溫中凱 雷文平 黃穎

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五棱鏡垂直度誤差對轉向角的影響分析

溫中凱1,2雷文平1,2黃穎1

（1 北京空間機電研究所，北京 100094） （2 北京市航空智能遙感裝備工程技術研究中心，北京 100094）

針對五棱鏡各面垂直度誤差導致出射光線轉角誤差的情況，文章提出了一種新的研究五棱鏡垂直度與轉角誤差關系的方法。該方法總結了垂直度誤差的影響規(guī)律，給出了在棱鏡4個面垂直度誤差、光線入射角及光線入射方向共6個變量同時影響下的轉角誤差計算公式，通過仿真計算給出了應用該公式所產(chǎn)生的誤差范圍。結果表明：轉角誤差計算公式所計算的結果在合理誤差范圍內與真值相吻合，可直接應用于相關工程的計算當中。

垂直度誤差 轉角誤差 誤差分析 五棱鏡 空間遙感

0 引言

五棱鏡具有使光線折轉90°且不產(chǎn)生鏡像的特性[1]，因此在工程中的應用十分廣泛，如文獻[2-5]利用五棱鏡進行波前檢測，文獻[6-7]利用五棱鏡監(jiān)測平行光管焦面，文獻[8-10]利用五棱鏡檢測面形等。在空間光電跟瞄系統(tǒng)的多光軸平行性標校中，利用雙五棱鏡將目標靶和CCD分別定位在平行光管的焦面和共軛焦面處以檢測主動式發(fā)射系統(tǒng)與被動式接收系統(tǒng)的光軸平行性，五棱鏡的制造誤差直接影響多光軸平行性的檢測精度，因此，需要對五棱鏡進行誤差分析以修正測試結果。目前，對五棱鏡的誤差分析多集中在內角制造誤差和五棱鏡微動的影響上[11-19]，對垂直度誤差影響的研究很少，只有文 獻[20]做了簡要分析。為了更精確的研究五棱鏡對多光軸平行性標校的影響，有必要對垂直度誤差進行更為深入地研究。

1 垂直度誤差與轉向角的關系

1.1 五棱鏡工作原理

五棱鏡是光束定角度轉向器之一，有兩個折射面和兩個反射面，其作用光路如圖1所示。

圖1 五棱鏡作用光路

如圖1，五棱鏡—′′′′′共有4個工作面，按照各工作面與光線接觸的先后順序將各面分別設為1~4，其中1（′′）和4（′′）為折射面，2（′′）和3（′′）為反射面，各面法向量分別設為1~4，顯然光線會被4個工作面分成5部分，按照走向順序將5條光線（1~5）的單位方向向量設為（,,）（=1, 2, 3, 4, 5），其中,,分別為向量正向與，，坐標軸正向夾角的余弦。設δ為工作面P與底面沿棱鏡內部的夾角，則令θ=δ－90°，θ即為P面的垂直度誤差，其中=1, 2, 3, 4。

1.2 轉向角求解過程

對于任意光線的傳播過程，只需求得其作用點處的法向量，便可求解出射光線，由空間解析幾何算得，存在垂直度誤差五棱鏡的各工作面法向量為[21-23]

由式（1）得，垂直度誤差影響下的出射光線求解公式為

光線經(jīng)五棱鏡后的轉向角為

則光線在主截面方向的轉角θ為

逆著軸方向觀察，由入射光線在主截面方向上轉向出射光線的角度度量，順時針為正，逆時針 為負。

光線在垂直于主截面方向的轉角θ為

以面為底，并設軸正方向為上，由入射光線在垂直于主截面方向上轉向出射光線的角度度量，向上為正，向下為負。

設五棱鏡垂直度誤差所造成的出射光線的轉角誤差為Δ，在主截面方向上的轉角誤差為Δθ，在垂直于主截面方向上的轉角誤差為Δθ，由式（1）~（5）得

2 仿真計算與結果分析

本文分析所使用的五棱鏡材料為K9，工作波段為632.8nm，該波段對應的K9折射率為1.515 088。設入射光線與軸的夾角為，將入射角的研究范圍定為0°~5°，將各面垂直度誤差的研究范圍定為–20″~20″，并利用入射角和入射方向兩個條件來定義入射光線的單位方向向量。設入射角為的入射向量是由面內的向量（cos, sin, 0）繞軸旋轉得到，右手握住軸，大拇指指向軸正向，則四指的指向就是的旋轉方向，入射向量在面內的投影如圖2，此時軸正向垂直頁面向里。

圖2 入射光線向量投影示意

轉角誤差受入射角、入射方向和4個工作面垂直度誤差的共同作用，以0.01°為間隔將從0°取到5°，以1°為間隔將從0°取到360°，以0.05″為間隔將1~4分別從–20″取到20″，共約7.45×1016個組合，每個組合分別計算Δ、Δθ和Δθ，共得到約2.23×1017個計算結果，每個結果都是一個7維數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行分析可得如下近似計算方法：

式中 Δθ、Δθ,XOY和Δθ,Z分別為五棱鏡只存在第個工作面垂直度誤差θ時出射光線的轉角誤差、主截面方向的轉角誤差和垂直于主截面方向的轉角誤差。理論方法（式（6））算得的Δ、Δθ和Δθ的范圍與本文用式（7）方法算得結果的對比如表1所示。

表1 本文方法轉角誤差結果與理論結果差值對比

Tab.1 Comparison of the steering angle error between the method and the theoretical method （″）

式（7）和表1表明，可將對五棱鏡垂直度誤差的綜合影響分析轉化為對各個工作面單獨影響的分析。當僅有一個工作面（P）存在垂直度誤差時：

1）不同入射角所對應出射光線的轉角誤差Δθ和主截面方向的轉角誤差Δθ,XOY的分布情況與變 化形式一致，且隨入射角的增大而增大，當變?yōu)槎渌鼌?shù)保持不變時，兩折射面的Δθ和Δθ分別變?yōu)棣?i>θ和2Δθ,XOY，兩反射面的Δθ和Δθ,XOY分別變?yōu)棣?i>θ和Δθ,XOY，而Δθ,Z僅與垂直度誤差有關，故改變的值對Δθ,Z沒有影響；

2）選定適當?shù)娜肷浣?，便可?個變量影響下的七維數(shù)據(jù)的分析問題轉化為單個工作面垂直度誤差θ和光線入射方向影響下的三維數(shù)據(jù)的分析問題。

=1°時，θ和對轉角誤差影響的仿真變化如圖3所示。

圖3 轉角誤差的仿真變化

1）當θ為定值時，Δθ和Δθ,XOY與呈正弦關系，即

式中 幅值A和A,XOY分別由該θ下Δθ和Δθ,XOY的波峰或波谷處的取值確定。Δθ和Δθ,XOY峰谷位置分布如表2、3所示。

表2 Δθ峰谷值的位置分布

Tab.2 Peak-to-valley distribution of Δθs （o）

表3 Δθ,XOY峰谷值的位置分布

Tab.3 Peak-to-valley distribution of Δθs,XOY （o）

式（8）計算結果與理論結果的差值范圍如表4所示。

表4 式（8）結果與理論結果的差值統(tǒng)計

Tab.4 The deviation range statistics of the formula (8) and the theoretical method （″）

當為定值時，Δθ和Δθ與θ為線性關系，即

式中K和K,XOY為斜率，分別由該下Δθ和Δθ,XOY在θ=±20″處的取值確定。式（9）所得結果與理論結果的差值范圍如表5所示。

表5 式（9）結果與理論結果差值范圍統(tǒng)計

Tab.5 The deviation range statistics of the formula (9) and the theoretical method （″）

由式（7）~（9）得Δ和Δθ的計算公式為

2）Δθ,Z與θ為線性關系，且與無關，即

式中 K,Z為斜率，由Δθ,Z的最大值與最小值確定。對于兩折射面，根據(jù)式（11）計算出的Δθ,Z與真實轉角誤差之間的最大差值為0.001 6″；對于兩反射面，根據(jù)式（11）計算出的Δθ,Z與真實轉角誤差之間的最大差值為0.534 3″，則由式（7）和（11）得Δθ的計算公式為

通過數(shù)據(jù)對比得出，按照本文所給的式（10）和（12）計算的轉角誤差Δ、Δθ和Δθ與真實轉角誤差之間的誤差范圍分別為–0.465 1″~0.453 0″，–0.386 9″~0.378 5″和–2.714 9″~2.714 9″，且計算精度隨θ和的減小而提高。

3 結論

本文以矢量折反射定律和空間解析幾何為基礎，推導出了五棱鏡存在垂直度誤差時出射光線的轉向角公式，不僅可以精確計算出垂直度誤差對轉向角的影響，而且適用于任意入射光線的判定與計算。利用MATLAB對不同初始參數(shù)下的轉角誤差進行了仿真與計算，根據(jù)仿真結果與計算數(shù)據(jù)，將復雜的垂直度誤差綜合影響的分析分解成了4個簡單的單一面垂直度誤差的分析，并給出了垂直度誤差的一系列結論，最終得到了光線轉角誤差計算公式，該公式所計算的結果在合理誤差范圍內與真值相吻合，滿足絕大多數(shù)工程應用的精度要求。

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Impact Analysis of the Perpendicular Error of Pentaprism on the Steering Angle

WEN Zhongkai1,2LEI Wenping1,2HUANG Ying1

（1 Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China） （2 Beijing Engineering Technology Research Center of Aerial Intelligent Remote Sensing Equipments, Beijing 100094, China）

Based on the situation that the steering angle error is caused by the perpendicular error of pentaprism, a new method is proposed to relate the perpendicular error and the steering angle error in the paper. The influence rules of the perpendicular error are summarized and the steering angle error formula with six variables in total are derived. The error range produced in applying the formula has been given by means of simulation and calculation. The results obtained by the steering angle formula are consistent with the truth-value within a reasonable range of error, and can be directly applied in the calculation of related projects.

the perpendicular error; steering angle error; error analysis; pentaprism; space remote sensing

O435; TH74

A

1009-8518(2019)01-0059-07

10.3969/j.issn.1009-8518.2019.01.007

溫中凱，男，1993年生，2016年獲長春理工大學光電信息工程專業(yè)學士學位，現(xiàn)在中國空間技術研究院光學工程專業(yè)攻讀碩士學位。研究方向為空間光學遙感器總體設計。E-mail：1292013263@qq.com。

2018-11-07

(編輯：夏淑密)