李 賓 ，龍述君

（1.西華大學(xué)理學(xué)院，成都610000；2.樂山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川樂山614004）

近年來，各種各樣的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型得到了廣泛的研究并被成功應(yīng)用于圖像處理、信號(hào)處理、模式分類、模式識(shí)別、最優(yōu)化問題等領(lǐng)域.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)現(xiàn)過程中，時(shí)滯現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生，這可能會(huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)混沌、震蕩和不穩(wěn)定等現(xiàn)象.因此，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)帶入時(shí)滯是有必要的.相關(guān)學(xué)者對(duì)含有時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了深入研究[1-8].通常情況下，既含有離散時(shí)滯又含有分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)不易處理，而在實(shí)際應(yīng)用中，這種情況又不可避免.文獻(xiàn)[9]首次提出了S-型分布時(shí)滯，統(tǒng)一了離散時(shí)滯和分布時(shí)滯，自此，含有S-型分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成為研究熱點(diǎn)[10-16].在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，當(dāng)電荷在不對(duì)稱的電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的反應(yīng)擴(kuò)散效應(yīng)是不可忽略的.因此，含有反應(yīng)擴(kuò)散的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也得到了廣泛研究[17-19].眾所周知，自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型僅僅是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的一種簡單表述，而非自治模型能更準(zhǔn)確地描述實(shí)際問題.目前，對(duì)于含有S-型分布時(shí)滯和反應(yīng)擴(kuò)散的非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究較少.本文考慮含有S-型分布時(shí)滯和反應(yīng)擴(kuò)散的非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性和有界性，得到了系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定和有界的充分判定準(zhǔn)則，所得結(jié)論是目前已有相關(guān)判定準(zhǔn)則的拓展.

考慮如下具有S-型分布時(shí)滯和反應(yīng)擴(kuò)散的非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

邊界條件和初值條件分別為

1 預(yù)備知識(shí)

令 N={1，2，3，…，n}， R+=[0，+∞）， Rm×n為 m × n階實(shí)矩陣全體構(gòu)成的集合，En×n（或E）表示n×n階單位矩陣.D+φ（t）表示在 t時(shí)刻 φ（t）的右上導(dǎo)數(shù).

對(duì)于一個(gè)非奇異 M-矩陣 D[1]， 記 ΩM（D）={z∈Rn|表示矩陣 Cn×m和 Dn×m的Hadamard積.L2（R+×Ω）表示 R+×Ω 上所有實(shí)Lebesgue可測(cè)函數(shù)全體構(gòu)成的集合，且關(guān)于范數(shù)

構(gòu)成Banach空間.令

定義如果存在常數(shù)λ＞0和M≥1，使得對(duì)于系統(tǒng)（1）的任意 2個(gè)分別對(duì)應(yīng)初值 φ（t）、φ（t）∈C 的解x（t；t0，φ）、y（t；t0，φ）， 均有

則稱系統(tǒng)（1）是全局指數(shù)穩(wěn)定的.其中

引理設(shè)x（t）∈C[R，Rn]滿足如下微分-積分不等式

如果

則 t≥t0時(shí)，

其中：λ ＞ 0，z∈ΩM（Π）滿足

且存在常數(shù) r∈（0，k2λ）和 h≥0， 使得對(duì)任意 t、v∈[t0，+∞）有

證明由Π是一個(gè)M-矩陣，則存在一個(gè)正向量z∈ΩM（Π）使得 Πz＞0，即（V+UW）z＜0.由連續(xù)性知，存在一個(gè)常數(shù)λ＞0，使得式（7）成立.

首先證明當(dāng) t∈[t0， +∞）時(shí)， 有

其中 n（s）=-kλ + θ（s）/k.為此， 首先驗(yàn)證對(duì)任意 ε ＞1，有

假設(shè)式（10）不成立， 由式（5）和當(dāng) t≥t0時(shí) x（t）的連續(xù)性知，存在一個(gè)t*＞t0和m∈N，使得

其中 p∈N 且 p≠m.結(jié)合式（4）中 U=（upq）n×n≥0 和vpq≥0（p≠q）可得

顯然式（13）與式（11）的第2個(gè)不等式矛盾，因而式（10）成立.在式（10）中，令 ε→1+，則有式（9）成立.

結(jié)合式（8）和式（9）可得

證畢.

注1在引理中，當(dāng)n=1時(shí)，令w11=1，T=0，ω11（t）≡0，γ11（t）≡0，t≥t0，則通過簡單推證可得文獻(xiàn)[10]的引理2.

注2在引理中， 若 wpq=1（p、q∈N），ω（t）≡ 0，γ（t）≡ 0， t≥t0， 則通過簡單推證可得文獻(xiàn)[19]的引理5（b=k（1，1，…，1）T，k∈R）.

2 主要結(jié)果

對(duì)系統(tǒng)（1）做如下假設(shè)：

（A1）對(duì)任意p、q∈N，ap（t）＞0，bpq（t）、cpq（t）、Ip（t）為定義在[t0，+∞）上的有界連續(xù)函數(shù).

（A2）對(duì)任意q∈N，存在正常數(shù)lq和kq，使得

（A3）在區(qū)間[t0，+∞）上，存在非負(fù)可積矩陣函數(shù)， 使得

（A4）集合非空， 存在正向量和常數(shù)滿足

（A5）存在常數(shù)， 使得

其中

定理1設(shè)條件（A1）～（A5）成立， 則系統(tǒng)（1）是全局指數(shù)穩(wěn)定的且指數(shù)收斂率不小于

證明設(shè)u（t，x）=（u1（t，x），u2（t，x），…，un（t，x））T、v（t，x）=（v1（t，x），v2（t，x），…，vn（t，x））T是系統(tǒng)（1）的2個(gè)分別滿足初值的解，則

令ep（t，x）=up（t，x）-vp（t，x）（p∈N），可得

對(duì)式（18）兩邊同時(shí)左乘ep（t，x）并在Ω上對(duì)x積分，得到

由式（2），得到

結(jié)合式（19）和式（20）、條件（A2）及 Cauchy-Schwarz不等式，得到

結(jié)合式（21）和條件（A3）有

由式（23）和式（24），并在引理中令T=0，得到

由式（17）和式（25）得到

注3若系統(tǒng)（1）是自治系統(tǒng)，即ap（t）≡ap＞0，bpq（t）≡bpq，cpq（t）≡cpq，Ip（t）≡Ip，由條件（A2）可推出自治系統(tǒng)存在唯一的平衡點(diǎn)，通過簡單推證可得文獻(xiàn)[17]的Theorem1.

定理2設(shè)條件（A1）～（A5）成立， 則系統(tǒng)（1）的所有解都是有界的.

證明設(shè)u（t，x）=（u1（t，x），u2（t，x），…，un（t，x））T是系統(tǒng)（1）的滿足初始條件的解， 則

在式（27）兩邊左乘up（t，x）并積分，得到

用與式（20）類似的推導(dǎo)方法可得

結(jié)合式（28）和式（29），條件（A2）及 Cauchy-Schwarz不等式，得到

由式（30）、條件（A1）和條件（A3）， 有

利用向量放縮得

由式（17）、式（32）、式（33）和引理可得

3 算例與數(shù)值仿真

例考慮模型（1）具有如下系數(shù)

進(jìn)而得到

通過簡單計(jì)算得

由文獻(xiàn)[20]得

特別地，當(dāng)m∈N時(shí)，令

圖1 ‖u（t） -v（t）‖L2的衰減曲線Fig.1 Attenuation curve of‖u（t）-v（t）‖L2

圖2 u1（t）和x的狀態(tài)曲線Fig.2State trajectory of u1（t）and x

圖3 u1（t）和u2（t）的狀態(tài)曲線Fig.3State trajectory of u1（t）and u2（t）

圖4 u1（t）對(duì)應(yīng)的圖形Fig.4Curve of u1（t）

圖5 u2（t）對(duì)應(yīng)的圖形Fig.5Curve of u2（t）

而在算例系統(tǒng)中， 令 d=（1，1）T， 得到

圖6 J1（t）和J2（t）的圖像Fig.6Curves of J1（t）and J2（t）

由圖6知，J1（t）＜0，J2（t）＜0均不成立，因此，文獻(xiàn)[21-22]的判別準(zhǔn)則對(duì)本文系統(tǒng)是失效的.