，

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西太原030024)

梁方程是一種常見(jiàn)的偏微分方程，有關(guān)其解的性質(zhì)及吸引子的存在性一直是研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]中提出了一類(lèi)振動(dòng)梁模型，文獻(xiàn)[2-4]中對(duì)此類(lèi)方程進(jìn)行定性的分析，證明了該問(wèn)題解的存在唯一性，考慮到影響材料的各種因素，文獻(xiàn)[5-8]中建立了更廣泛的梁方程，并進(jìn)行了較深入的研究，即考慮該類(lèi)方程整體吸引子的存在性。近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)耦合梁方程不同類(lèi)型的吸引子展開(kāi)了進(jìn)一步討論[9-13]。

本文中在已有研究的基礎(chǔ)上，考慮方程

(1)

初始條件為

(2)

邊界條件為

(3)

式中：u=u(x,t)為點(diǎn)x在時(shí)刻t的位移；θ=θ(x,t)為點(diǎn)x在時(shí)刻t的溫度； Δ為拉普拉斯算子； Δ2u為u對(duì)x求四階偏導(dǎo)數(shù)；為梯度算子；ut、utt分別為u對(duì)t求一階、 二階偏導(dǎo)數(shù)；θt為θ對(duì)t求一階偏導(dǎo)數(shù)；f1(· )、f2(· )為非線性函數(shù)；h=h(x)∈L2(Ω), (L2(Ω)為Ω上實(shí)值Lebesgue可測(cè)函數(shù)全體)，Ω=[0,L](L為梁的長(zhǎng)度)為實(shí)數(shù)集中的有界區(qū)域；p∈,α,β,γ>0。本文中利用H?lder不等式、Young不等式并結(jié)合分部積分法來(lái)證明方程(1)存在整體吸引子；在證明方程(1)存在有界吸收集時(shí)，大多學(xué)者利用Nakao引理化成有關(guān)非負(fù)連續(xù)函數(shù)上確界的不等式，過(guò)程較繁瑣，本文中不需要化成以上形式即可證明方程(1)存在有界吸收集。

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)1f1∈C1()(C1()為上一次連續(xù)可微函數(shù)全體)，?k0>0,ρ>0， 使得并記其中為函數(shù)f1(s)對(duì)s求一階導(dǎo)數(shù)，λ1>0為Δ2在的第一特征值。

假設(shè)2f2∈C1(),對(duì)?,存在常數(shù)k1、k2,且ρ≥0有

引理1[14-15]有界集B0?H是半群S(t)的一個(gè)有界吸收集， 如果對(duì)任一有界集B?H， 存在tB=t(B)≥0, 有S(t)B?B0, ?t≥tB。

引理2[14-15]設(shè)?B∈H是有界正向不變集,對(duì)?ε>0, ?T=T(ε,B),有

這里φT∶H×H→R對(duì)?zn?B,滿(mǎn)足

則半群S(t)在H是漸近緊的。

引理3[14-15]S(t)是定義在H上的一個(gè)耗散半群，S(t)存在緊吸引子當(dāng)且僅當(dāng)S(t)在H中漸近光滑。

2 解的存在唯一性

利用Galerkin方法及Gronwall引理可得如下結(jié)論。

由定理1可定義H上的C0半群{S(t)}t≥0，即S(t) ∶H→H，也即S(t) ∶ (u0,u1,θ0)→(u,ut,θ)。

3 整體吸引子

定理2 如果假設(shè)1、 2成立，則問(wèn)題(1)—(3)在H中存在有界吸收集B0。

證明：令v=ut+δu(δ為正常數(shù))，則方程(1)的第1個(gè)等式可化為

f1(u)+αΔθ=h(x) 。

(4)

式(4)與v作內(nèi)積，方程(1)的第2個(gè)等式與θ作內(nèi)積，并將2個(gè)式子相加有

α(Δθ,v)-α(Δut,θ)=0。

(5)

由于

因此結(jié)合式(5)，令

(7)

(8)

則式(5)可改寫(xiě)為

(9)

由假設(shè)1及Young不等式可知

(10)

(11)

由假設(shè)1、 2，有

(12)

(13)

將式(12)、(13)代入式(8)有

(14)

(15)

顯然

結(jié)合式(11)、(15)、(16)，將式(9)在[0,t]上積分可得

需要說(shuō)明的是， 大多學(xué)者利用Nakao引理證明有界吸收集， 過(guò)程比較復(fù)雜， 本文中主要利用H?lder不等式、 Young不等式證明有界吸收集， 方法較簡(jiǎn)單。

定理3 如果假設(shè)1、 2成立，則問(wèn)題(1)—(3)的半群{S(t)}t≥0在H中漸近緊。

證明：取初值(u0,u1,θ10), (v0,v1,θ20)∈H, (u,ut,θ1)、 (v,vt,θ2)為問(wèn)題(1)—(3)的2個(gè)解，令w=u-v,ζ=θ1-θ2,滿(mǎn)足下列方程

(17)

令z=wt+δw，將方程(17)的第1個(gè)式子與z作內(nèi)積，第2個(gè)式子與ξ作內(nèi)積，2個(gè)式子相加，有

(αΔξ,z)-(αΔwt,ξ) =0。

(18)

(19)

由假設(shè)1、 假設(shè)2、 H?lder不等式可得

(20)

(21)

類(lèi)似式(13)，有

(αΔξ,z) -(αΔwt,ξ) ≥

(22)

(23)

其中c1為L(zhǎng)2(ρ+1)(Ω)嵌入到L2(Ω)的嵌入常數(shù),即

(24)

綜合式(19)—(24)代入式(18)有

(25)

(26)

式(26)可簡(jiǎn)記為

(27)

由Gronwall引理可得

Ew(t) ≤Ew(0)e-C′t+

(28)

因此有

(29)

再根據(jù)Galiardo-Nirenberg插值不等式有

即

因此

定義

φT((u0,u1,θ10), (v0,v1,θ20))=

則有

ε+φT((u0,u1,θ10), (v0,v1,θ20))。

即

由引理2可知，半群{S(t)}t≥0在H中漸近緊。定理3證畢。

由定理2、定理3及引理3可知，半群{S(t)t≥0}在H中存在整體吸引子。

4 結(jié)論

本文中證明了一類(lèi)非線性耦合梁方程解的存在唯一性和整體吸引子的存在性，為梁方程解的合理的Galerkin截?cái)嗵峁┝死碚撘罁?jù)，也為實(shí)際工程提供了設(shè)計(jì)依據(jù)。進(jìn)一步的研究可考慮整體吸引子是否具有有限的Hausdorff維數(shù)。