(南通大學(xué)物理系,江蘇 南通 226019)

圖1 電阻網(wǎng)絡(luò)圖

在實(shí)際問(wèn)題中電阻網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變, 如何將電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行簡(jiǎn)化是更好地解決電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻問(wèn)題的關(guān)鍵. 本文受文獻(xiàn)[1-8]研究成果的啟發(fā), 擬研究一種電橋電阻網(wǎng)絡(luò)的多種變換結(jié)構(gòu)及其等效電阻的不同求法. 本文選用圖1所示的電阻網(wǎng)絡(luò)開(kāi)展研究, 該電阻網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)內(nèi)含交叉(不連結(jié))電阻的一種電阻網(wǎng)絡(luò), 該電路中含5個(gè)不同的電阻元素, 由于電阻的非對(duì)稱性因而計(jì)算其等效電阻時(shí)顯得比較復(fù)雜.

1 電橋電路的拓?fù)渥儞Q

能否將圖1結(jié)構(gòu)變換成為常見(jiàn)的通俗易懂的電路結(jié)構(gòu)?我們給出了圖1的2種拓?fù)渥儞Q, 即在研究電橋電路時(shí)連續(xù)改變電路形狀, 其基本電學(xué)性質(zhì)還能保持不變的變換. 研究發(fā)現(xiàn)圖1所示的電路結(jié)構(gòu)可以拓?fù)渥儞Q成為如圖2和圖3所示的電阻網(wǎng)絡(luò). 其中圖2屬于一種常見(jiàn)的非平衡電橋電路, 而圖3屬于一種三角形cobweb模型.[1,7]

識(shí)別圖1-圖3所示3種電阻網(wǎng)絡(luò)等價(jià)的方法:我們采用各節(jié)點(diǎn)間連接的電阻來(lái)判斷, 在3個(gè)電路中, 與A節(jié)點(diǎn)相連的電阻有r,r0,r2;與B節(jié)點(diǎn)相連的電阻有r,r0,r1;與E節(jié)點(diǎn)相連的電阻有r,r1,R0;與F節(jié)點(diǎn)相連接的電阻有r,r2,R0, 對(duì)比可以得出3個(gè)電阻網(wǎng)絡(luò)完全等價(jià). 顯然在圖2所示電路中連線A-E-B-F構(gòu)成一電橋, 其中r,r1,r,r2為4個(gè)橋臂電阻,R0為橋電阻. 由于該電路結(jié)構(gòu)特殊, 各個(gè)元件之間的連接并非簡(jiǎn)單的串并聯(lián)關(guān)系, 但是當(dāng)電橋平衡時(shí), 即當(dāng)r:r1=r2:r時(shí), 稱圖2所示電路為平衡橋電路. 此時(shí)可以將橋電阻作斷路等效處理, 則該電路的等效電阻為

(1)

其中利用了r1r2=r2.當(dāng)電橋不平衡時(shí),無(wú)法用簡(jiǎn)單的串并聯(lián)電路分析、求解.由此本文選用兩種一般性解法來(lái)研究非平衡電橋電路等效電阻.

2 應(yīng)用基爾霍夫方程組計(jì)算等效電阻

圖4 含有電流參數(shù)的二端電路網(wǎng)絡(luò)模型

接下來(lái)我們基于圖1應(yīng)用基爾霍夫定律建立方程組來(lái)計(jì)算A和B兩節(jié)點(diǎn)之間的等效電阻RAB.假設(shè)在節(jié)點(diǎn)A輸入恒定的電流并且讓電流在節(jié)點(diǎn)B輸出, 同時(shí)定義其他分支電流, 如圖4所示:I1為流過(guò)上邊界r的電流;I2為流過(guò)R0的電流;I3為流過(guò)r0的電流;I4為流過(guò)下邊界r的電流;I5為流過(guò)r2的電流;I6為流過(guò)r1的電流.

對(duì)圖4電阻網(wǎng)絡(luò)運(yùn)用基爾霍夫定律得到回路電壓方程

I1r+I6r1-I3r0=0,

(2)

I5r2+I4r-I3r0=0,

(3)

I1r+I2R0-I5r2=0.

(4)

對(duì)圖4電阻網(wǎng)絡(luò)運(yùn)用基爾霍夫定律得到回路電流方程

I5=I-I1-I3,

(5)

I4=I2+I5,

(6)

I6=I1-I2.

(7)

解以上諸多方程得到一個(gè)關(guān)于I3與I的關(guān)系式

(8)

其中

(9)

方程(9)就是我們要尋找的非平衡電橋等效電阻的計(jì)算公式. 將(9)式變形得到

(10)

可以看出, 當(dāng)

(11)

時(shí),方程(10)可簡(jiǎn)化為

(12)

(13)

將(13)式代入(12)式即得到結(jié)論(1), 顯然, 當(dāng)r1r2=r2時(shí), 等效電阻RAB與R0無(wú)關(guān).

3 運(yùn)用Δ-Y等效變換求解等效電阻

圖5 Δ-Y等效變換后的電阻網(wǎng)絡(luò)

下面擬基于圖2電路經(jīng)拓?fù)渥儞Q后計(jì)算A和B兩節(jié)點(diǎn)之間的等效電阻. 接下來(lái)我們將運(yùn)用Δ-Y等效變換法[3]將圖2中的三角形AEF電路拓?fù)渥儞Q成為電阻分別為RA,RE,RF的星(Y)型電路網(wǎng)絡(luò).這種變換能夠保持原有電路的基本屬性. 由此我們將圖2所示電阻網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換為如圖5所示的電路來(lái)求解電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻.

利用Δ-Y等效變換公式, 可得

(14)

(15)

(16)

則圖5上半部分(A→B)兩點(diǎn)間的等效電阻為

(17)

最后由并聯(lián)電路電阻計(jì)算公式可以得到電路的等效電阻

(18)

由于本文的計(jì)算過(guò)程是精確和嚴(yán)密的, 因而由公式(18)得出的等效電阻必然等價(jià)于圖1所示電阻網(wǎng)絡(luò)得到的等效電阻(9). 下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單驗(yàn)證.

不妨設(shè)各個(gè)電阻的阻值分別為r=1 Ω,r1=2 Ω,r2=3 Ω,R0=4 Ω,r0=5 Ω, 則將各數(shù)據(jù)代入方法1中的a、b表達(dá)式, 計(jì)算得到

(19)

將各數(shù)據(jù)代入方法2中的方程(14)～(17), 求得

(20)

(21)

顯然2種不同的思維思路所采用的不同計(jì)算方法而得到的結(jié)果完全相同. 這也證明了物理學(xué)的不同規(guī)律和方法是完全自洽的和能夠相互驗(yàn)證的.

4 小結(jié)

方法1依據(jù)圖1結(jié)構(gòu)采用基爾霍夫定律求出等效電阻, 方法2依據(jù)圖2結(jié)構(gòu)采用Δ-Y等效變換求出等效電阻, 盡管2種結(jié)果的表達(dá)式完全不同, 但卻是等價(jià)的.