測值中較小的誤差會對參數(shù)估值產(chǎn)生很大的影響，尤其是水平角，影響更為明顯。

(5) 造成Helmert方差分量估計(jì)產(chǎn)生“尖刺”的原因是S矩陣呈現(xiàn)病態(tài)，模型矩陣的列向量間存在復(fù)共線性關(guān)系。

4 結(jié) 論

通過算例數(shù)據(jù)對基于Helmert方差分量估計(jì)、最小二乘多站交會與Helmert方差分量估計(jì)相結(jié)合兩種方法進(jìn)行了分析和驗(yàn)證。結(jié)果證明：最小二乘多站交會與Helmert方差分量估計(jì)結(jié)合法，受布站幾何的影響較小，還可以去除“尖刺”現(xiàn)象，在X、H、Z方向上的解算精度均小于1 m。